Josep Carrera - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

P1/П1 = 1/3

Книга XII, предложение 18. Сферы находятся друг к другу в тройном отношении собственных диаметров.

Е1/Е1 = d13/d23

Рассмотрим, как Архимед использовал метод исчерпывания для решения задачи о квадратуре параболы. В некотором смысле оно похоже на решение задачи о квадратуре круга, предложенное Евклидом. Его основная цель — вписать в площадь параболы треугольники и сложить их площади, уже известные нам. Архимед писал:

Квадратура параболы. Площадь сегмента параболы относится к площади вписанного в нее треугольника как один к трем.

Рассмотрим треугольник АСВ, вписанный в сегмент параболы ADCEBA, где вершина С — точка, через которую проходит касательная к параболе, параллельная хорде АВ. В этом случае Архимед утверждал, что площадь S (ADCEBA) равна 4/3 площади треугольника Т = АСВ. То есть

S(ADCEBA) = 4/3 x S(ΔABC) = 4/3 х Т,

Теперь мы должны вписать в оставшиеся сегменты параболы треугольники Т1 = ADC, Т2 = ВЕС и сегменты ADA, DCD, СЕС, ВЕВ и так до бесконечности, поскольку величины делимы до бесконечности. Все это бесконечное множество треугольников покрывает площадь, равную трети треугольника Т=АСВ. Тем не менее прибегать к бесконечному необязательно, так как мы можем воспользоваться методом исчерпывания. Можно убедиться с помощью танграма, что треугольники Т1 = ADC и Т2 = ВЕС «покрывают соответственно больше половины сегментов параболы ADCA и ВЕСВ». Очевидно, что площадь треугольника T1=ADC равна половине прямоугольника АН. При этом сегмент параболы ADCEBA меньше этого прямоугольника.

Следовательно, Т1 = ADC покрывает больше половины сегмента ADCEBA. То же самое происходит с Т1 = ADC, сегментом параболы СЕВС и прямоугольником CF. Такой метод рассуждений справедлив последовательно для каждого остающегося сегмента параболы. Важно обратить внимание на то, что хотя в данном случае мы применили его к параболе, он работает и для других кривых, включая окружности.

Однако полностью потенциал этого метода раскрыл Архимед, самый выдающийся математик античности.

Евклид дает следующее определение методу исчерпывания:

Книга X, предложение 1. Для двух заданных неравных величину если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины.

Это предложение равнозначно определению 4 книги V: если верно одно, то верно и другое, и наоборот. Архимед обратил на это внимание и решил ввести предложение в ранг постулата, который сегодня известен как принцип (или аксиома, или свойство) Архимеда.

Принцип Архимеда. Если имеются две величины одного порядка А и Bf то всегда существует натуральное число пу при котором п х А > В или п х В > А.

Доказав предложение 7 книги XII, Евклид решил задачу расчета объема пирамиды, унаследованную от египетских математиков. Вопрос о возможности ее решения с помощью метода танграма стоял на третьем месте в составленном Давидом Гильбертом в начале прошлого века списке из 23 задач, представляющих особый интерес для математики. Ответ, разумеется, был отрицательным. А предложение 2 дает ответ на один из важнейших вопросов классической геометрии, которому и посвящена следующая глава.

ГЛАВА 6

Квадратура круга

Одним из главных достижений пифагорейской школы было открытие возможности построить квадратуру любой многосторонней плоской фигуры. Но было ли это справедливо для круга и других фигур с одной или всеми изогнутыми сторонами? Этот вопрос занимал не только математиков, но и мыслителей, и со временем выражение «квадратура круга» стало синонимом неразрешимой задачи.

Метод танграма позволяет построить квадратуру любой многосторонней плоской фигуры. Вследствие любви к обобщению древнегреческие геометры задавались вопросом: можно ли свести к квадрату фигуры с округленными сторонами и, в частности, идеальную фигуру — круг? Первым к решению этой задачи приступил гениальный математик Гиппократ Хиосский. Он разработал серповидные фигуры (гиппократовы луночки): одну над окружностью, другую — над меньшей частью окружности и еще одну — над ее большей частью. Для доказательства, основанного на методе танграма, Гиппократу были необходимы два результата:

— теорема Пифагора;

— доказательство того, что соотношение площадей двух окружностей равно соотношению квадратов их диаметров.

Маловероятно, что Гиппократ располагал этими доказательствами: скорее всего, он интуитивно догадался об их существовании. Сейчас мы подробно рассмотрим решение задачи квадратуры луночки над окружностью.

Рассмотрим дугу AGB, проведенную над стороной АВ квадрата ADEBy и полуокружность АСВ. Между ними находится луночка AGBCAy выделенная на рисунке 1 серым цветом. Докажем, что ее площадь равна площади равнобедренного ΔАСВ. Луночка состоит из треугольника АСВ за вычетом сегмента S плюс два равных сегмента S1 и S2:

площадь AGBCA = площади АСВ — S + (S1 + S2).

Так Гиппократ применяет метод танграма. Все сводится, следовательно, к доказательству того, что S = S1 + S2. Из теоремы Пифагора мы знаем, что

АВ² = АС² + СВ². (*)

РИС. 1

Теперь достаточно объединить площади поверхностей S с указанными выше квадратами. Как мы уже сказали, Гиппократ предполагал, что круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров, то есть выполняется соотношение

S/АВ2 = S1/AC² = S2/CB²

Следовательно,

S/AB² = (S1 + S2)/(АС² + СВ²)

(исходя из предложения 12 книги V). Согласно (*) получается, что S = S1 +S2. Действительно, очень изящное доказательство! Так была открыта дорога к решению задачи о квадратуре круга.

Древнегреческие софисты Антифонт (480-411 до н. э.) и Брисон (ок. V века до н. э.) также занимались вопросом квадратуры круга и пришли к простому и бесспорному на первый взгляд выводу. Они предлагали описать круг методом приближения вписанных в него (Брисон добавлял — и описанных) многоугольников, построенных путем разделения пополам каждой стороны круга, то есть переходя от квадрата к восьмиугольнику, 16-угольнику и так далее. Таким образом можно получить последовательность плоских прямоугольных фигур, которые содержат в себе круг (см. рисунок 2). Вписывая в него и описывая вокруг него квадрат, 8-, 16-угольник и так далее, мы получаем последовательность плоских прямоугольных фигур, содержащих круг, причем все они сводимы к квадрату:

P4 < P8 < P16 < ... < Ρ2n <···< Ρ2n <···< Ρ16 < Ρ8 < Ρ4.

РИС. 2

Но есть ли гарантия, что все фигуры этого бесконечного ряда будут сводимы к квадрату? Напомним, что Аристотель запретил прибегать к понятию бесконечности — чтобы сделать невозможными подобные рассуждения. Рассмотрим следующее предложение, явно неверное:

Две стороны треугольника равны по длине третьей стороне (рисунок 3 на следующей странице).

Мы видим, что длина отрезков, составляющих ломаную линию, идущую от точки А до точки В, равна сумме длин сторон АС и СВ: АС + СВ = АС1 + С1А1 + А1С"1 + С'1В.

Если мы доведем эту последовательность до предела, ломаная линия сольется со стороной АВ, что доказывает ложность данного предложения. Гипотеза, верная до того, как ее «довели до предела», может оказаться ошибочной после этого.

РИС. 3

Евклид открывает книгу XII двумя предложениями, которые устанавливают одну и ту же теорему для правильных многоугольников, вписанных в круг, и для круга.

Книга XII, предложение 1. Подобные многоугольники, вписанные в круги, будут относиться друг к другу как квадраты диаметров этих кругов.

Книга XII, предложение 2. Круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров.

Первое предложение является прямым следствием теоремы Фалеса применительно к площадям, поскольку достаточно убедиться, что каждый из центральных треугольников, на которые раскладываются правильные многоугольники, подтверждает теорему Фалеса. Второе можно было бы доказать методом бесконечного ряда, но рассуждения, в которых используется понятие бесконечности, были неприемлемы для древнегреческих ученых (хотя в этом случае это было бы правильно). Евклид мог бы довести до предела предложение 2 книги XII таким образом: если для каждого многоугольника п вида п=2k справедливо соотношение