Кьяртан Поскитт - Математика для взрослых
Если взять любую ячейку с квадратом числа и вычитать из нее нечетные числа, начиная с 1, то получатся значения по диагонали, идущей в другую сторону от исходной ячейки.
Таким образом, начав с 36 и отняв 1, получим 35, отняв 3, получим 32, вычтя 5, получим 27.
(Сравнив эту диаграмму с таблицей умножения, вы убедитесь, что все совпадает.)
Аналогичным способом, но с помощью четных чисел (2, 4, 6, 8…) можно заполнить и остальные ячейки. Посмотрите на диагональ, идущую ниже диагонали квадратов, ту, где стоят числа 2, 6, 12, 20… Эти значения можно получить, начав с 2, затем прибавив 4, затем 6, потом 8 и т. д. А взяв любое из этих чисел (например, 20), можно найти значения вдоль идущей в другую сторону диагонали — вычитая 2, затем 4, потом 6 (например, 20 – 2 = 18, 18 – 4 = 14 и 14 – 6 = 8).
Такие последовательности нечетных и четных чисел позволяют вывести всю таблицу умножения, ни разу при этом не выполнив умножения как такового!
Фокус с тремя числами
Возьмите три любых последовательных числа: при перемножении первого и последнего всегда получится значение на единицу меньше, чем квадрат числа посередине.
Взяв числа 6, 7, 8 и сверившись с таблицей умножения, мы убедимся, что 6 × 8 = 48, а 7 × 7 (или 72) = 49.
Так будет с любыми последовательно идущими числами. Если известно, что 1482 = 21 904, можете быть уверены, что 147 × 149 = 21 903.
(Почему так происходит? Это одна из тех маленьких загадок, которые мы научимся решать когда перейдем к разделу «Алгебра».)
Простые числа
Простое число делится только на само себя и единицу. Например, число 10 не является простым (оно делится на 1, 2, 5 и 10), число 12 тоже (делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12), а вот число 11 — простое (делится только само на себя и на 1). Если попробовать упаковать числа в ящики, не оставляя пустых мест, с простыми числами возникнут сложности, поскольку разделить их на равные части не получится.
Наименьшее простое число — это 2. Также это единственное четное простое число, поскольку все остальные четные числа делятся на 2. Следующие простые числа: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… и так далее до бесконечности.
Здесь представлены все числа от 1 до 100, причем числа в белых квадратиках — простые. Легко понять, где простое число наверняка не встретится: со второй строки и ниже простые числа не могут заканчиваться на 2, 4, 6, 8 или 0 (тогда они делились бы на 2) и на 5 (тогда они делились бы на 5). Что никому до сих пор не удалось выяснить, так это где обязательно должно появиться простое число. Был момент всеобщей радости из-за числа 31, так как поскольку оно простое, простыми также являются 331, 3331, 33 331, 333 331 и т. д. Казалось, любая последовательность троек с единицей в конце даст простое число, и так считали до тех пор, пока кто-то не обнаружил, что 19 607 843 × 17 = 333 333 331. Кстати, если вам удастся найти между простыми числами общую закономерность, ваше имя будут помнить еще долго после того, как имена всех знаменитостей, которыми переполнена сейчас земля, канут в Лету.
Умножение на пальцах
Таблица умножения для числа 9 — одна из самых сложных, но в наши дни почти каждому школьнику знаком изящный способ запоминания.
Поднимите ладони перед собой и представьте, что пальцы пронумерованы от 1 до 10 слева направо. Согните палец, соответствующий числу, которое вы хотите умножить на 9. Посчитайте, сколько пальцев находится слева и справа от согнутого пальца. Это и будет ответ (см. рисунок).
Но есть трюки и похитрее…
Зная таблицу умножения вплоть до 5 × 5, вы можете посчитать на пальцах любое произведение от 6 × 6 до 10 × 10. Сперва представьте, что пальцы каждой руки пронумерованы как 6, 7, 8, 9, 10.
Умножение больших чисел
Вы проехали 693 мили, чтобы устроить палаточный лагерь где-то у черта на куличках, и по возвращении домой обнаружили, что нет ключей от входной двери, которые вы, скорее всего, выронили, когда разбирали тент. Съездив за ними обратно, вы в итоге проехали по одной и той же дороге четыре раза. Сколько всего миль вы преодолели?
Честно говоря, после таких приключений вряд ли кому-то захочется садиться за подсчеты, но если вы все же решитесь, окажется, что числа выходят далеко за пределы таблицы умножения. Хитрость в том, чтобы умножать небольшими частями, к тому же (о радость!) вам ничего не придется умножать больше чем на 9. Рассмотрим по пунктам, как умножить 693 на 4.
Запишем выражение так:
Умножим на 4 сначала 3, затем 9 и наконец 6, следя за тем, чтобы результаты были записаны в нужных местах. Начнем справа, с единиц. Считаем: 3 × 4 = 12. Пишем 2 под 4 и ставим маленькую единичку над пустым местом слева.
Теперь умножаем 9 × 4 = 36 и, прибавив маленькую единичку, получаем 37. Пишем 7 в ответ, а маленькую тройку ставим над следующим пустым местом.
И наконец, считаем 6 × 4 = 24. Прибавив маленькую тройку, получаем 27. Больше умножать нечего, так что пишем внизу 27 и получаем ответ! Вышло довольно изящно. (Надеюсь, это поднимет вам настроение после неурядиц с ключами.)
Теперь перейдем к умножению больших чисел. Допустим, нужно умножить 517 на 38. Традиционный способ — умножить 517 на 30, затем 517 на 8 и сложить оба полученных числа. Пусть и неуклюже, но зато работает.
Запишем выражение так, как показано, и проведем внизу несколько дополнительных линий. Сначала умножим 517 на 30. Запишем 0 под 8 для того, чтобы остальная часть ответа оказалась в правильном месте.
Теперь умножаем 517 на 3. Начнем с 7 × 3 = 21. Единицу записываем в тот столбец, где стоит 3, а маленькую двойку добавляем в следующий столбец. Обратите внимание, дальше нужно считать 1 × 3 = 3! (По невнимательности легко пропустить цифру.) Прибавляем 2 к 3 и, получив 5, записываем 5 в ответ. Наконец, 5 × 3 = 15: пишем это число спереди.
Теперь вычисляем 517 × 8, записывая ответ линией ниже. При умножении 7 × 8 = 56 шестерка попадает в тот столбец, где стоит 8.
Выяснив, сколько будет 517 × 30 и 517 × 8, складываем оба результата. Получается 15 510 + 4136 = 19 646. Это и есть окончательный ответ!
Надежный способ умножения
Хотя этот способ требует большей подготовки, чем традиционный, зато он гарантирует, что все нужные числа будут перемножены, а ответ окажется в правильных столбцах.
Чтобы вычислить, сколько будет 517 × 38, нарисуем сетку, через клетки которой проходят диагональные линии. Запишем числа, которые нужно перемножить: одно вдоль верхней стороны, другое сверху вниз вдоль боковой.
Заполняем каждую ячейку, умножая число над ней на число сбоку. Например, чтобы заполнить верхнюю левую ячейку, посчитаем: 5 × 3 = 15. Записываем результат: 1 над диагональю, 5 под ней.
Если при умножении получается одноразрядное число (например, 1 × 3 = 3), пишем его как 03 — 0 над диагональю, 3 под ней.
После того как заполним все ячейки, просто сложим числа вдоль диагоналей. (Обратите внимание: 8 + 5 + 1 = 14, поэтому пишем внизу 4 и добавляем маленькую единичку в следующую колонку.)
Возможно, приверженцам традиционного подхода милее старый способ, но и они, пожалуй, согласятся, что с ним легко запутаться при умножении неудобных десятичных дробей1, например 64,29 × 27,3. С новым же способом все просто.
Чтобы узнать, где в ответе поставить запятую, ищем место пересечения линий, идущих от запятых в перемножаемых числах, и двигаемся оттуда по диагонали до самого низа.
Если запятая есть только в одном из чисел, записываем его справа и смотрим, куда приходит диагональ, начинающаяся возле этой запятой, у самого края сетки.
Умножение сотен и тысяч
Сколько будет 3000 × 900? Все просто: перемножаем числа, стоящие спереди (3 × 9 = 27), а затем складываем количество нулей в конце обоих чисел и приписываем их в конец ответа. Поскольку здесь нулей пять, получаем 2 700 000.
Но вычисляя, сколько будет 7500 × 80, надо быть чуть осторожнее. Сперва перемножаем 75 × 8 = 600. Теперь добавляем еще три нуля, по числу нулей в обоих первоначальных числах. Ответ: 600 000.
Чтобы 1030 умножить на 50, сперва берем 103 × 5 = 515. Затем добавляем два нуля и получаем 51 500. Ноль между 1 и 3 в числе 1030 учитывать не надо, он уже сыграл свою роль при умножении 103 на 5.
Умножение отрицательных чисел
Если только одно из перемножаемых чисел отрицательное, ответ будет отрицательным. Если отрицательные оба числа, ответ будет положительным.
3 × 2 = 6
3 × −2 = −6
−3 × 2 = −6
−3 × −2 = +6
Почему отрицательное × отрицательное = положительное?
Проще всего объяснить это на наглядном примере… Представьте, что на улице густой туман и вы бежите к дому от автобусной остановки. Ваша скорость: +3 мили/ч. Это положительная скорость, поэтому через час вы приблизитесь к дому на 3 мили.
