Kniga-Online.club
» » » » Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

Читать бесплатно Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев. Жанр: Математика год 2004. Так же читаем полные версии (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте kniga-online.club или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:
чисел можно выделить замечательное семейство целых, можно выделить не менее замечательные семейства и среди комплексных чисел. Чем целые числа принципиально отличаются от вещественных? В них (во множестве целых чисел) нельзя делить. Иногда получается разделить, а иногда — нет. Анализ того, что на что делится, приводит к содержательной и красивой науке: к простым числам, к основной теореме арифметики и, в конечном счете, к решению этого самого уравнения х2 + у2= z2.

Теперь мы живем на плоскости, и хотелось бы сделать что-нибудь подобное во множестве комплексных чисел. Давайте по аналогии распространим целые числа на плоскость. Как будут выглядеть целые числа на плоскости? Скажу по секрету, что на плоскости имеется огромное количество числовых систем, которые обобщают и продолжают целые числа. Можно построить числовые системы разными способами, и они все чрезвычайно важны для многих диофантовых уравнений. Различные диофантовы уравнения требуют различных числовых систем. Но самое простое — это рассмотреть комплексные числа, у которых просто обе части (и вещественная и мнимая) являются целыми числами (рис. 154).

Рис. 154. Загадочные гауссовы числа: среди них есть «простые», но как раз они-то и оказались самыми загадочными.

Узлы этой сетки и есть «целые числа» на плоскости. Первым их рассматривал Гаусс, мы назовем их Z[i]. Zзначит «целое», [i] — конкретное комплексное число, присовокупленное к целым.

Он к целым числам прибавил число i и спросил себя: а какие тогда должны быть числа еще взяты? Если мы взяли i и взяли 1, то мы должны, конечно, взять их сумму — 1 + i. Потому что мы должны уметь складывать, вычитать и умножать (если хотим действовать по правилам обычных целых чисел). Ясно, что эти требования нас в конце концов приведут ко взятию произвольных целых кратных числа i, сложенных с любыми целыми (обычными) числами.

Числа вида а + bi, где а, b — целые числа, называют гауссовыми числами. Складывать и вычитать их можно «покомпонентно», то есть (а + bi) ± (с + di) = (а ± с) + (b ± d)i. При этом «на выходе» получаются снова Гауссовы числа, потому что сумма и разность целых чисел всегда являются целыми числами.

Но для полноценной работы с новыми числами нужно уметь их друг на друга умножать. Чудо состоит в том, что при перемножении Гауссовых чисел по обычным правилам перемножения комплексных чисел «на выходе» снова получаются Гауссовы, то есть целые комплексные числа. Читателю книги доставит удовольствие самостоятельно перемножить два Гауссовых числа, чтобы увидеть, что целочисленность вещественной и мниной частей результата умножения сохраняется.

Кроме того, новые числа удовлетворяют всем тем же принципам умножения, вычитания и сложения, которые верны для обычных целых чисел (потому что новые числа — это «подмножество» комплексных чисел, а последние этим правилам подчиняются).

В то же время из-за того, что мы акцентируем внимание на их «цельности», то есть целочисленности, у нас появляются нетривиальные моменты, связанные с их делимостью друг на друга (аналогично тому, как в системе обычных целых чисел разрабатывается теория делимости, теория простых чисел и разложение на простые множители).

В частности, можно определить понятие простого гауссова числа.

Так вот, оказывается, что всё, что мы знаем про целые числа — делимость, простота, основная теорема арифметики — удивительным образом переносится на Z[i] то есть на систему Гауссовых чисел. Любое Гауссово а + bi с целыми а и b единственным образом раскладывается в произведение простых чисел, которые уже ни на что не делятся.

Небольшое замечание: на числа 1, i, −1 и −i делятся все Гауссовы числа, так же, как в целых числах на прямой все числа делятся на 1 и −1. Например, (а + bi) : i = b − ai. Это чуть-чуть усложняет ситуацию, потому что однозначность разложения на простые множители выполняется лишь с точностью до умножения и деления на 1 , i, −1 и −i. Потому что с точки зрения теории делимости + bi) и (b − ai) — это один и тот же простой множитель.

Для целых чисел на комплексной плоскости вообще появляется много фокусов, которых не было для целых чисел на прямой. Например, число 2 перестало быть простым. Ибо оно раскладывается на множители 2 = (1 + i)(1 − i). Кстати, из геометрии это тоже следует (рис. 155).

Рис. 155. Вот чудеса-то: сумма чисел (1 + i) и (1 − i) равна их произведению! Но обычное число 2 похитрее будет: 2 + 2 = 2 · 2 = 22.

По правилу умножения мы должны взять произведение двух длин. Длина вектора 1 + i равна длине вектора 1 − i и обе равны √2, так как это гипотенуза прямоугольного треугольника с единичными катетами. Значит, у произведения должна быть длина √2 · √2 = 2.

Посмотрим, что произойдет с углами. При умножении углы складываются. Но они у нас противоположные по знаку, значит, при сложении получится 0. То есть при умножении мы получим вектор длины 2, направленный по оси X. Обратите внимание, что мы невзначай нашли одно из решений уравнения в комплексных числах: z + w = zw (подпись к рис. 155).

Какие еще числа перестают быть простыми? Например, число 5. Теперь 5 = (2 + i)(2 − i) = 22 + 12. А число 3 можно разложить на множители или нет? Есть ли тут какое-то общее правило?

Оказывается, есть. Более того, ответ на заданный вопрос теснейшим образом связан с вопросом про «обычные» целые числа, а именно: какие простые числа можно представить в виде суммы двух полных квадратов — то есть двух чисел, из которых можно нацело извлечь квадратный корень? Потрясающим образом этот вопрос решается введением Гауссовых чисел и изучением их арифметики.

Окинем еще раз взглядом наши построения. Мы ввели комплексные числа. Потом в них выделили семейство «целочисленных» комплексных чисел и назвали их гауссовыми. Там развили делимость, научились делить с остатком, обнаружили «Основную теорему арифметики». Зачем? Ответ таков: некоторые вопросы из арифметики обычных целых чисел можно решить только через гауссовы числа.

Какие простые числа представляются в виде суммы двух квадратов? Эта задача чрезвычайно важная в теории кодирования. (Здесь под словом «кодирование» понимается запись информации в таком виде, чтобы ее не смогли прочесть посторонние лица. А «посторонние лица» обычно очень интересуются методами «взлома» использованного кода.) Человек, который что-то знает про кодирование/декодирование, может взять и разрушить

Перейти на страницу:

Алексей Владимирович Савватеев читать все книги автора по порядку

Алексей Владимирович Савватеев - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки kniga-online.club.


Математика для гуманитариев. Живые лекции отзывы

Отзывы читателей о книге Математика для гуманитариев. Живые лекции, автор: Алексей Владимирович Савватеев. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор kniga-online.


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*
Подтвердите что вы не робот:*