Antonio Lizana - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

Греки нашли решение для пятиугольника, но общую проблему это не устранило, поскольку не был найден метод построения многоугольника с семью сторонами (а также других многоугольников с количеством сторон меньше 20). Более того, даже не было известно, существуют ли такие методы. Гаусс заинтересовался проблемой и нашел метод построения 17-угольника. Много лет спустя он будет вспоминать этот момент в письме Герлингу от 6 января 1819 года:

«Это произошло 29 марта 1796 года, во время каникул в Брауншвейге, и это абсолютно не было случайным, поскольку это был плод усиленных размышлений; утром этого дня, еще не встав с кровати, я увидел очень четко всю эту связь, так что я тут же применил к 17-угольнику соответствующее числовое утверждение».

Именно это открытие окончательно убедило юношу в том, что он должен посвятить себя математике. Кроме того, Гаусс включил этот результат в раздел VII «Арифметических исследований», о которых мы поговорим далее. Возможно, именно из-за того большого значения, которое открытие сыграло в жизни математика, он попросил выгравировать 17-угольник на своей могиле. К сожалению, каменщик, которому это поручили, не справился с работой и в итоге выгравировал 17-конечную звезду. На нынешней могиле Гаусса 17-угольника также нет.

Гаусс не только нашел способ построения 17-угольника, но и попытался ответить на основной вопрос: возможно ли построение любого правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля. Эта задача тесно связана с проблемой деления окружности, которая также занимала Гаусса и рассматривая которую он получил некоторые результаты. В 1801 году ученый доказал, что правильный многоугольник с п сторонами можно построить с помощью линейки и циркуля, пользуясь так называемыми простыми числами Ферма (или числами Ферма).

Ферма (1601-1665) — французский юрист и математик, которого Белл назвал королем математиков-любителей. Этим прозвищем Ферма обязан тому, что никогда не посвящал себя исключительно данной науке, которую считал скорее хобби, однако именно Ферма, наряду с Рене Декартом (1596-1650), был одним из основных математиков первой половины XVII века. Он внес значительный вклад в теорию чисел, которой начал интересоваться после прочтения «Арифметики» Диофанта. На полях одной из страниц именно этого произведения он записал знаменитую теорему, ставшую известной как «последняя теорема Ферма», что не совсем правильно, поскольку речь идет только о гипотезе. В этой гипотезе утверждалось, что не существует таких целых чисел х, у, z, что можно было бы составить уравнение хn + уn = zn при n >= 3. Очевидно, что для n = 2 это действительно возможно, достаточно взять З² + 4² = 5². Гаусс никогда не занимался последней теоремой Ферма, и на это были свои причины. В 1816 году Парижская академия предложила премию за доказательство (или опровержение) гипотезы Ферма. Ольберс, немецкий астроном, друг Гаусса, уговаривал математика поучаствовать в конкурсе («Мне кажется справедливым, дорогой Гаусс, чтобы Вы занялись этим»), но ученый устоял перед искушением. Ответ математик дал лишь два месяца спустя, и в нем он изложил свое мнение о последней теореме Ферма. «Я очень благодарен Вам за новости относительно Парижской премии, но признаю, что теорема Ферма в изолированном виде представляет очень небольшой интерес для меня, поскольку я легко могу найти множество подобных утверждений, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть». Знаменитое высказывание Ферма было полностью доказано только в 1995 году британским ученым Эндрю Уайлсом.

Числа Ферма, названные так в честь Пьера де Ферма — первого, кто их изучал, — имеют следующий вид:

Fn = 2²n+1,

где n — натуральное число.

Ферма определил такие простые числа с намерением, очень далеким от того, чтобы решать задачи построения многоугольников с помощью линейки и циркуля (а на самом деле удалось доказать, что не все числа такого вида простые).

Гаусс показал, что для построения правильного многоугольника с n сторонами с помощью линейки и циркуля необходимо, чтобы нечетные простые множители n были различными простыми числами Ферма. То есть правильный многоугольник можно построить, если число его сторон — это степень числа 2, простое число Ферма или произведение некоторой степени числа 2 (включая единицу) и различных простых чисел Ферма. Это то, что в математике известно как достаточное условие. Итак, если многоугольник имеет форму, определенную Гауссом, его можно построить. Естественным образом возникает вопрос, является ли это также необходимым условием. То есть нужно проверить, только ли такие многоугольники можно построить с помощью линейки и циркуля.

Пьер Ванцель, французский математик, в 1837 году доказал, что условие Гаусса является необходимым, и это превратило теорему в полное описание правильных многоугольников, которые можно построить с помощью линейки и циркуля. Математики называют такие условия тогда и только тогда. То есть у нас полностью определены правильные многоугольники, которые мы можем построить с помощью линейки и циркуля. Так, треугольник (3 = 2²0 +1), квадрат (4 = 2²1 ), пятиугольник (5 = 2²1 +1) и шестиугольник (6 = 2-(2²0 +1)) можно построить с помощью линейки и циркуля, а правильный семиугольник (7 =/= 2²n + 1 Vn) нельзя. Далее, правильный восьмиугольник (8 = 2³) можно построить, а правильный девятиугольник (9 = 3² =/= 2²n +1 Vn) — нет· Очевидно, что многоугольник с 17 сторонами, построенный Гауссом, — это пример многоугольников, в которых число сторон точно совпадает с одним из чисел Ферма, так как F2 = 2²2 +1 = 17.

Но это не означает, что нет людей, которые посвящали бы свое время и энергию безуспешному нахождению способов построения семиугольников или других фигур, что, как доказано математиками, невозможно осуществить с помощью линейки и циркуля. Это касается квадратуры круга, трисекции угла или удвоения куба. Первой задачей со страстью, которая сохранилась всю жизнь, занимался не кто иной, как Наполеон. Однако эту битву, в отличие от битв с прусской армией, Наполеон не смог, да и не мог бы выиграть.

ГЛАВА 2 «Арифметические исследования»

Гаусс — отец теории чисел в ее современном понимании. Среди других его достижений — решительный импульс в использовании комплексных чисел, благодаря чему он оставил нам инструмент, с помощью которого можно подойти к решению полиномиальных уравнений любого типа. Этой теме посвящена работа «Арифметические исследования», в которой Гаусс собрал свои многочисленные исследования, совершенные в молодые годы.

Гаусс привел математику XIX века к целям, о которых до него и не подозревали. Первым огромным вкладом ученого в алгебру была докторская диссертация, которую, как мы уже знаем, он защитил заочно в 1799 году в Хельмштедтском университете. Руководителем работы был Иоганн Фридрих Пфафф (1765-1825), один из великих математиков того времени, и он всегда относился с особым вниманием к своему подопечному. Пфафф считал своим долгом заботиться о том, чтобы его молодой друг больше двигался, и они часто гуляли днем, разговаривая о математике. Поскольку Гаусс отличался не только скромностью, но и некоторой замкнутостью, возможно, Пфафф не смог разглядеть все черты его натуры, однако известно, что сам молодой диссертант восхищался своим преподавателем, которого считал лучшим математиком Германии — благодаря не только отличным научным работам, но и простому и открытому характеру. Со временем ученик превзойдет учителя. Барон Александр фон Гумбольдт (1769-1859), знаменитый путешественник и любитель наук, с которым Гаусс сотрудничал, изучая геомагнетизм, спросил Пьера-Симона Лапласа (1749-1827), одного из выдающихся французских математиков, кого тот считает самым великим математиком в Германии. Лаплас ответил: «Пфаффа». «А Гаусс?» — удивился фон Гумбольдт, который поддерживал кандидатуру Карла Фридриха на пост директора Гёттингенской обсерватории. «О, — сказал Лаплас, — Гаусс — самый великий в мире».

Название докторской диссертации Гаусса звучит так: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse («Новое доказательство теоремы, в которой говорится, что любая алгебраическая рациональная функция может быть разложена на множители первой или второй степени с действительными коэффициентами»). В этом заголовке содержится небольшая ошибка, которая принесла молодому Гауссу еще больше величия: это доказательство было не «новым», а первым в истории полным доказательством основной теоремы алгебры.

Математика — царица наук, а арифметика — царица математики.

Карл Фридрих Гаусс