Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

(где 1√x как и в других местах в книге, есть, конечно, просто x). Почему, как вам теперь кажется, это назвали мебиусовым обращением?

Итак, мы записали функцию π(x), выразив ее через J(x). Это чудесно, потому что Риман нашел способ, как выразить J(x) через ζ(x).

Прежде чем расстаться с выражением (19.2), надо еще упомянуть, что, подобно выражению (19.1), это не бесконечная сумма, а конечная. Это происходит из-за того, что функция J, как и функция π, равна нулю, когда x меньше 2 (взгляните на график!), а если последовательно извлекать корни из какого-нибудь числа, то результат рано или поздно упадет ниже 2 и там останется. Например,

π(100) = J(100) − 1/2J(10) − 1/3J(4,64…) − 1/5J(2,51…) + 1/6J(2,15…) − 0 + 0 + … = 288/15 − 22/3 − 5/6 − 1/5 + 1/6,

что дает в точности число 25, которое и в самом деле является числом простых чисел меньших 100. Волшебство.

А теперь повернем Золотой Ключ.

Вот Золотой Ключ, первое равенство в статье Римана 1859 года, полученное нами в главе 7, когда я убеждал вас, что это просто хитрый способ переписать решето Эратосфена:

He будем забывать, что числа, появляющиеся в правой части, — это в точности все простые числа.

Возьмем логарифм от обеих частей. Если что-то равно чему-то, то, конечно, и логарифм одного должен быть равен логарифму другого. Согласно 9-му правилу действий со степенями, которое гласит, что ln(a×b) = ln а + ln b, получаем

Но, поскольку ln 1/a = −ln a согласно 10-му правилу, это выражение равно

Теперь вспомним ряд сэра Исаака Ньютона для функции ln (1 − x) из главы 9.vii. Он пригоден при x, лежащем от −1 до +1, что, без сомнения, выполнено в нашем случае, поскольку s положительно. Поэтому каждый логарифм можно разложить в бесконечный ряд таким образом (19.3):

Это бесконечная сумма бесконечных сумм — с первого взгляда, я полагаю, подобное немного пугает, но в математике такие конструкции встречаются достаточно часто.

Сейчас может показаться, что мы оказались в ситуации, которая много хуже той, что была вначале. Аккуратненькое бесконечное произведение мы превратили в бесконечную сумму бесконечных сумм. Предприятие может показаться безнадежным. Да, но это если не использовать всю мощь анализа.

Возьмем какой-нибудь один из членов в этой сумме сумм. Выберем, например, . Рассмотрим функцию x−s−1 и будем временно считать, что s — положительное число. Каков интеграл от x−s−1? В силу общих правил обращения со степенями, приведенных в главе 7.vii, это x−s/(−s), т.е. (−1/s)×(1/xs). Если мы возьмем этот интеграл при x, равном бесконечности, и вычтем из того, что получится, тот же интеграл, взятый при x равном 32,то что получится? Ну, если x — очень большое число, то (−1/s)×(1/xs) — число очень маленькое, так что справедливо будет считать, что, когда x бесконечно велико, это выражение равно нулю. И из этого — из нуля — мы собираемся вычесть (−1/s)×(1/(32)s). Такое вычитание дает (1/s)×(1/(32)s). Сухой остаток таков: выбранный член в выражении (19.3) можно переписать в виде интеграла

Но зачем мы вообще все это делаем? Чтобы вернуться к функции J, вот зачем.

Дело в том, что x = 32 — это значение, при котором функция J совершает прыжок на 1/2. В голове у математика — и уж точно в голове у великого математика, каким был Риман, — приведенное выражение сразу вызывает некоторый образ. Этот образ представлен на рисунке 19.4: это функция J с заполненной полосой. Полоса тянется от 32 (т.е. от 9) до бесконечности и имеет высоту одна вторая. Ясно, что вся площадь под (говорим «площадь под» — думаем «интеграл») графиком функции J составлена из подобных же полосок. Полоски высотой 1, протянувшиеся от каждого простого числа до бесконечности; полоски высотой одна вторая, идущие от каждого квадрата простого числа до бесконечности; полоски высотой одна треть от каждого куба простого числа до бесконечности… Видите, как все срастается с той бесконечной суммой бесконечных сумм в выражении (19.3)?

Рисунок 19.4. .

Конечно, площадь под графиком функции J бесконечна. Нарисованная полоска уже имеет бесконечную площадь (высота 1/2, длина бесконечна, площадь 1/2×∞ = ∞). Таковы же площади и всех других полосок. Все вместе они складываются в бесконечность. Но что, если я пожелаю «придавить» функцию J справа таким образом, чтобы площадь под графиком стала конечной? Так, чтобы каждая из этих полосок постепенно сужалась и сжималась до такой степени, чтобы площадь ее стала конечной? Как можно было бы осуществить такое «придавливание»?

Последний интеграл подсказывает как. Предположим, что мы взяли какое-нибудь число s (которое будем считать большим единицы). Для каждого аргумента x умножим J(x) на x−s−1. Для иллюстрации возьмем s = 1,2. Тогда x−s−1 = x−2,2 или, другими словами, 1/x2,2. Возьмем аргумент x, скажем, равным 15. Вот, J(15) есть 7,333333…, а 15−2,2 равно 0,00258582…. Перемножая, получаем, что J(x)x−s−1 имеет значение 0,018962721…. Если брать большие аргументы, то сдавливание будет выражено более ярко. При x = 100 значение выражения J(x)x−s−1 равно 0,001135932….

На рисунке 19.5 показан график функции J(x)x−s−1 при s = 1,2. Чтобы подчеркнуть «эффект сдавливания», там показана та же самая полоска, которая была выделена и ранее, но теперь после сдавливания. Видно, как она все более и более худеет по мере того, как аргумент устремляется на восток. Имеется вполне реальный шанс, что вся площадь окажется конечной, несмотря на свою бесконечную длину. В предположении, что так и есть и что дело обстоит таким же образом для всех полосок, спросим себя: какова же будет полная площадь под графиком этой функции? Или, выражаясь математически, каково будет значение ?

Рисунок 19.5. при s = 1,2.

Давайте посмотрим. Будем перебирать простые числа одно за одним. Для простого числа 2 до сдавливания имеем полоску высоты 1, идущую от 2 до бесконечности, далее полоску высоты идущую от 22 до бесконечности, затем полоску высоты идущую от 23 до бесконечности, и т.д. Сумма площадей сдавленных полосок — если мы рассматриваем пока только простое число 2 — равна (19.4):

Конечно, это пока только 2-полоски. Имеется аналогичная бесконечная сумма интегралов для 3-полосок (19.5):

И аналогичная сумма для 5, потом для 7 и т.д. для всех простых чисел. Бесконечная сумма бесконечных сумм интегралов! Все хуже и хуже! Да, но самый густой мрак перед рассветом.

Это возвращает нас к началу данного раздела. Поскольку интеграл прозрачен для умножения на число,  — это то же самое, что . Но в начале раздела мы видели, что член, который мы в качестве пробного выбрали в выражении (19.3), т.е. , равен — другими словами, s умножить на то, что мы только что получили. Так к чему же сводится выражение (19.5)? Вот именно, в точности ко второй строке в выражении (19.3), деленной на s! А выражение (19.4) плюс выражение (19.5) плюс аналогичные выражения для всех остальных простых чисел суммируются к выражению (19.3), деленному на s. Вот и рассвет! Получается, что штука, с которой я тут забавляюсь, т.е. , равна просто выражению (19.3), деленному на s. Но выражение (19.3) равно ln ζ(z), как нам подсказывает Золотой Ключ. Отсюда получается следующий результат.

Я просто не нахожу слов, чтобы выразить, насколько это чудесный результат. Он ведет прямо к центральному результату в работе Римана — результату, который будет предъявлен в главе 21. На самом деле это просто переписывание Золотого Ключа в терминах анализа. Однако переписать его так — это невероятно мощное достижение, потому что теперь Золотой Ключ открыт для всех мощных средств дифференциального и интегрального исчисления XIX века. В этом состояло достижение Римана.