Кьяртан Поскитт - Математика для взрослых
Увы, у них получилось четыре разных ответа:
а)-105 930 фунтов
б)-1 057 430 фунтов
в)-3 847 950 фунтов
г)-105 734 000 фунтов
Как думаете, кто посчитал правильно?
Округление
Во-первых, упростим числа, сделав их более удобными для вычислений, и для этого их грубо округлим. Оставим только первую цифру каждого числа, а остальные заменим нулями: например 38 452 превратится в 30 000. Однако чтобы приблизительный результат вышел точнее, будем прибавлять к первой цифре 1, если вторая цифра равна или больше пяти. В данном случае вторая цифра 8, поэтому округлим 38 452 до 40 000. Представив эти числа отмеченными на линейке, мы убедимся, что 38 452 и впрямь ближе к 40 000, чем к 30 000:
27,50 фунта можно было бы округлить до 20, но 7 больше 5, поэтому округляем до 30.
Годится. Теперь умножим 40 000 × 30. По сути, это 4 × 3 плюс общее количество нулей. Всего нулей пять, и наш приблизительный ответ равен 1 200 000. Ближе всего к этому числу вариант б) 1 057 430, так что, скорее всего, именно он правильный.
А вот где ошиблись остальные три контролера: а) пропущена цифра 4, в) вместо кнопки × на калькуляторе нажата кнопка +, г) в числе 27,50 пропущена запятая.
Начиная с этого момента некоторые сложные выражения будут отмечаться таким значком с подсказкой, как можно грубо оценить результат.
ДРОБИ
В главе, посвященной делению, мы либо использовали числа, которые делятся полностью, либо оставляли неразделенный остаток. Когда числа необходимо делить на части без остатка, все становится гораздо любопытнее. В таком случае понадобятся дроби, простые или десятичные. Иногда лучше иметь дело с одним видом дробей, иногда с другим — все зависит от ситуации.
Простая дробь — это непосчитанная операция деления. Например, выражение 4 ÷ 7 можно записать как 4/7 (четыре седьмых). У этого подхода есть как приятная сторона — не надо выполнять деление, так и неприятная — вместо одного числа придется иметь дело с двумя.
Сокращение дробей
Предположим, у вас есть пицца с пепперони, разрезанная на восемь частей. Это можно записать как 1 ÷ 8, то есть каждая часть составляет 1/8 (одну восьмую) от всей пиццы. Если вы съедите шесть кусков, получится, что вы съели 6/8 (шесть восьмых) пиццы.
6/8 — вполне нормальная дробь, но вы вряд ли где-нибудь ее встретите, и вот почему:
Из рисунка следует, что 6/8 — то же самое, что и 3/4, поскольку две восьмые вместе составляют одну четверть, а значит, шесть восьмых составят три четверти.
Если у вас под рукой нет пиццы, посмотрим, как это происходит с числами. Начнем с дроби 6/8 и постараемся отыскать число, на которое делятся обе ее части, верхняя и нижняя.
Если умножить или разделить верхнюю и нижнюю часть дроби на одно и то же число, значение дроби не изменится.
Звучит немного странно, однако все, что мы сейчас сделали, — это разделили верхнее и нижнее число дроби на одно и то же число 2, превратив 6/8 в 3/4. Если же вы решите умножить верхнее и нижнее число дроби, скажем на 6, по какой-то непонятной причине (скоро мы увидим, в чем она заключается), то получится 3/4 = 18/24.
И это совершенно нормально, ведь если ваша пицца разрезана на 24 куска и вы съедите 18, количество съеденного все равно останется тем же, просто куски стали гораздо меньше.
Уменьшение чисел в обеих частях дроби называется сокращением и, как правило, улучшает вашу жизнь. Предположим, у вас есть вегетарианская пицца, и какой-то маньяк искромсал ее на 84 куска. Вы съели 70, это сколько от общего количества? Получается дробь 70/84, которая не укладывается у вас в голове, поэтому снова ищем число, чтобы поделить на него верх и низ дроби. Поскольку числа вверху и внизу дроби четные, они делятся на 2. Получив 35/42, мы видим, что оба числа делятся на 7, и теперь нам становится ясно, что вы съели 5/6 вегетарианской пиццы.
И наконец, главный вопрос: какой пиццы вам досталось больше?
Сравнение, сложение и вычитание дробей
Итак, хотелось бы знать, что больше — 3/4 или 5/6?
(Числа тут довольно простые, так что ответ для вас может быть очевиден. От пиццы с пепперони осталась четверть, а от вегетарианской пиццы — одна шестая. Одна шестая меньше, чем четверть, так что вегетарианской пиццы вы съели больше.)
Если хотите, чтобы все соответствовало математическим правилам, тогда нужно сделать так, чтобы у обеих дробей, 3/4 и 5/6, внизу стояло одно и то же число. Самый надежный способ — взять каждую дробь и умножить ее верхнее и нижнее число на нижнее число другой дроби. (Если придерживаться терминов, то верхнее число дроби называется числителем, а нижнее — знаменателем.)
Итак, мы выяснили, что 3/4 = 18/24 и 5/6 = 20/24. Следовательно, 5/6 больше, чем 3/4. (Еще дроби можно сравнивать, преобразуя их из простых в десятичные, см. раздел «Десятичные дроби».)
Другой вопрос, который может вас заинтересовать, — сколько пиццы вы съели в общей сложности? Если это 3/4 пиццы с пепперони и 5/6 вегетарианской, значит, нужно сложить 3/4 и 5/6.
Так делать НЕЛЬЗЯ:
Здравый смысл подсказывает, что вы съели большую часть как одной, так и другой пиццы, а из ответа следует, что вам досталось меньше, чем целая пицца!
Проблема в том, что четвертые и шестые части — не одно и то же, поэтому так запросто их складывать нельзя. Нужно преобразовать их в дроби с одинаковым знаменателем. К счастью, мы это уже сделали, выяснив, что 3/4 = 18/24 и 5/6 = 20/24. Когда знаменатели одинаковы, числители можно сложить так, как будто мы порезали каждую пиццу на 24 куска.
Обратите внимание: когда мы закончили перекладывать куски пиццы, 38/24 превратились в 1 и 7/12. Подозрительно, не правда ли? Уверен, вы не помните, чтобы ели ровно 7 каких-либо частей и уж точно не 12-х, но тем не менее это правильный ответ.
Вычитание дробей производится аналогичным образом. Вот чему равно 2/3 – 3/5 на примере все тех же двух пицц.
Смешанные числа и неправильные дроби
Смешанное число — это целое число с дробью, например .
Неправильной называют дробь, числитель которой больше знаменателя, например 13/2 (кстати, = ).
Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте его целую часть на знаменатель и прибавьте результат к числителю. Запутались? Пора снова браться за пиццы...
Чтобы преобразовать неправильную дробь обратно в смешанное число, относитесь к ней как к операции деления. Конвертируем 7/3: 7 ÷ 3 = 2 и 1 в остатке. В ответ идет 2 целых, а 1 остается над тройкой, что дает 2 .
Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби обычно облегчает их умножение и деление, в чем мы сейчас убедимся.
Умножение дробей и значение слова «от»
Складывать и вычитать дроби бывает неудобно, но, к счастью, с умножением и делением все обстоит гораздо проще.
Умножение дробей часто скрывается за словом «от». Если вы говорите «три четверти от двенадцати», на самом деле вы имеете в виду 3/4 × 12. При умножении целого числа на дробь нужно выполнить две операции: умножить число на числитель и разделить на знаменатель. Вот как это будет выглядеть для 3/4 × 12.
Чтобы перемножить две дроби, нужно просто перемножить их верхние и нижние части.
Предположим, вы каждые субботу и воскресенье по 7 часов наблюдаете за птицами. Какая это будет часть от целой недели? Суббота и воскресенье составляют 2/7 недели, а поскольку в сутках 24 часа, вы тратите 7/24 от них, пытаясь выследить пеструю камышовку или хохлатого зяблика. Получается выражение
Наверное, вы заметили, что 14 и 168 делятся на 14, что даст в результате 1/12. А не лучше ли вообще не связываться с такими большими числами? При умножении дробей всегда стоит поискать возможность их по ходу дела сократить. Самое оптимальное — найти одно и то же число в числителе и знаменателе дробей, потому что тогда эти числа взаимно уничтожаются.
Вернемся к выражению
Взгляните на две семерки: вверху дроби и внизу. Подсчитав верхнюю и нижнюю части дроби, мы в итоге придем туда, откуда начали, то есть 14/168. Вместо этого зачеркнем обе семерки и заменим их единицами. Давайте посмотрим, что еще можно сделать.
Итак, теперь вы знаете, что тратите двенадцатую часть недели на наблюдения за птицами. Это соответствует одной минуте из каждых 12 минут вашей жизни или же целому месяцу в год! (Если вы начнете высчитывать дроби для всех своих регулярных занятий, например для хобби или поездок на работу, результаты могут вас шокировать. К примеру, большинство людей проводят в ванной комнате около 10 дней в году.)
