Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Теорема Пифагора утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Эти слова отпечатаны у меня в мозгу, как один из первых детских стишков или как рождественский гимн; эта фраза вызывает ностальгическое ощущение и умиротворяет независимо от содержащегося в ней смысла.
Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу, а прямой угол — это четверть полного оборота. Теорема Пифагора — абсолютный чемпион по популярности во всех начальных курсах по геометрии, первая действительно наводящая на размышление математическая концепция, изучаемая в школе. Меня в ней восхищает, насколько глубокую связь она вскрывает между числами и пространством. Не у всех треугольников имеется прямой угол, но, когда такой угол есть, сумма квадратов двух сторон должна быть равна квадрату третьей. Теорема верна и в противоположном направлении: возьмем любые три числа. Если сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего, то можно построить прямоугольный треугольник, длины сторон которого будут как раз заданными числами.
Теорема Пифагора
В ряде комментариев о Пифагоре говорится, что до основания братства он предпринял путешествие в Египет с целью сбора фактов. Если бы он заглянул на египетскую строительную площадку, то наверняка бы заметил, что для создания прямого угла рабочие использовали прием, представляющий собой применение теоремы, позднее названной его именем. На веревке делались отметки в виде завязанных узлов на расстояниях, равных 3, 4 и 5 единицам. Поскольку 32 + 42 = 52, когда веревкурастягивали между тремя колышками так, чтобы у каждого колышка оказывался узел, она образовывала треугольник, один из углов которого был прямым.
Натягивание веревки — самый удобный способ получения прямых углов, необходимых для того, чтобы кирпичи или гигантские каменные блоки, подобные тем, что использовались при строительстве пирамид, можно было слой за слоем класть друг на друга[15]. (Слово «гипотенуза» происходит из греческого слова, означающего «протянутая, растянутая снизу».) Чтобы получить настоящий прямой угол, египтяне могли использовать и много других чисел, кроме 3, 4 и 5. В действительности имеется бесконечное количество чисел а, b и с, таких что а2 + b2 = с2. Египтяне могли бы отметить на своих веревках, например, длины в 5, 12 и 13 единиц, потому что 25 + 144 = 169, или длины 8, 15 и 17, потому что 64 + 225 = 289, или даже 2772, 9605 и 9997, потому что 7 683 984 + 92 256 025 = 99 940 009, хотя это едва ли удобно на практике. Числа 3, 4, и 5 подходят для решения задачи лучше всего. Помимо того что это наименьшая такая тройка чисел, это еще и единственная тройка, в которой целые числа идут подряд. Из-за наследия, оставшегося от натягивания веревок, прямоугольный треугольник со сторонами, находящимися в отношении 3:4:5, известен как «египетский треугольник». Это карманная машина для построения прямых углов — жемчужина нашего математического достояния, интеллектуальный продукт колоссальной мощи, элегантности и точности.
* * *Квадраты, фигурирующие в теореме Пифагора, можно понимать как числа, а можно и как картинки — буквально, как квадраты, нарисованные на сторонах треугольника. Представим себе, что квадраты на сторонах треугольника, изображенного на рисунке, сделаны из золота. Предлагается или выбрать два меньших квадрата, или взять самый большой. Что лучше?
Учитель математики Реймонд Смулльян говорит, что, когда он задает этот вопрос своим ученикам, половина класса желает взять один большой квадрат, а другая половина — два меньших квадрата. И те и другие очень удивляются, когда он сообщает им, что никакой разницы нет.
Это так потому, что, как утверждает теорема, общая площадь двух меньших квадратов равна площади большего квадрата. На каждом прямоугольном треугольнике можно построить таким способом три квадрата, так что площадь большего можно в точности разделить на площади двух меньших. И так получается всегда.
Неизвестно, действительно ли честь открытия этой теоремы принадлежит Пифагору, однако еще с античных времен имя его прочно связано с ней. Эта теорема подтверждает его мировоззрение, демонстрируя замечательную гармонию математической вселенной. И действительно, теорема выявляет связь более глубинную, чем просто между квадратами, построенными на сторонах прямоугольного треугольника. Площадь полуокружности, построенной на гипотенузе, например, равна сумме площадей полуокружностей, построенных на двух других сторонах. Площадь пятиугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей пятиугольников, построенных на двух других сторонах; то же верно для шестиугольников, восьмиугольников и вообще для любых правильных или неправильных фигур. Если, скажем, к сторонам прямоугольного треугольника пририсовать три портрета Моны Лизы, то площадь большой Моны будет равна площади двух меньших.
Больше всего меня восхищает в теореме Пифагора то, что я понимаю, почему она верна. Простейшее доказательство таково. Оно восходит к древним китайцам, возможно к тем временам, когда Пифагор еще не родился, и представляет собой одну из причин, по которой многие подвергают сомнению, что именно он был первым, кто предложил эту теорему.
Прежде чем продолжать чтение, рассмотрим два квадрата. Квадрат А по размеру равен квадрату В, и все прямоугольные треугольники внутри этих двух квадратов тоже имеют одинаковые размеры. Поскольку квадраты равны, площади белых областей внутри них тоже равны. Заметим теперь, что большой белый квадрат внутри квадрата А — это квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника. А меньшие белые квадраты внутри квадрата В — это квадраты, построенные на двух других сторонах треугольника. Другими словами, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Готово.
Поскольку мы можем построить квадраты, аналогичные А и В, для прямоугольного треугольника любой формы и размера, теорема должна быть верна во всех случаях.
Захватывающая увлекательность математики коренится в моменте внезапного проявления истины в доказательствах, подобных приведенному выше, когда все вдруг становится ясным. И тогда испытываемое интеллектуальное удовольствие граничит с физическим. В XII столетии это доказательство так потрясло индийского математика Бхаскару, что под иллюстрирующим его рисунком он в своей математической книге «Лиливати» вместо объяснений написал всего одно слово: «Зри!»
* * *Имеется много других доказательств теоремы Пифагора; одно, особенно милое, приведенное на рисунке, приписывается арабскому математику Аннаиризи, а появилось оно около 900 года. Теорема там извлекается из повторяющегося узора. Улавливаете? (Если нет, то помощь можно почерпнуть в приложении 1 на веб-сайте, посвященном этой книге.)
В книге «Пифагорово предложение» Элиша Скотта Лумиса, изданной в 1940 году, приведено 371 доказательство этой теоремы. Их авторы были на редкость несхожие между собой люди; к примеру, одно доказательство в 1888 году предложила слепая девушка Эмма Кулидж; второе, в 1938 году — Энн Кондит, 16-летняя старшеклассница; авторами других считаются Леонардо да Винчи и американский президент Джеймс А. Гарфилд, правивший страной с марта по сентябрь 1881 года. Гарфилд наткнулся на свое доказательство во время математических развлечений с коллегами в бытность свою конгрессменом от Республиканской партии. «Мы рассматриваем его как нечто, по поводу чего члены обеих палат могут проявить единство, невзирая на партийные различия», — сказал он, когда его доказательство впервые было опубликовано в 1876 году.
Разнообразие доказательств — свидетельство жизненной силы математики. Нет и никогда не было одного-единственного «правильного» способа решения математической задачи, и исключительно интересно наблюдать, какими различными путями различные умы добирались до желанного решения. Возьмем, например, три доказательства теоремы Пифагора из трех различных эпох: одно предложил Лю Хуэй — китайский математик, живший в III веке, другое — Леонардо да Винчи, один из титанов эпохи Возрождения, а третье (в 1917 году) — Генри Дьюдени, самый знаменитый британский изобретатель головоломок. И Лю Хуэй, и Дьюдени дали «доказательства путем разбиения», в которых два малых квадрата разбиваются на фигуры, которые можно собрать в точности в большой квадрат. Вы можете пожелать изучить их доказательства, чтобы понять, как это делается. Доказательство Леонардо более необычно и требует большего напряжения мысли. (Если потребуется помощь, загляните на веб-сайт www.alexbellos.com.)
лю Хуэй
