Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Стоит заметить, что для чисел выше тысячи индийцы используют разделительную запятую после каждых двух цифр, тогда как во всем остальном мире, где используется разделительная запятая, принято ставить ее через каждые три цифры.
Слова «лакх» и «крор» — наследие Древней Индии. Они происходят из слов «лакх» и «карод» (хинди), которые, в свою очередь, происходят из санскритских названий этих чисел — «лакш» и «коти». В Древней Индии изобретение слов для больших чисел было научным и религиозным предприятием. Например, в «Латисвара Сутра» — тексте на санскрите, датируемом самое позднее началом VI столетия, — перед Буддой встает проблема выразить числа большие чем сто «коти». На что он говорит:
«Одна сотня „коти“ называется „аюта“, сотня „ают“ дает „пиюту“, сотня „пиют“ дает „канкару“, сотня „канкар“ дает „вивару“, а сотня „вивар“ — это „кшобхья“».
Будда продолжает счет числами, кратными ста, пока не добирается до «таллакшана», что есть десять миллионов, умноженные на сто 23 раза, — как можно видеть, это 10, за которым следуют 53 нуля, или, другими словами, 1053. Это колоссально большое число — настолько большое, что если измерить всю Вселенную от края до края в метрах, а потом возвести полученное число в квадрат, то получится как раз нечто в районе 1053.
Но Будда на этом не остановился. Он разъяснил, что описал только лишь счетную систему таллакшана, и выше нее имеется другая система, в которой такое же количество членов. А выше той — еще одна, и в ней снова 24 названия для чисел. Но и это еще не все — кроме них есть еще шесть других систем, каковые Будда, разумеется, полностью перечислил. Последнее число в самой последней системе эквивалентно 10421 — это единица с 421 нулем.
Пожалуй, стоит перевести дух и оглядеться. Во Вселенной, по имеющимся оценкам, примерно 1080 атомов. Если взять наименьший из измеримых отрезков времени — так называемое планковское время — настолько малых, что в секунде их насчитывается 1043, то окажется, что с момента Большого взрыва прошло «всего лишь» 10140 таких отрезков времени, что во много (во много!!!) раз меньше, чем 10421. Упомянутые Буддой большие числа лишены практического применения — по крайней мере, в отношении пересчета того, что существует в нашем мире.
Будда не только оказался способен измерить непредставимо большое, но и с неменьшим блеском прошелся по области непредставимо малого, дав объяснение того, сколь много атомов имеется в йоджане — древней единице длины порядка 10 километров. Йоджана, заметил он, имеет следующие эквиваленты:
Четыре кроша, каждый из которых есть длина в Одну тысячу арк, каждый из которых есть длина в
Четыре локтя, каждый из которых есть длина в Две пяди, каждая из которых есть длина в Двенадцать пальцев, каждый из которых есть длина в
Семь зернышек, каждое из которых есть длина в Семь семечек горчицы, каждое из которых есть длина в
Семь маковых зернышек, каждое из которых есть длина в
Семь частиц пыли, поднятой коровой, каждая из которых есть длина в Семь частиц пыли, поднятой бараном, каждая из которых есть длина в
Семь частиц пыли, поднятой зайцем, каждая из которых есть длина в
Семь частиц пыли, уносимой ветром, каждая из которых есть длина в
Семь крошенных пылинок, каждая из которых есть длина в
Семь малюсеньких пылинок, каждая из которых есть длина в
Семь частиц первых атомов.
На самом деле получается довольно неплохая оценка. Пусть, скажем, длина пальца — 4 сантиметра. «Первые атомы» Будды, таким образом, имеют длину 4 сантиметра, деленную на 7 десять раз, что составляет 0,04 м × 7-10, или 0,000000000416 м, что более или менее соответствует размеру атома углерода.
Будда никоим образом не был единственным древним индийцем, который интересовался невероятно большим и невообразимо малым; литература на санскрите полна астрономически больших чисел. Некоторые из них использовались для нужд астрономии — науки, развитой в Индии в совершенстве, — но не все. Последователи джайнизма (религии, близкой индуизму) ввели единицу «раджа» как расстояние, которое бог проходит за шесть месяцев, если преодолевает 100 000 йоджан за каждое мигание глаза. Время, называемое «палья», определялось как продолжительность, необходимая для опустошения гигантского куба, имеющего размер йоджаны и заполненного шерстью новорожденных ягнят, если одна шерстинка вынимается из него раз в столетие. Зацикленность на больших (и малых) числах была в основе своей метафизической — некоторым интуитивным способом осознания бесконечного и попыткой разрешить экзистенциальные проблемы жизни.
* * *Прежде чем арабские числительные получили всеобщее международное признание, люди изобрели много других способов записи чисел. Первыми обозначениями для чисел, появившимися на Западе, были зарубки, клинописные знаки и иероглифы. Когда люди, говорившие на разных языках, развили свои собственные алфавиты, для представления чисел стали использовать буквы. Говорившие на иврите евреи использовали букву алеф (א) для обозначения 1, бет (ב) для обозначения 2 и т. д. Десятая буква — йод (י) — обозначала 10, после чего численные значения букв шли через десяток, а по достижении 100 — через сотни. Двадцать вторая, и последняя, буква древнееврейского алфавита — тав (ת) — имела значение 400. Использование букв для обозначения чисел не было лишено некоторой путаницы, а кроме того, способствовало развитию нумерологического подхода к счету. Например, гематриа заключалась в сложении чисел, выражаемых буквами в словах на иврите. Получившееся значение воспринималось как проявление боговдохновения и становилось основой для пророчеств.
Похожую систему использовали и древние греки — у них альфа (α) обозначала единицу, бета (β) — двойку и т. д. до 27-й буквы имевшегося в их распоряжении алфавита, сампи (ϡ), которая обозначала число 900. Греческой математической культуре — самой развитой в Древнем мире — не была свойственна жажда индусов к овладению колоссальными числами. Названием для самого большого из чисел, имевшихся в распоряжении древних греков, было слово «мириада», означавшее десять тысяч, что записывалось как заглавная буква М.
В основе римских числительных также лежал алфавит, хотя римская система имела более древние корни, чем даже греческая или еврейская. Символ для единицы выглядел как I — возможно, происходил он из засечки на счетной палочке. Пять обозначалось как V — возможно, из-за схожести с тем, как выглядит рука. Другие числа выглядели как X, L, С, D, M и соответственно обозначали 10, 50, 100, 500, 1000. Все остальные числа строились с использованием этих семи заглавных букв. Использование всего лишь семи символов в сравнении с 22 из иврита и 27 из греческого алфавита делало римскую систему более удобной, вот почему она оставалась основной числовой системой в Европе на протяжении более тысячи лет.
Тем не менее римские числительные очень плохо приспособлены к нуждам арифметики. Давайте попробуем вычислить 57 × 43. Лучшим способом решить эту задачу является хитроумный, но медленный метод, получивший название египетского или крестьянского умножения, поскольку возник он в Древнем Египте.
Для начала разложим одно из чисел, подлежащих умножению, по степеням двойки (эти степени, напомним, равны 1, 2, 4, 8, 16, 32 и т. д., где каждый раз происходит удвоение), а затем составим таблицу удвоений другого числа. В нашем примере — (57 × 43) — надо разложить число 57 и выписать таблицу удвоений числа 43. Я буду использовать арабские числительные, чтобы продемонстрировать, как это делается, но процесс остается тем же самым и при использовании римских числительных.
Разложение: 57 = 32 +16 + 8 +1.
Таблица удвоений:
1 × 43 = 43
2 × 43 = 86
4 × 43 = 172
8 × 43 = 344
16 × 43 = 688
32 × 43 = 1376
Умножение 57 × 43 эквивалентно сложению результатов из правого столбца в таблице удвоений, которые отвечают степеням двойки в разложении. Это, возможно, звучит не слишком понятно, но в действительности оказывается не так уж сложно. Наше разложение содержит в себе числа 32, 16, 8 и 1. В таблице 32 отвечает числу 1376, 16 — числу 688, 8 — числу 344, а 1 — числу 43. Таким образом, результат нашего умножения равен 1376 + 688 + 344 + 43, что дает 2451.
Если разбивать вычисления на удобоваримые кусочки, сводящиеся только к удвоению и сложению, то римские числительные оказываются вещью вполне пригодной. И тем не менее нам пришлось выполнить работы куда больше, чем это на самом деле нужно.
Сравним приведенное вычисление с умножением столбиком, которое все мы изучали:
Имеется очень простая причина, по которой наш метод и проще, и быстрее. Дело в том, что ни римляне, ни греки, ни евреи не изобрели символа для нуля. А когда дело доходит до вычислений, то именно 0, то есть ничто, становится невероятно важным и меняет все кардинальным образом.
