Саймон Сингх - Великая Теорема Ферма
Шимура, скромнейший и обаятельный человек, не был чрезмерно обеспокоен недостатком внимания к его роли в доказательстве Великой теоремы Ферма, но тем не менее заботился о том, чтобы ни Танияма, ни сам Шимура «не превратились из существительных в прилагательных». «Весьма интересно, что люди пишут о гипотезе Таниямы-Шимуры, но никто не пишет о Танияме и Шимуре».
С тех пор, как Иоичи Мияока в 1988 году возвестил о своем так называемом доказательстве Великой теоремы Ферма, математика впервые вышла на первые полосы газет. Различие состояло лишь в том, что теперь о доказательстве писали вдвое больше, и никто не сомневался в правильности вычислений. За один вечер Уайлс стал знаменитым, в действительности самым знаменитым, математиком мира, а журнал «People» даже причислил его к «25 самым выдающимся людям года» наряду с принцессой Дианой и Опрой Уинфри. Своеобразным показателем его известности можно считать просьбу от международной компании по производству одежды принять участие в рекламе новых моделей мужской одежды.
Пока в печати продолжалась шумиха, и математики оставались в центре всеобщего внимания, началась серьезная работа по проверке доказательства. Как и в других областях науки, каждый фрагмент доказательства должен быть тщательно изучен прежде, чем доказательство может быть признано строгим и точным. Уайлс предстал перед не знающим снисхождения судом присяжных. И хотя из докладов Уайлса в Институте Ньютона мир узнал об общем ходе доказательства, для скрупулезного анализа этого было недостаточно. По существующему в ученом мире порядку, математик представляет законченную рукопись в какой-нибудь респектабельный журнал, редактор которого передает рукопись рецензентам. В их задачу входит тщательное — строка за строкой — изучение поступившей работы. Уайлс провел беспокойное лето в ожидании беспристрастных отзывов рецензентов, надеясь, что ему удастся получить их одобрение.
Глава 7. Небольшая проблема
В задачах тех ищи удачи,
Где получить рискуешь сдачи.
Пит ХейнЕдва Уайлс закончил свою лекцию в Кембридже, как комиссию Вольфскеля известили о том, что Великая теорема Ферма, наконец, доказана. Премия не могла быть вручена немедленно, так как, по правилам конкурса, ясным и четким, требовались подтверждение правильности доказательства со стороны других математиков и официальная публикация доказательства. Королевское научное общество в Гёттингене в свое время официально уведомило всех о том, что «к рассмотрению допускаются только математические мемуары, представленные в виде статей в периодических изданиях или имеющиеся в книжных лавках… Премия присуждается Обществом не ранее, чем через два года после опубликования мемуара, удостоенного премии. Двухлетний промежуток времени необходим для того, чтобы немецкие и иностранные математики имели возможность высказать свое мнение по поводу опубликованного решения».
Уайлс направил свою рукопись в редакцию журнала «Inventiones Mathematical», после чего редактор журнала Барри Мазур приступил к подбору рецензентов. В своей работе Уайлс использовал различные методы, как старые, чтобы не сказать древние, так и современные, и Мазур, в порядке исключения, решил привлечь к рецензированию работы Уайлса не двух-трех экспертов, как обычно, а шестерых. Каждый год математические журналы всего мира публикуют около тридцати тысяч статей, но огромный объем и значимость рукописи Уайлса требовали, чтобы и рецензирование ее производилось на необычайно высоком уровне. Для упрощения работы все доказательство, занимавшее 200 страниц, было разделено на шесть частей, и на каждого рецензента возлагалась ответственность за одну из этих частей-глав.
Рецензирование главы 3 было поручено Нику Катцу, которому в том году уже приходилось изучать эту часть доказательства Уайлса: «Летом я отправился поработать в Парижский институт высших исследований (IHES) и захватил с собой полное 200-страничное доказательство — моя глава занимала семьдесят страниц. Прибыв в Париж, я решил, что мне понадобится серьезная техническая помощь, и я настоял, чтобы Люк Иллюзи, который также находился в то время в Париже, разделил со мной обязанности рецензента. Все лето мы с Люком встречались по несколько раз в неделю — главным образом, для того, чтобы читать друг другу лекции и пытаться совместными усилиями до конца разобраться в этой главе. Все, что мы делали, сводилось к тщательному, строка за строкой, прочтению рукописи для того, чтобы убедиться, что никаких ошибок в доказательстве нет. Иногда мы заходили в тупик — это бывало раз или два раза в день, и тогда я отправлял Эндрю вопрос по электронной почте примерно такого содержания: "Я не понимаю, что Вы пишете на странице такой-то". Или: "Мне кажется, что в строке такой-то у Вас ошибка". Как правило, я получал ответ в тот же день или на другой день, недоразумение выяснялось, и мы с Люком переходили к следующей проблеме».
Доказательство представляло собой гигантскую цепочку рассуждений, весьма хитроумно выстроенных из сотен математических вычислений, склеенных воедино логическими связями. Если всего лишь одно вычисление оказалось бы ошибочным, или одно звено разорвалось, то все доказательство могло бы обесцениться. Уайлс, вернувшийся в Принстон, с беспокойством ждал, когда рецензенты завершат свою работу. «Мне не хотелось праздновать победу до тех пор, пока проверка не будет закончена. Я занимался, в основном, ответами на вопросы, которые получал по электронной почте от рецензентов. У меня была уверенность, что ни один из этих вопросов не доставит мне особых хлопот». Прежде чем предоставить доказательство референтам, Уайлс проверил и перепроверил его сам, и поэтому был уверен, что те вряд ли сумеют обнаружить в его рукописи что-нибудь, кроме математического эквивалента грамматических ошибок или опечаток — тривиальных ошибок, которые он сможет легко исправить.
«Вопросы возникали вплоть до августа, — вспоминает Катц, — пока я не наткнулся на нечто, показавшееся еще одной небольшой проблемой. Где-то около 23 августа я отправил Эндрю запрос по электронной почте. Проблема оказалась несколько более сложной, поэтому ответ Эндрю прислал по факсу. Меня этот ответ не удовлетворил, поэтому я еще раз направил Эндрю запрос по электронной почте и получил еще один ответ по факсу, который меня также не удовлетворил».
Уайлс поначалу предполагал, что очередная ошибка столь же несерьезна, как и предыдущие, но настойчивость Катца вынудила отнестись к ней серьезнее: «Я не мог немедленно ответить на заданный мне вопрос, который выглядел вполне невинно. Мне казалось, что вопрос того же порядка, что и другие, но где-то в сентябре я начал понимать, что речь шла не о какой-то незначительной трудности, а о фундаментальном пробеле. Это была ошибка в решающей части рассуждения, связанного с использованием метода Колывагина-Флаха, но настолько тонкая, что я заметил ее только после того, как мне ее указали. Описать, в чем суть ошибки в простых терминах невозможно: для этого она слишком абстрактна. Даже для того, чтобы объяснить ее математику, от последнего потребовалась бы готовность затратить два-три месяца для тщательного изучения рукописи с доказательством».
По существу, проблема сводилась к тому, что метод Колывагина-Флаха мог не сработать так, как было необходимо Уайлсу. Предполагалось, что доказательство, полученное для первых элементов E-рядов эллиптических кривых, и M-рядов модулярных форм, допускает обобщение на все элементы E- и M-рядов, что и позволяло применять принцип математической индукции. Первоначально метод Колывагина-Флаха был применим только при определенных ограничительных условиях, но Уайлс полагал, что ему удалось усилить метод настолько, что тот удовлетворял всем необходимым требованиям. По словам Катца, в действительности это было не так, и последствия были драматическими и опустошительными. Обнаруженная ошибка не обязательно означала, что доказательство Уайлса нельзя спасти, но одно было несомненно: Уайлсу было необходимо восполнить существенный пробел в доказательстве. Абсолютизм математики требовал, чтобы Уайлс дал не оставляющее ни малейших сомнений доказательство того, что предложенный им метод применим к каждому элементу любого E-ряда и любого M-ряда.
Мелкий ремонт ковров
Когда Катц осознал всю важность обнаруженной им ошибки, он стал размышлять о том, почему ошибка была пропущена им весной, когда Уайлс читал ему лекции с единственной целью — выявить возможные ошибки. «Я полагаю, ответ заключается в следующем. Когда вы слушаете чью-нибудь лекцию, перед вами возникает довольно трудный выбор: понять все до мельчайших деталей или предоставить лектору излагать материал так, как было им задумано. Если вы станете перебивать лектора на каждом слове (я не понял это, не понял то), то ему никогда не удастся объяснить все, что он хотел, и вы ничего не достигнете. С другой стороны, если вы не будете прерывать лектора, то вы скоро не сможете следить за ходом рассуждений и будете лишь кивать головой из вежливости, но совершенно утратите понимание деталей. Каждый, кто слушает лекцию, стоит перед выбором — задавать ли слишком много вопросов или слишком мало вопросов. По-видимому, к концу лекций, в том месте, где проскользнула обнаруженная впоследствии ошибка, я предпочел задавать слишком мало вопросов».
