Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Книга Титчмарша вышла в переработанном (Роджером Хит-Брауном) издании в 1986 году.

Сэр Майкл Атья повторил тут вещь довольно известную: идеи о том, что алгебра = время, а геометрия = пространство, восходят по крайней мере к Гамильтону (т.е. к 1840-м годам).

«„Ансамбль“ (в данном употреблении, кстати, это слово было введено Альбертом Эйнштейном)…» Это, по-видимому, неверно. Один физик обратил мое внимание, что одна из глав в книге Уилларда Гиббса «Основные принципы статистической механики» называется «О движении систем или ансамблей систем на длительных промежутках времени». Эта книга опубликована в 1902 году, т.е. за три года до того, как Эйнштейн с блеском ворвался в физику, написав три статьи в Annalen der Physik. По-видимому, Гиббс был первым, кто употреблял этот термин таким образом. Однако я был бы весьма благодарен, если бы кто-нибудь смог дать более точную привязку.

Примечания

1

Никола Орем (Nicole d'Oresme) был не только математиком, но и естествоиспытателем, философом, физиком, астрономом и экономистом, а также воспитателем Дофина, будущего короля Карла V. (Примеч. перев.)

2

Стандартным русским словосочетанием является также математический анализ (или матанализ, как говорят, например, все те студенты, которые не называют его просто матаном). В переводе в подавляющем большинстве случаев оставлен просто «анализ», чего достаточно для передачи сути дела. Соответственно, прилагательное «аналитический» означает «[изучаемый или выраженный] средствами анализа». (Примеч. перев.)

3

Точнее, сумма некоторого числа членов гармонического ряда. (Примеч. перев.)

4

То есть для того, чтобы приблизиться к пределу — в данном случае к числу π — с хорошей точностью, надо брать члены последовательности с достаточно большими номерами. (Примеч. перев.)

5

Силы французской армии «Север» под командованием Франсуа Дюмурье и французской армии «Центр» под командованием Франсуа-Кристофа Келлермана остановили продвижение армии под командованием герцога Брауншвейгского Карла Вильгельма Фердинанда. Артиллерийское сражение оказалось тактически безрезультатным, но стратегически важным как доказательство жизнеспособности Французской революции. Книга «Пятнадцать решающих битв в мировой истории» вышла в 1851 г. (Примеч. перев.)

6

Этот исторический факт я усвоил, когда ходил в Англии в школу, с помощью следующей песенки викторианских времен:

Георг был Первый трусом; дажеВторой был ненамного гаже.И не сыскал никто на светеДостойных черт в Георге Третьем.Когда ж Георг Четвертый помер —То, к счастью, был последний номер.

На самом деле Георги на этом не закончились — в XX веке их было еще двое. (Здесь и далее не отмеченные особо примечания принадлежат автору.)

7

И математик, один из создателей дифференциального и интегрального исчисления (в частности, автор современного обозначения для интеграла). (Примеч. перев.)

8

Другой мощный подъем Эльбы произошел в 1962 г. и вызвал значительные жертвы и разрушения в районе Вендланд. После этого возвели систему крупных дамб. В августе 2002 г., как раз во время завершения моей работы над книгой, Эльба снова вышла из берегов. Однако сооруженные в 1962 г. дамбы выдержали напор, и регион пострадал меньше других, расположенных выше по течению.

9

Эрвин Нейеншвандер — профессор истории математики в Цюрихском университете. Он является главным авторитетом по жизни и творчеству Бернхарда Римана; он издал письма Римана. Я использовал в этой книге результаты его исследований. Я также многое взял из двух единственных изданных на английском книг, в которых удалось найти сколько-нибудь обстоятельный рассказ о Римане: «Риман, топология и физика» Михаила Монастырского (перевод 1998 г., выполненный Роджером Куком, Джеймсом Кингом и Викторией Кинг) и «Бернхард Риман, 1826-1866» Детлефа Лаугвитца (перевод 1999 г., выполненный Абе Шенитцером). Хотя это математические биографии — т.е. в них больше математики, чем биографических фактов, — обе книги позволяют составить хорошее представление о самом Римане и о его времени и содержат много ценных наблюдений. (См.: Монастырский М.И. Бернхард Риман. Топология. Физика. М.: Янус-К, 1999. — Примеч. перев.)

10

Еще бы не изматывали. 38 миль по прямой — это 10 часов ходьбы быстрым шагом.

11

Ганновер стал королевством только в 1814 г. До этого его правители носили титул курфюрста, означавший их право участвовать в выборах императора Священной Римской империи. Священная Римская империя прекратила свое существование в 1806 г.

12

Эрнст-Август был предпоследним королем Ганновера. В 1866 г. это королевство стало частью Прусской империи, что оказалось поворотным моментом в создании современной Германии. (Носивший титул герцога Камберлендского Эрнст-Август был пятым сыном Георга III. Королева Виктория была дочерью его старшего брата Эдуарда, герцога Кентского, умершего в 1828 г. — Примеч. перев.)

13

Оценки разнятся, но Гаусса почти всегда ставят в число первых трех — как правило, вместе с Ньютоном и Эйлером или Архимедом.

14

Генрих Вебер и Рихард Дедекинд подготовили первое издание в 1876 г. Самое последнее издание «Собрания трудов», составленное Рагаваном Нарасимханом, вышло в 1990 г. Кстати, по-немецки «собрание трудов» — Gesamelte Werke, и эти слова так часто встречаются в математической литературе, что, по моим наблюдениям, англоговорящие математики употребляют их по-немецки, совершенно не отдавая себе в этом отчета.

15

Абелева функция — это многозначная функция, получаемая при обращении интегралов определенного вида. Данное название не имеет широкого распространения в наше время. Мы упомянем многозначные функции в главе 3, теорию функций комплексной переменной в главе 13, а обращение интегралов — в главе 21.

16

Используя уже утвердившийся у нас американизм — «полным профессором». В этих же терминах «экстраординарный профессор» — это Assistant Professor, что до некоторой степени соответствует российскому доценту. (Примеч. перев.)

17

Вот только один пример неожиданного появления числа e. Возьмем случайное число, заключенное между 0 и 1. Теперь возьмем другое и прибавим его к первому. Продолжим так поступать, накапливая случайные числа. Сколько в среднем случайных чисел потребуется, чтобы сумма оказалась больше, чем 1? Ответ: 2,71828….

18

Одно из великих математических открытий Античности, сделанное Пифагором или одним из его учеников около 600 г. до P.X., состояло в том, что не всякое число есть целое или дробь. Например, квадратный корень из 2, без сомнения, не является целым. Грубая арифметика показывает, что он лежит где-то между 1,4 (которое в квадрате дает 1,96) и 1,5 (которое в квадрате дает 2,25). Это, однако, и не дробь. Доказательство таково. Пусть S обозначает множество положительных целых чисел n, для которых выполнено такое свойство: n√2 — также положительное целое число. Если множество S не пусто, в нем есть наименьший элемент. (Любое непустое множество положительных целых чисел имеет наименьший элемент.) Обозначим этот наименьший элемент буквой k. Теперь образуем число u = (√2 − 1)k. Легко видеть, что (i) u меньше, чем k, (ii) u — положительное целое и (iii) u√2 — также положительное целое, так что (iv) u лежит в множестве S. Это противоречие, поскольку мы определили k как наименьший элемент из S, и, следовательно, предположение, из которого мы исходили, — что S не пусто — должно быть ложным. Следовательно, множество S пусто. Следовательно, нет положительного целого числа n, для которого n√2 — положительное целое число. Следовательно, √2 — не дробь. Число, которое не является ни целым, ни дробным, называется «иррациональным», поскольку оно не есть отношение (ratio) двух целых чисел.