Josep Carrera - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Разница между этими текстами Евклида и Гильберта состоит в использовании интуиции и наглядных соображений. Гильберт пытается избавиться от субъективности в науке. Для этого он прибегает к строгому формализму: аксиомы определяют отношения между геометрическими объектами (и они не требуют других определений, кроме самих этих аксиом), и на их основе, используя инструментарий формальной логики, создаются теоремы. При этом подходе невозможно вывести утверждение и его опровержение (на этой особенности основан метод доведения до абсурда), и непротиворечивость теории, построенной таким образом, подразумевает существование гео-

метрических объектов. Гильберт попытался создать твердую основу математики, после того как потерпел поражение подход, основанный на теории типов Рассела. Вдохновившись этим новым веянием в математической науке, выдающийся французский ученый Жан Дьёдонне во время семинара в 1969 году воскликнул: «Долой Евклида!» Этими словами он вовсе не принижал заслуги гениального александрийского математика, но стремился раскритиковать чрезмерное насаждение его геометрического учения в школах того времени. Так в начале 1970-х зарождалась наука, позже названная современной математикой, — новый подход к математике, имевший невероятный успех. Гильберт говорил:

«Моя мысль заключается в следующем: несмотря на высокую педагогическую и эвристическую ценность генетического метода, аксиоматический метод [...] предпочтительнее, поскольку дает окончательную картину наших знаний и их безупречной логической точности».

И все же спустя 20 лет его метод оказался «слишком современным». Через 2000 лет после написания «Начал» дискуссия о педагогической ценности евклидовых теорий — с точки зрения генетического метода — открыта снова.

Список рекомендуемой литературы

Bell, Е.Т., Losgrandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.

Eggers Lan, C., El nacimiento de la matemdtica en Grecia, Buenos Aires, Eudeba, 1995.

Hilbert, D., Fundamentos de geometria, Madrid, Centro Superior de Investigaciones Cientificas, 1953 (reeditado en 2010).

Kline, M., Matemdticos. Laperdida de la certidumbre, Madrid, Siglo XXI, 1985.

Korner, S., Introduccion a la filosofia matemdtica, Mexico, Siglo XXI, 1967.

Puertas Castanos, M.L., Elementos, tres volumenes, Madrid, Gredos, 1991,1994 у 1996.

Pla i Carrera, J., La veritat matemdtica, Barcelona, Reial Academia de Doctors, 2003.

—: Liu Hui. Nueve capitulos de la matemdtica china, Madrid, Nivola, 2009.

Stewart, I., Historia de las matemdticos, Madrid, Critica, 2008.

Vera, F., Cientificos griegos, 2 volumenes, Madrid, Aguilar, 1970.

Указатель

Автолик Питанский 29, 31, 34

аксиома 42, 43, 65, 74, 75, 77, 81, 118, 159

алгоритм Евклида 46, 76, 139, 141, 145— 147, 149, 154

анализ 31, 33, 53, 54, 56, 59, 80, 101, 103, 104, 116, 119

Антифонт 29, 34, 133

Аполлоний 9, 11, 25, 29, 30, 49

Аристотель 8, 9, 15, 16, 27, 29, 31, 34, 35, 37, 41-43, 48-51, 58, 80-82, 85, 110, 111, 125, 133, 149, 160

арифметика 7-9, 11, 34, 42, 45, 46, 51, 60, 80, 82, 109, 141, 145-149, 152, 153, 159

Архимед 9, 11, 17, 25, 29-31, 41, 46, 49, 65, 72, 78, 109, 112, 118, 125, 126, 139, 140

бесконечность 8, 9, 61, 63, 80, 82-85, 86, 110, 125, 127, 133, 134, 146, 149, 153

актуальная 80, 82-84, 86, 110, 134

первых чисел 83, 149

потенциальная 80, 82, 85

путем прибавления 80

существование бесконечного 80, 82

Бойяи, Янош 73, 75, 76, 86

Брисон Гераклийский 29, 34, 133

величина 18, 19, 42, 44, 49, 51, 60, 80, 92, 109, 110, 112-114, 116-120, 124-126, 147

соизмеримая 113-117, 121, 122, 147

несоизмеримая 11, 46, 92, 113-116, 119, 121-123, 146, 147

пропорциональная 24, 120, 124, 137, 144, 147

Гаусс, Карл Фридрих 68, 75, 78, 79, 145

геометрия 7-9, 11, 15, 17-20, 22, 25, 30- 33, 42-45, 48, 49, 51, 61, 63-65, 68, 69, 71-80, 87, 90, 92, 94, 95, 109, 110, 112, 118, 124, 127, 141, 161, 162

ванной 78

внутреннего двора 72

гиперболическая 73, 77-79

евклидова 8, 63, 64, 68, 69, 71, 73, 76-80, 161

неевклидова 61, 74-76

сферическая 72, 75, 77, 79

эллиптическая 72, 77, 79

Герои Александрийский 11, 30, 60

Гильберт, Давид 65, 77, 81, 127, 161, 162

гипотеза 26, 35, 40, 42, 43, 58, 71, 74, 76, 111

Гиппас из Метапонта 29, 34

Гиппий Элидский 11, 29, 34

Гиппократ Хиосский 11, 30, 32-34, 48, 131, 132, 145

Гипсикл Александрийский 11, 19, 30, 44, 47, 104

да Винчи, Леонардо 41, 106

Демокрит 11, 29, 34

Диофант 8, 9, 11, 30, 97

доведение до предела 134, 135, 137

Дьёдонне, Жан 162

Евдем Родосский 11, 30, 31, 34

Евдокс 8, 9, 11, 17, 30, 32-34, 45, 46, 107, 109, 116-118, 124, 125, 140

единица 42, 51, 79, 119, 138, 143, 144, 146, 150, 153

измерения 113-115, 116

звезда пифагорейская 101

Зенон 11, 29, 34, 41, 109-111, 117

золотое/ золотой 44, 90, 100-103

отрезок 90, 100, 101

прямоугольник 101-106

сечение 44, 100, 101

соотношение 100, 103

число 100

Исидор Милетский 11, 19, 44, 47

квадрат 10, 40, 45, 52, 58, 89, 90, 91, 96, 98-100, 114-116, 118, 132-136, 138-140, 146, 152, 153

квадратура 32, 33, 45, 90, 126, 131,

луночек 32, 33, 131

многосторонних фигур 90, 98, 124

круга 9, 126, 129, 132, 133, 140

параболы 126, 127

квадривиум 7

Киренский, Феодор 9, 29, 32, 33, 46, 115

Коммандино, Федерико 159, 160

конические сечения 11, 19, 21, 22, 25, 34

гипербола 21, 22, 70

парабола 21, 22, 126, 127, 135

эллипс 21, 22

кривизна 76

круг 9-11, 42, 46, 50-52, 58, 64, 65, 72, 80, 103, 109, 118, 125, 126, 127, 129, 131-140

наибольший 72

Лейбниц, Готфрид Вильгельм 27

Линдеман, Фердинанд фон 140

линейка 33, 44, 45, 50, 71, 99, 140

Лобачевский, Николай 73-75, 79, 86

луночка 32, 33, 131, 132

математа 7, 25

математические объекты 38, 42, 56, 58

природа

онтологическая 38

эпистемологическая 38

метод 8, 11, 44, 46, 53, 55, 56, 58, 60, 63, 74, 89, 90, 92-94, 96, 107, 116, 118, 122, 125-127, 131, 132, 136, 146, 147, 152.153

двойного доведения до абсурда 125

доведения до абсурда 44, 56, 58, 67, 83, 111, 116

исчерпывания 8, 11, 46, 60, 107, 118, 125-127, 135, 136, 139

танграма 44, 60, 87, 90-94, 96, 122, 125, 127, 131, 132

методология 7, 9, 17, 43, 49, 58, 82, 109, 119

Мопертюи, Пьер Моро де 27

наибольший общий делитель 141, 146

несоизмеримость 72, 92, 116, 119, 121, 122, 146, 147

Никомах Герасский 11, 30, 149, 150

Ньютон, Исаак 9, 25, 80

окружность 10, 21, 24, 45, 50, 52-54, 66-68, 99, 104, 107, 116, 131, 132, 134, 138-140

определение 42, 43, 44-56, 63-65, 70, 83, 95, 109, 113, 116, 117-119, 121, 124-126, 136, 143, 144, 145, 150

definiendum 42

definiens 42

Папп Александрийский 8, 9, 11, 18, 22, 23, 30, 49

парадокс 109-111

параллельные 52, 67, 71-73, 83

Парменид 11, 29, 34, 41, 111

Пачоли, Лука 104-106, 159

пирамида 46, 107, 119, 125, 127

объем 46, 107, 118, 119, 127

пифагорейская звезда 101

Пифагор Самосский 7, 8, 11, 152

Платон 8, 11, 15-17, 29, 31-33, 35, 37-39, 40-43, 50, 89, 102, 111, 118, 153, 158, 160

постулат 8, 9, 11, 27, 33, 42-44, 47-50, 53-56, 58-60, 61, 63-67, 68-71, 74-76, 80, 82, 86, 90, 93, 112, 113, 117, 126, 143, 148

Архимеда 126

о параллельных 8, 11, 60, 61, 66, 68, 69, 71, 74, 75, 90, 93

правильный многоугольник 45, 47, 133-135, 139

восьмиугольник 133, 135, 138

квадрат 10, 40, 45, 52, 58, 89-91, 96-100, 114-116, 118, 131, 133, 135, 138-140, 146, 152, 153

пятиугольник 45, 53, 54, 101, 104

пятнадцатиугольник 45

равносторонний треугольник 45, 52-54, 73

шестиугольник 45 Прокл 7, 9, 15, 16, 17, 20, 30, 32, 34

пропорция 5, 8, 11, 44-46, 95, 100, 103, 107, 109, 118, 119, 124, 125, 144

прямая 20, 22, 24, 26, 43, 45, 49-56, 58, 63, 65-74, 77, 78, 82-85, 97, 104, 109, 116, 119, 122, 124, 131, 137

перпендикулярная 52, 68, 71, 84, 85, 96, 104, 119, 124

прямой отрезок 10, 65, 82, 92

прямоугольник 10, 52, 90, 91, 96-103, 127

псевдосфера 77

Птолемей, Клавдий 8, 9, 11, 15, 17, 30, 41, 49

Птолемей I Сотер 15, 17

Птолемей II Филадельф 15

разделенная линия 37, 38

Ратдольт, Эрхард 44, 158, 159

Рафаэль 23, 41

Сен-Венсан, Грегуарде 140

синтез 7-9, 13, 16, 17, 32, 43, 53, 56, 60, 82, 101, 158

соотношение 19, 20, 22, 24, 45, 49, 100— 102, 103, 113-120, 124, 131, 135, 139, 145, 147

золотое 100, 101, 103

Софокл 160

существование 9, 22, 37, 38, 42, 43, 46, 50, 51, 53, 54, 58, 67, 68, 70, 71, 77, 80, 82, 85, 136, 137, 139, 161

танграм 44, 60, 63, 87, 89, 90, 92-94, 96- 99, 122, 123, 125, 127, 131, 132

тела 8, 102-104, 109, 112, 118, 120

додекаэдр 46, 102-104, 106

икосаэдр 46, 102-104, 106

куб, или гексаэдр 46, 102, 135

октаэдр 46, 102

Платоновы 9, 17, 46, 47, 60, 102, 103

тетраэдр 46, 102-104

теорема 17, 21, 22, 32, 33, 35, 40, 42-47, 53, 54, 87, 92, 96, 97, 99, 114, 124, 131, 132, 134, 148-150, 152, 161

Пифагора 40, 44, 45, 96, 99, 114, 131, 132, 152

Фалеса 8, 45, 125, 134

теория отношений 8, 11, 44, 45, 107, 109, 124, 125

типов Рассела 162

Теэтет 9, 17, 29, 33, 46

точка 10, 20, 22, 26, 39, 42-44, 50, 51, 52-56, 58, 65-74, 77, 82, 84, 85, 93, 99-104, 112, 116, 122, 123, 126, 161

трактриса 77

треугольник 10, 19, 20, 24, 26, 40, 44, 45, 52-55, 58, 59, 64-68, 71, 73, 76, 78, 80, 84, 90-96, 98, 99, 101, 102, 104, 109, 115, 116, 121-124, 126, 127, 132-135, 138, 139

подобие 124

признаки равенства 64, 95

прямоугольный 44, 45, 52, 64, 96, 99, 115, 116, 124, 138, 139

тривиум 7

угол 10, 19, 24, 26, 50, 52, 55, 56, 58, 63- 67, 69, 71-73, 76, 78, 79, 91, 96, 101, 102, 119, 124

прямой 50, 52, 56, 63, 64, 66, 69, 71, 91, 119, 124

у основания 55, 67

Фалес Милетский 8, 11

Ферма, Пьер де 27, 148

Филолай 11, 29, 34

философия 7, 9, 17, 35, 37, 41, 43, 69, 79, 82, 111, 118

циркуль 23, 33, 44, 45, 50, 54, 71, 99, 140

число 9, 31, 33, 46, 58, 82, 83, 97, 98, 100, 114, 115, 117-120, 126, 138-140, 143-146, 148-150, 152, 154

первое (простое) 46, 83, 144, 148, 150

составное 83, 110, 111, 144, 145, 148, 149

совершенное 46, 144, 145, 150

π 139

Эйлер, Леонард 27, 150

Евклид Александрийский - автор одного из самых популярных нехудожественных произведений в истории. Его главное сочинение - «Начала» - было переиздано тысячи раз, на протяжении веков по нему постигали азы математики и геометрии целые поколения ученых. Этот труд состоит из 13 книг и содержит самые важные геометрические и арифметические теории Древней Греции. Не меньшее значение, чем содержание, имеет и вид, в котором Евклид представил научное знание: из аксиом и определений он вывел 465 теорем, построив безупречную логическую структуру, остававшуюся нерушимой вплоть до начала XIX века, когда была создана неевклидова геометрия.