Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Случайная матрица — это именно то, что следует из ее названия: матрица, составленная из чисел, выбранных случайным образом. На самом деле не совсем случайным. Позвольте привести пример. Вот случайная (4×4)-матрица достаточно специального типа, важность которого я объясню чуть позже. Для экономии места будем все округлять до четырех знаков после запятой:

Первое, что можно заметить по поводу этой хитроумной штуковины, — данная матрица является эрмитовой: она обладает той самой как бы симметрией относительно главной диагонали, которая упоминалась в главе 17.v. Вспомним еще несколько фактов из той главы.

• С каждой (N×N)-матрицей связан многочлен степени N, называемый характеристическим многочленом.

• Нули характеристического многочлена называются собственными значениями матрицы.

• Сумма собственных значений называется следом матрицы (и равна сумме элементов, занимающих главную диагональ).

• В частном случае эрмитовых матриц все собственные значения вещественны и, следовательно, вещественны и коэффициенты характеристического многочлена, а также след.

Для матрицы из приведенного примера характеристический многочлен имеет вид

x4 − 1,1836x3 − 15,3446x2 + 26,0868x − 2,0484,

а собственные значения равны −3,8729, 0,0826, 1,5675 и 4,0864. След равен 1,8636.

Посмотрим теперь повнимательнее на те числа, из которых состоит приведенная выше матрица. Числа, которые мы видим, — вещественные числа на главной диагонали и также вещественные и мнимые части комплексных чисел, занимающих места недиагональных элементов, — случайны в некотором специальном смысле (диагональные случайны с небольшим уточнением, которое будет объяснено ниже). Они выбраны случайным образом из нормального гауссова распределения — знаменитой «колоколообразной кривой», которая повсеместно возникает в статистике.

Рисунок 18.1. Нормальное гауссово распределение.

Представим себе стандартную колоколообразную кривую, нарисованную на разлинованном листе бумаги с очень мелкими делениями, так что под кривой расположены сотни квадратиков, образованных разметкой листа (рис. 18.1). Случайным образом выберем один из этих квадратиков; расстояние по горизонтали от него до вертикальной линии, проходящей через середину пика, представляет собой случайное число с нормальным гауссовым распределением. Вблизи самого пика скопилось намного больше этих квадратиков, чем под хвостами кривой, так что с гораздо более высокой вероятностью мы выберем число между +1 и −1, нежели число справа от +2 или слева от −2. Это же видно и из приведенной выше матрицы. (Впрочем, по некоторым техническим причинам элементы на ее главной диагонали в действительности представляют собой случайные гауссовские числа, умноженные на √2, а потому их значения — несколько большие, чем того следовало ожидать.)

Оказалось, что случайные гауссовы эрмитовы матрицы — только гораздо, гораздо большего размера — позволяют моделировать поведение определенных квантовых динамических систем. В частности, их собственные значения, как выяснилось, прекрасно соответствуют энергетическим уровням, которые наблюдаются в экспериментах. По этой причине в 1960-х годах эти собственные значения — собственные значения случайных эрмитовых матриц — стали объектом пристального изучения. В частности, очень интересными оказались интервалы между собственными значениями. Эти интервалы не распределены случайным образом. Например, два уровня оказываются близко друг к другу с гораздо меньшей вероятностью, чем можно было бы ожидать, исходя из случайного распределения. Это явление получило название «отталкивания» — энергетические уровни стараются разойтись по возможности дальше друг от друга, как длинная очередь из малосимпатичных друг другу людей.

Чтобы сделать некое наглядное пособие по этой теме, я попросил математическую программу Mathematica 4, которой я пользуюсь, создать случайную эрмитову матрицу размером 269×269 и вычислить ее собственные значения (рис. 18.2). Причина, по которой выбрано число 269, станет ясной очень скоро. Mathematica, которая не перестает меня удивлять, справилась с задачей в мгновение ока. Все 269 собственных значений попали в интервал от −46,207887 до 46,3253478. Моя идея заключалась в том, чтобы нанизать их, как бусинки, на прямую, тянущуюся от −50 до +50, чтобы они висели там, как дождевые капли на проволочной ограде, а мы, глядя на них, смогли увидеть, имеется ли какой-нибудь порядок в распределении интервалов между ними. Однако это оказалось неосуществимым в пределах книжной страницы, поэтому пришлось порезать прямую на десять отрезков (от −50 до −40, от −40 до −30 и т.д.) и поместить эти отрезки один над другим. В результате получился рисунок 18.2.

Рисунок 18.2. Собственные значения случайной эрмитовой матрицы размера 269×269.

Никакого явного закона в распределении интервалов не просматривается. Хочется сказать, что они случайны. Но нет! На рисунке 18.3 показаны 269 чисел, выбранных совершенно случайно в интервале от 0 до 10 и изображенных тем же образом. Сравнение рисунков 18.2 и 18.3 позволяет увидеть, что собственные значения случайной матрицы раскиданы по прямой не случайным образом. На рисунке 18.2 заметен эффект отталкивания, тогда как для случайного разброса на рисунке 18.3 мы видим, что имеется большее по сравнению с распределением собственных значений число пар, расположенных достаточно близко друг к другу (а потому, неизбежно, и большее количество тех, что сидят дальше друг от друга). Хотя собственные значения на рисунке 18.2 и отказываются следовать какому-нибудь заметному глазу порядку (в конце концов, они же возникли из случайной матрицы!), они все же изо всех сил стараются сохранять дистанцию между собой. Напротив, чисто случайная точка, судя по всему, совсем не возражает, если ее прижмут к другой случайной точке.

Рисунок 18.3. Случайные интервалы между числами: 269 случайных чисел в интервале от 0 до 10.

Позвольте ввести три профессиональных термина, имеющие прямое отношение к обсуждаемому вопросу. Множество случайных (т.е. гауссовых случайных) эрмитовых матриц[164]{A9} описанного типа называется во всей своей совокупности «гауссовым унитарным ансамблем» (ГУА). Точные статистические свойства интервалов в длинных неоднородных строках из чисел типа тех, что фигурируют в приведенных примерах, выражаются так называемой парной корреляционной функцией. А некоторое отношение, связанное с этой функцией и достаточно точно эту функцию характеризующее, называется формфактором.

Теперь я готов рассказать о знаменательной встрече, которая привела к постановке весьма странных и загадочных вопросов о Гипотезе Римана и впоследствии послужила «виновницей» тысяч исследовательских проектов.

Эта встреча произошла в 1972 году, когда в Институте высших исследований в Принстоне случайно столкнулись специалист по теории чисел и физик. Специалистом по теории чисел был Хью Монтгомери — молодой американец, который тогда состоял в аспирантуре в кембриджском Тринити-колледже — колледже Г.X. Харди. Физиком же был Фримен Дайсон, который в то время являлся профессором в принстонском Институте высших исследований. Дайсон, которого мы уже упоминали, был известным физиком. В тот момент он еще не освоил параллельную профессию автора наводящих на размышления бестселлеров о происхождении и будущем человеческого рода.

Как раз незадолго до этого Хью Монтгомери исследовал интервалы между нетривиальными нулями дзета-функции. Это исследование не было частью программы по возможному доказательству Гипотезы Римана. Просто так случилось, что определенный результат о природе этих интервалов имел приложения в области теории чисел, для полей, несколько напоминающих поле а + b√2, с которым мы познакомились в главе 17.ii.[165] Этим и занимался Монтгомери. Вот как звучит эта история в его собственном изложении:

Я сделал эту работу еще будучи аспирантом. Я уже подготовил текст диссертации, но еще не защитился. В начале работы я не понимал, что все это означает. У меня было такое чувство, что здесь нечто скрывается, но я не знал, что именно, и это меня сильно тревожило.

Той весной 1972 года Хэролд Даймонд[166] организовал конференцию по аналитической теории чисел в Сент-Луисе. Я поехал на эту конференцию и сделал там доклад, а потом полетел в Энн-Арбор. К тому моменту я принял приглашение на работу в Энн-Арбор и собирался купить там дом. И действительно купил. Затем, на обратном пути в Англию, я остановился в Принстоне с целью поговорить с Атле [Сельбергом] о своей работе. Я побаивался, что, показав ему свои результаты, услышу в ответ: «Неплохо, Хью, но я доказал все это много лет назад». С моей души упал камень, когда он ничего такого не сказал. Он выказал некоторый интерес, но в целом достаточно поверхностный.