Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
В течение всей аудиенции в комнате присутствовало около двух десятков людей — они хранили молчание, пока Шанкарачарья говорил. Ближе к концу церемонии один человек среднего возраста — как выяснилось, консультант по программному обеспечению из Бангалора — задал вопрос о значении числа 1062. Это число присутствует в Ведах, сказал он, а потому должно что-нибудь означать. Шанкарачарья согласился с ним. И далее началась дискуссия по поводу того, что индийское правительство пренебрегает наследием страны. Шанкарачарья посетовал, что тратит большую часть своего времени и сил на защиту традиционной культуры, в связи с чем ему не удается уделять достаточно времени математике. В тот год он посвятил ей всего пятнадцать дней…
* * *На следующий день за завтраком я спросил вчерашнего компьютерного консультанта, чем вызван его интерес к числу 1062, и он прочел мне целую лекцию о научных достижениях Древней Индии. Тысячи лет назад, сказал он, индийцы знали о мире гораздо больше, чем известно сейчас. Он упомянул о том, что они могли летать на аэропланах. Когда я спросил, имеются ли тому какие-либо доказательства, он ответил, что археологи нашли вырезанные на камне изображения самолетов, которым тысячи лет. Использовали ли эти самолеты реактивные двигатели? Нет, сказал он, они черпали энергию из магнитного поля Земли. Эти летательные аппараты были сделаны из композитных материалов. Скорость их была небольшой — между 100 и 150 километрами в час. Постепенно мои вопросы стали раздражать его все больше и больше, поскольку мое желание получить должное научное объяснение воспринималось им как оскорбление индийского научного наследия. В конце концов он больше не захотел со мной говорить.
Хотя ведическое знание является фантастическим, оккультистским и, в общем, довольно сомнительным, ведическая математика вполне выдерживает тщательное, критическое рассмотрение, несмотря на то что сутры по большей части туманны вплоть до полного отсутствия смысла, а принятие истории об их происхождении в Ведах требует временной атрофии способности к сомнению. Некоторые из методов столь специфичны, что представляются не более чем курьезами — взять хотя бы подсказки для превращения дроби 1/19 в десятичную. Но некоторые и правда очень ясные и точные.
Рассмотрим пример умножения 57 × 43, к которому мы уже обращались в данной главе. Стандартный метод умножения этих чисел состоит в том, чтобы записать две промежуточных строки, а затем сложить их. Но, используя третью сутру — «Вертикально и крест-накрест», — можно довольно ловко найти ответ таким способом:
Шаг 1
Запишем числа друг над другом:
Шаг 2
Перемножим цифры в правом столбце: 7 × 3 = 21. Последняя цифра этого числа есть последняя цифра в ответе. Запишем ее внизу в правом столбце и перенесем возникшую 2:
Шаг 3
Найдем сумму скрестных произведений: (5 × 3) + (7 × 4) = 15 + 28 = 43. Прибавим перенесенную 2, что даст 45. Последняя цифра этого числа — то есть 5 — записывается внизу в левом столбце, а 4 переносится:
Шаг 4
Перемножим цифры в левом столбце: 5 × 4 = 20. Прибавим к этому перенесенную 4, что даст 24, и получим окончательный ответ, 2451:
Данный метод можно обобщить на умножение чисел любой величины. Изменения затрагивают только порядок, в котором числа скрестно перемножаются.
Рассмотрим, например, умножение 376 × 852:
Шаг 1
Начинаем с правого столбца: 6 × 2 = 12:
Шаг 2
Далее берем сумму скрестных произведений между столбцом единиц и столбцом десяток: (7 × 2) + (6 × 5) = 44 плюс перенесенная 1. Получается 45:
Шаг 3
Теперь переходим к скрестным произведениям между столбцом единиц и столбцом сотен и прибавляем к ним вертикальное произведение в столбце десяток: (3 × 2) + (8 × 6) + (7 × 5) = 89 плюс еще перенесенная 4. Получается 93:
Шаг 4
Сдвигаясь налево, перемножим накрест первые два столбца: (3 × 5) + (7 × 8) = 71, к чему прибавим перенесенную 9. Получается 80:
Шаг 5
И наконец, найдем вертикальное произведение в левом столбце: 3 × 8 = 24, к чему прибавим перенесенную 8. Получается 32. Окончательный ответ: 320 352.
«Вертикально и крест-накрест», или «скрестное умножение», оказывается быстрее, чем умножение столбиком и занимает меньше места. Кеннет Уильямс сказал мне, что всякий раз, как он объясняет ведический метод школьникам, они воспринимают его очень легко. «Почему же, — спрашивают его дети, — нам не объясняли такого раньше?» В школах предпочитают умножение столбиком по той причине, что в нем подробно расписаны все промежуточные стадии вычисления. При использовании приема «Вертикально и крест-накрест» часть алгоритма остается скрытой.
Уильямс полагает, что этот прием — штука небесполезная и даже может помочь более слабым ученикам. «Наша задача — сориентировать, а не требовать, чтобы дети знали все и всегда. Некоторым детям хочется знать, как работает алгоритм умножения, другие не желают вникать в детали, и все, что им нужно, — это иметь возможность выполнить вычисление». Если учитель настаивает на следовании общим, но непонятным правилам, сказал он, то может оказаться, что ребенок так и не научится умножать и вообще ничего не получит от обучения. А для более сообразительных детей, добавил Уильямс, ведическая математика оживляет преподавание арифметики. «Математика — предмет творческий. Коль скоро дети видят, что имеются различные методы, им приходит в голову, что они и сами могут изобрести свой собственный, и таким образом начинают относиться к предмету более творчески. Математика — на самом деле штука веселая, даже забавная, а ведическая математика дает хороший способ преподавать ее именно таким образом».
* * *Одной аудиенции с Шанкарачарьей не хватило, чтобы обсудить все, что хотелось, так что мне предоставили еще одну. В самом начале церемонии старший ученик заявил: «Мы хотели бы кое-что сказать касательно нуля». После чего сам Шанкарачарья в течение десяти минут оживленно вещал на хинди, а старший ученик переводил. «В современной математической системе нуль рассматривается как несуществующая сущность, — объявил он. — Мы намерены исправить это аномальное положение. Нуль нельзя рассматривать как несуществующую сущность. Попросту говоря, одна и та же сущность не может существовать в одном положении и не существовать в другом». Суть рассуждения Шанкарачарьи, как мне кажется, сводилась к следующему. Люди рассматривают 0 внутри числа 10 как существующий, но при этом 0 сам по себе рассматривается как нечто несуществующее. Здесь имеется противоречие: нечто должно или существовать, или нет. Так что нуль существует. «В ведической литературе нуль рассматривается как вечносущее число, — сказал он. — Нуль нельзя никаким образом уничтожить. Он представляет собой неразрушаемый фундамент. Он лежит в основе всего». Я решил больше не задавать вопросов, поскольку мои замечания сначала переводили на хинди, обсуждали, а потом ответ переводили обратно на английский, так что эти ответы всякий раз запутывали меня еще больше. Пусть, подумал я, переводимые слова просто проплывают надо мной, пока аудиенция не закончится.
Я отвлекся и стал разглядывать Шанкарачарью. На нем было оранжевое одеяние, с большим узлом, завязанным сзади на шее, а его лоб был вымазан бежевой краской. Интересно, размышлял я, как это — жить так, как живет он. Мне говорили, что он спит в пустой комнате, где нет никакой мебели, ест каждый день одно и то же надоевшее карри и не испытывает никакой необходимости или привязанности к собственности. В самом начале церемонии к нему подошел паломник и вручил ему чашу с фруктами. Приняв фрукты, Шанкарачарья немедленно раздал их нам. Мне досталось манго.
Всячески пытаясь осмыслить мудрость Шанкарачарьи, я стал думать об утверждении, что «нуль есть существующая сущность», и повторял его в своей голове как мантру. Внезапно ход моих мыслей нарушился, вслед за чем пришло более глубокое понимание этой фразы. Согласно индуистскому мышлению, ничто не было ничем. Ничто было всем. И аскетичный, добровольно отказавшийся от всех земных благ Шанкарачарья был идеальным олицетворением этого ничто. Напротив меня восседал господин Нуль собственной персоной — воплощение «шуньи» в крови и плоти.
Индийской философии так же внутренне присуща концепция «несуществования», как и индийской математике — концепция нуля. Концептуальный скачок, приведший к изобретению нуля, произошел в цивилизации, которая приняла пустоту как суть Вселенной. Символ изображения нуля, возникший в Древней Индии, в полной мере воплотил в себе главное откровение Шанкарачарьи о том, что математику невозможно отделить от духовности. Окружность, олицетворяющая нуль, была выбрана потому, что выражает циклическое движение небесного свода. Нуль означает ничто, и это означает вечность.
