Josep Carrera - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

На современном языке это означает, что квадратный корень из числа 2 — иррациональное число. Аристотель сначала принимает истинным противоположный постулат о том, что это число рациональное, и приходит к заключению: в таком случае «четное число одновременно есть также и нечетное», а это невозможно. Запишем его рассуждения в современном виде.

Предположим (дополнительная гипотеза), что

2 = m²/n²

где m и n — два числа разной четности. Следовательно, 2n² = m². Тогда, если m — четное число (то есть m = 2m'), то n — нечетное. Следовательно, 2n² = 4m'². То есть n² = 2m'², и n — четное.

Теперь рассмотрим еще один пример, который показывает, что, используя метод доведения до абсурда, Евклид прибегал к идеальным математическим объектам. Как мы уже сказали, при доказательстве необходимо установить, что построенные математические объекты правильны. Тем не менее метод доведения до абсурда предполагает, что в начале допускается существование неких математических объектов, как если бы они были реальными. Потом доказывается, что эта предпосылка ошибочна, то есть требуется построение объектов, которые не могут быть построены.

Эту проблему можно решить, приняв тот факт, что процесс построения происходит только в идеальной области фигур. Например, представим себе круг и прямую: они пересекаются или в двух точках, или в одной (в случае с касательной), или вообще не пересекаются. Если они пересекаются в двух точках, то эти точки существуют в идеальной геометрии, или, иначе говоря, в геометрической методологии. Например:

РИС. 1

Книга I, предложение 6. Если у треугольника два угла равны, то и противоположные им стороны равны.

Евклид рассматривает фигуру на рисунке 1 (треугольник АВС с равными углами СВА и АСВ, у которого при этом противоположные стороны АВ и АС неравны; например, одна, АВ, длиннее АС).

Но такого треугольника не существует. Это иллюстрация дополнительного постулата, который оказывается ложным.

Рисунок 2 проясняет ход рассуждений Евклида. Мы и включаем его в эту главу, поскольку на его примере видны трудности использования ошибочных фигур. Они используются, чтобы облегчить понимание доказательства, но этой цели труднее достичь, когда фигуры заведомо невозможны.

РИС. 2

В таких доказательствах нет простоты, характерной для анализа, но в них видна глубина знаний геометрии и логико-дедуктивного метода, присущего синтезу. Необходимо упомянуть, что эта доказательная техника пришлась по нраву не всем древнегреческим геометрам, поэтому в различных комментариях к «Началам» встречаются и другие доказательства, приведенные, чтобы избежать ее. Яркий тому пример — Герои Александрийский.

Так или иначе, структура «Начал» была достаточно солидной, чтобы затмить все предшествующие им трактаты. Возможно, именно в разработке этой структуры и заключается главное наследие Евклида. Теперь мы перейдем к изучению содержания: рассмотрим книгу I и метод танграма, роль бесконечности, значение и происхождение постулата о параллельных, природу и значение иррациональных величин, а также метод исчерпывания, построение Платоновых тел и, наконец, величайший вклад в науку Пифагора — арифметику.

ГЛАВА 3

Книга I и геометрия Вселенной

При изучении первой книги «Начал» мы сталкиваемся с фундаментальными вопросами евклидовой геометрии. Некоторые из них сугубо технического толка, а другие, более интересные, затрагивают отношение геометрии к проблеме бесконечности или соотнесение абстрактных геометрических фигур с окружающей действительностью. Благодаря вопросу, вытекающему из знаменитого постулата о параллельных прямых, мы проделаем путешествие во времени сквозь два тысячелетия, вплоть до неевклидовой геометрии, совершившей революцию в науке XIX века.

Первая книга — единственная из всех томов «Начал», которая содержит и общие понятия, и постулаты. В первых трех, как мы уже сказали, упоминаются приемлемые инструменты для построения геометрических объектов, и, следовательно, они имеют большое значение для решения задач. Оставшиеся два важны для определения природы евклидовой геометрии. Книга I ставит и другие вопросы: движение, искривление, бесконечность, метод танграма (о нем мы поговорим в главе 4) и так далее. Рассмотрим, каким образом четвертый постулат «Начал» связан с движением в геометрии. Согласно ему все прямые углы равны между собой.

В определении 10 из книги I читаем:

Когда прямая, восставленная на другой прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой.

Если оба угла равны, они являются прямыми (рисунок 1). Возникает вопрос: равна ли эта пара углов другой паре, то есть равны ли все прямые углы, а не только парные? Четвертый постулат дает положительный ответ.

В конкретном случае прямых углов Евклид предполагает некую однородность плоскости. Таким образом, этот постулат включает в себя движение фигур, что предусматривает также общее понятие 5, но мы не можем прибегать к общему понятию для решения чисто геометрической задачи. В евклидовой геометрии нет ни одного постулата, в котором говорилось бы, что две наложенные друг на друга фигуры равны. Другими словами, общее понятие 5 должно быть постулатом, как мы уже говорили в главе 2. Несмотря на это Евклид не смог избежать понятия движения, хотя использовал его в редких случаях, например в пространственной геометрии, когда создавал конус и шар путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов и круга вокруг его диаметра. Он также использовал это понятие в предложениях 4 и 8 первой книги для установления признаков равенства треугольников по стороне, углу и стороне и по трем сторонам. Однако в критерии равенства по углу, стороне и углу удается избежать движения. Рассмотрим первый случай.

Книга I, предложение 4. Если два треугольника имеют по две стороны, равные между собой, и по равному углу, содержащемуся между равными прямыми, то они будут иметь и равные основания, и один треугольник будет равен другому.

РИС. 1

Согласно определению 10, пары углов α, β; γ, δ и ε, ζ равны. То есть α = β, γ = δ, ε = ζ. Следовательно, и α, и β, и γ, и δ, и ε, и ζ являются прямыми углами.

Его доказательство полностью основывается на наложении двух треугольников и на общем понятии 5 и выглядит так: наложим треугольники АВС и А'В'С' один на другой (движение) так, чтобы угол АВС совпал с углом А'В'С'. Очевидно, что стороны АВ и ВС накладываются на стороны А'В' и В'С. Но через точки А [=А'] и С [=С] проходит только одна прямая (общее понятие 7). Следовательно, треугольники полностью совпадают и, согласно общему понятию 4, они были равны и до их перемещения. Таким образом, треугольники АВС и А'В'С равны. Здесь необходимо уточнить, что непоследовательное использование движения не является ошибкой Евклида.

Единственный способ быть последовательными в этом случае — принять это предложение как постулат, что сделал много веков спустя немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) в своей строгой аксиоматизации геометрии.

РИС. 2

Несмотря на определения 2, 3 и 4 из книги I, Евклид ни разу не объяснил, что такое прямая, каковы ее свойства и каким критериям она должна отвечать. Тем не менее он ясно определил, что прямые конечны и их концами являются точки. В действительности Евклид занимался отрезками прямых. Но когда он говорит о равной длине диаметра в определении круга, то использует понятие расстояния. Для прямых его применил позже Архимед в первой аксиоме своего сочинения «О шаре и цилиндре»: «Прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками». Как мы увидели на примере предложения 4, Евклид использовал постулаты, не устанавливая их. В доказательстве предложения 1 книги I, проанализированном в главе 2, содержится утверждение, которое мы сейчас подробно рассмотрим:

Проведем прямые СА и СВ из точки пересечения двух окружностей С.

Что может служить гарантией существования точки С по Евклиду? Ничего, кроме рисунка, иллюстрирующего доказательство. Но это неприемлемо, так как рисунок может считаться правильным, только если точка С существует (вспомним изображения невозможных треугольников, использующиеся в доказательствах методом доведения до абсурда).

Вопрос искривления возникает в «Началах» неявно. Перед тем как перейти к постулату о параллельных прямых, Евклид устанавливает очень интересный результат:

Книга I, предложение 17. Во всяком треугольнике сумма двух любых углов меньше двух прямых углов.