Кьяртан Поскитт - Математика для взрослых
Зачем все это?
Алгебра напоминает язык вроде русского или английского. Это быстрый способ описать и систематизировать задачу и, после того как вы усвоите основные правила, без лишней суеты найти ее решение. Представьте, что вы, будучи заграницей, хотите узнать у прохожих, где находится ближайшее вегетарианское кафе. Вы можете потратить не один час, пытаясь жестами изобразить морковку, а можете получить ответ за пару секунд, если знаете язык страны.
Что же касается букв, то ими просто обозначены числа, которые пока неизвестны. Чуть позже мы рассмотрим выражение для расчета стоимости чашки кофе, где искомая цена для краткости обозначена буквой c, чтобы не писать каждый раз «цена чашки кофе».
Мы даже не будем трогать буквы поначалу, а просто поглядим, как взаимодействуют между собой числа, чтобы прояснить основные правила.
Знаки «плюс», «минус» и «равно»
В середине этого простого выражения стоит знак равенства, поэтому оно называется уравнением: 7 – 2 = 4 + 1
Результат вычитания с левой стороны идентичен сумме чисел с правой стороны; оба равны 5. Суть алгебры в том, чтобы расположить определенным образом числа и буквы в уравнении и получить ответ.
Каждое число может быть либо положительным, либо отрицательным.
Перед отрицательными числами обязательно нужно ставить знак «–». Перед положительными числами тоже положено ставить знак «+», но делать мы это будем не всегда.
Уравнение можно представить себе в виде доски-качалки, где знак «равно» — точка опоры. Положительные числа — это грузы, прижимающие доску к земле, а отрицательные — воздушные шары, тянущие ее вверх.
7 – 2 = 4 + 1
Если хотите переместить числа с места на место на одном конце доски, их знаки нужно перемещать вместе с ними. Поменяв местами числа с левой стороны, получим: –2 + 7 = 4 + 1
Знак «минус» должен оставаться перед числом 2, иначе уравнение станет неверным. Перед 7 появился знак «плюс» как напоминание, что оно положительное. Предположим, что нам нужно оставить в левой части уравнения только число +7. Существует всего одно золотое правило.
С уравнением можно делать все что угодно8 при условии, что с его обеими частями производятся одни и те же действия.
Чтобы в левой части осталось только +7, нужно избавиться от –2. Для этого добавим +2; однако, согласно правилу, это число нужно добавить к обеим частям уравнения.
–2 +7 +2 = 4 + 1 + 2
–2 и +2 с левой стороны уравнения взаимоуничтожатся, то есть дадут 0. С правой же стороны +2 останется, и мы получим: 7 = 4 + 1 + 2
Выполнив подсчеты, вы убедитесь, что 7 и вправду равняется 4 + 1 + 2. При этом мы продемонстрировали маленькую хитрость.
При переносе числа через знак равенства меняется его знак! То есть «–» меняется на «+», а «+» на «–».
Вот еще одна вещь, которую можно показать на примере доски-качалки: вы можете менять две части уравнения местами: 4 + 1 + 2 = 7
Скобки
Давайте пока остановимся на варианте 7 = 4 + 1 + 2. Предположим, что нам нужно знать, чему равно число 14. Для этого умножаем 7 на 2, но умножать также следует и другую часть уравнения. Поскольку с правой стороны стоят три числа, каждое из них необходимо умножить на 2 вот так: 2 × 7 = 2(4 + 1 + 2)
Как видите, мы заключили все числа с правой стороны в скобки. Можно было записать это иначе: 2 × 4 + 2 × 1 + 2 × 2, но со скобками получается короче и удобнее. Число 2 перед скобкой называется коэффициентом.
Если перед открывающей скобкой стоит число, то на него умножается все, что находится внутри скобок.
Добавляем буквы
Наверное, вам уже не терпится перейти к решению хитроумных дифференциальных уравнений, однако начнем с малого.
Прогуливаясь по улице, вы неожиданно встречаете Малькольма, который пребывает в легком шоке. Он только что водил маму в кофейню Barstucks, где они выпили по чашке кофе, и в результате из 10 фунтов, которые он брал с собой, осталось всего 1,20 фунта. Сколько же стоила каждая чашка? Вот что нам известно: 10 фунтов минус цена двух чашек кофе = 1,20 фунта
Мы сэкономим массу типографской краски, если обозначим цену одной чашки кофе буквой c. Из этого следует, что цена двух чашек кофе составит 2 × c, но для удобства мы просто напишем 2c.
Что ж, давайте составим уравнение и посмотрим, как быть дальше.
10 – 2c = 1,20
Нам нужно, чтобы слева от знака равенства была только буква c. Для начала перенесем 10 фунтов на другую сторону, поменяв знак на минус: –2c = 1,20 – 10
Минус перед 2c выглядит не слишком привлекательно, поэтому избавимся от него, умножив обе части уравнения на (–1). В результате каждый знак «+» поменяется на «–», а каждый знак «–» на «+»: 2c = 10 – 1,20
Теперь подсчитаем 10 – 1,20 = 8,80, тогда
2с = 8,80
Поскольку нам нужна только одна с, разделим обе части на 2, и ответ готов: с = 4,40 фунта
4,40 фунта за чашку кофе? Неудивительно, что Малькольм был в шоке!
Что можно и чего нельзя
В алгебре есть еще несколько на первый взгляд странных правил, поэтому, чтобы они стали понятнее, представим себе множество одинаковых коробков спичек. В каждом содержится m спичек, так что если мы отложим в сторону три коробка, общее количество спичек в них составит 3 × m, или просто 3m. Число 3 здесь — коэффициент при m.
Теперь, разобравшись с коробками, перейдем к правилам и выясним, как их применять к нашим спичкам.
1.-Коэффициент можно умножать на число
Если добавить еще одну стопку из трех коробков...
… то 2 стопки по 3m в сумме дадут 6m.
2.-Прибавлять число к коэффициенту нельзя
Если вы где-то нашли три спички...
Видите, теперь у нас 6m + 3 спички. Нельзя прибавлять 3 к 6, чтобы получить 9m!
3.-Коэффициенты можно складывать, если при них одна и та же буква
Если взять еще два коробка...
Как видите, складывать 6m и 2m, чтобы получить 8m, можно, но 3 прибавить к 8m по-прежнему нельзя.
Вот еще три правила. Не волнуйтесь, если сейчас они покажутся вам непонятными, чуть позже мы их применим, и все прояснится.
4.-Когда знак «минус» стоит перед скобками, избавляясь от них, надо поменять все знаки внутри скобок на противоположные
В выражении вроде 3 − (2x − 4) все, что внутри скобок, следует умножить на –1. Избавившись от скобок, вы получите 3 − 2x + 4. Вместо +2х стало –2х, а вместо –4 стало +4.
5.-Если умножить букву на саму себя, получается буква в квадрате
Таким образом, y × y превратится в y2 (что такое числа в квадрате, мы обсуждали в разделе «Квадраты и квадратные корни»), а 4y × 3y — в 12y2. Коэффициенты перемножаются, а у буквы появляется знак квадрата.
6.-При перемножении разных чисел и букв числа умножаются, а буквы пишутся вместе
Поэтому 2x × 4y = 8xy. Такие ситуации часто возникают при умножении содержимого скобок, например: 3p(7q − 2p) = 21pq − 6p2.
Итак, давайте посмотрим, как это все может нам пригодиться.
Разгадка тайн математики с помощью алгебры
Алгебра бывает крайне полезна при решении задач и головоломок. Вот вам кое-что для начала.
Земельная афера
Бэтчап Билдингз решил приобрести надел земли у фермера Шарпа. Обе стороны сошлись на том, что это должен быть квадратный участок 20 м × 20 м, то есть площадью 400 квадратных метров, или м2. Однако приехав осмотреть землю, Бэтчап увидел, что участок имеет прямоугольную, а не квадратную форму!
Честно ли поступает фермер?
Хотя мы не знаем, на сколько метров стороны участка длиннее или короче, нам известно, что это одна и та же величина, давайте назовем ее x. Нарисуем схему участка.
Серым цветом показано, как бы выглядел участок, будь это квадрат 20 м × 20 м. Размеры же прямоугольника: (20 – x) в северном направлении и (20 + x) в восточном. Чтобы узнать его площадь, перемножим эти значения и получим (20 − x) × (20 + x); знак умножения обычно не пишется: (20 − x)(20 + x).
