Энрике Грасиан - Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике

Чтобы лучше разобраться во всех тонкостях бесконечности (как бесконечно больших, так и бесконечно малых величин), нужно четко понимать значение понятий «непрерывное» и «дискретное». Рассмотрим разницу между ними на простом примере. Представьте себе два одинаковых сосуда, в одном из которых находится вода, а в другом — небольшие пластиковые шарики. Перельем содержимое первого сосуда в кувшин. Мы увидим, как течет жидкость и как постепенно уровень воды в кувшине поднимается. Если мы будем пересыпать в кувшин шарики, все будет выглядеть и восприниматься совершенно иначе: мы будем видеть, как шарики по одному падают в кувшин. Разница между первым и вторым случаем будет заметна не только на глаз, но и на слух: в первом случае звук будет непрерывным, во втором мы сможем различить звук, издаваемый каждым шариком при падении в кувшин.

В первом случае мы имеем дело с непрерывным процессом, во втором случае — с дискретным.

Рассмотрим другой пример: с 9 утра до 9 вечера время течет непрерывно.

Но если мы посмотрим на расписание поездов, которые отправляются с 9 утра до 9 вечера, то увидим дискретное множество значений. Если один поезд отправляется в 10 утра, а следующий — в 11, то между значениями 10 и И нет никаких других, то есть эти значения дискретны. Напротив, течение времени между 10 и 11 часами непрерывно, и время может равняться, например 10 часам 25 минутам и 0,34628761720041244474 секунды.

Можно подумать, что понятия дискретного и непрерывного достаточно просты и интуитивно понятны. Тем не менее на протяжении многих лет они были предметом жарких споров: с одной стороны, они вовсе не просты, а с другой — потому что, как вы увидите чуть позже, интуиция не всегда хороший советчик, так как один и тот же предмет может казаться нам дискретным или непрерывным в зависимости от масштаба наблюдений.

Споры о дискретном и непрерывном вращаются вокруг понятия бесконечности, поэтому неудивительно, что они протекают скорее в философской плоскости, подобно противостоянию между пифагорейской и элейской школами в Древней Греции, которое ярче всего проявилось в парадоксах Зенона.

Ключевой вопрос состоит в том, является наш мир дискретным или непрерывным. Ответ на него очень сильно зависит от наших ощущений и, как следствие, лежит в плоскости теории познания. Не предаваясь философским размышлениям и не углубляясь в психологию, в начале XX века физики и математики сделали свой выбор в пользу концепции дискретного мира: появилась квантовая механика и так называемая дискретная математика.

Говорят, что важнейшее различие между наукой и технологией состоит в том, что первая меняет наше видение мира, вторая — наш образ жизни в этом мире. Можно утверждать, что изобретение механических часов стало одним из ключевых моментов в истории человечества и оказало наибольшее влияние на жизнь людей. Кроме того, благодаря часам, в создании которых математика сыграла определяющую роль, время перестало быть непрерывным и превратилось в дискретный ряд интервалов.

Первые механические часы появились в XIV веке (в Китае — в X веке), и сегодня они считаются устаревшими. Стрелки этих часов приводились в движение противовесом, который опускался под действием силы тяжести. Противовес подвешивался на веревке, намотанной на цилиндр, при движении противовеса цилиндр вращался и приводил в действие часовой механизм. У первых часов не было ни циферблата, ни стрелок, и время отмерялось ударами колокола. Мы говорим, разумеется, о больших городских часах. Во многих языках слово «часы» также означает «колокол», как, например, английское clock или французское cloche. В колокола бил звонарь, который следил за ходом времени.

Само собой разумеется, что точность этих часов оставляла желать лучшего, но не из-за несовершенства часовых механизмов, а из-за действия законов элементарной физики. Противовес, который приводил в движение механизм, опускался неравномерно: под воздействием силы тяжести его скорость постепенно возрастала.

Эту проблему удалось решить с помощью остроумного изобретения — часового спуска.

Он состоял из зубчатого колеса, анкера и маятника. Анкер одним концом цеплялся за колесо и раскачивался под действием маятника. Так появились знакомые всем нам звуки «тик-так», обозначающие интервалы времени, которым подчиняется жизнь большинства людей.

Изображенный на рисунке спусковой механизм позволял отмерять время намного точнее. При равномерном вращении колеса палета поочередно наклоняется то в одну, то в другую сторону. При каждом колебании она сдвигает спусковое колесо на один зуб, задавая ритм работы всего часового механизма.

Однако требовалось решить другую серьезную задачу: темп времени, отсчитываемый часами, должен был оставаться неизменным. Проблема заключалась в том, что первые отмеряемые часы были длиннее последних, то есть по мере того, как веревка подходила к концу, часы начинали спешить. Причина этого состояла в том, что маятники при движении описывали дугу окружности. Понять суть этой проблемы очень просто: достаточно бросить шарик внутрь полусферы и понаблюдать за его траекторией. Вы увидите, как размах колебаний шарика будет постепенно сокращаться, пока он не остановится (как если бы в часах кончилась веревка). Очевидно, что чем меньше высота, с которой падает шарик, тем меньше времени ему потребуется, чтобы достичь центра полусферы (именно поэтому часы спешат). Часовые мастера того времени задавались вопросом: существует ли кривая, в которой угол наклона и расстояние до основания связаны так, что скорость падения и пройденный путь компенсируют друг друга? Для этой кривой время, за которое шарик достигнет ее нижней точки, не зависит от того, с какой высоты он падает, поэтому еще до своего открытия эта кривая получила название таутохроны, что означает по-гречески «равное время».

* * *

ЛЮБОПЫТНАЯ ИГРА

Представьте, что мы перевернули циклоиду и придали ей вращательное движение. Мы получим поверхность, образующей которой является циклоида. Это равносильно тому, как если бы мы попросили гончара изготовить чашку, форму которой определяла бы циклоида. Такие чашки, сделанные из пластика, продавали в 60-е годы в магазинах любопытных вещиц в США. Чем же примечательна подобная чашка? Если мы положим внутрь нее шарик и отпустим его, он достигнет дна за одно и то же время вне зависимости от того, с какой высоты будет скатываться. Интересно понаблюдать, как два шарика, один из которых расположен на самом краю чашки, а второй — на полпути ко дну, достигают дна одновременно.

* * *

В 1673 году Христиан Гюйгенс доказал, что циклоида является таутохронной кривой и определяется как траектория, описываемая точкой окружности при качении этой окружности вдоль прямой без проскальзывания.

На рисунке показано, как при вращении окружности образуется циклоида.

Гюйгенс понял, что если маятник будет двигаться по циклоиде, то высота, с которой он будет опускаться при колебаниях, перестанет иметь значение. Подобно шарику, скатывающемуся в чашке, маятник всегда будет достигать нижней точки за одинаковое время.

Но как добиться именно такого движения маятника? Решить эту задачу помогло одно из наиболее удивительных свойств циклоиды: эволюта циклоиды также является циклоидой. Понятие эволюты слишком сложно, чтобы объяснить его здесь, но понять его геометрический смысл нетрудно. Допустим, что мы разделили циклоиду пополам и соединили ее половины в вершине А, как показано на рисунке.

Если мы возьмем нить заданной заданной длины, закрепим ее конец в точке А и вытянем ее так, что она всегда будет опираться на одну из ветвей циклоиды, то конец этой нити опишет кривую, которая также будет циклоидой. Гюйгенс нашел способ изготовить маятник с незатухающими колебаниями, которые были ограничены двумя ветвями циклоиды. Схема этого маятника приведена на рисунке выше.

Хотя время нельзя считать физической величиной, подобно массе или температуре, его можно измерить, и изобретение Гюйгенса позволило в повседневной жизни считать время дискретным.

Ритм нашей жизни по-прежнему определяют звуки «тик-так», отмеряющие дискретные промежутки времени. Однако в научном мире интервал между «тик» и «так» удивительным образом сокращался. Говоря простым языком, он в бесконечное число раз меньше секунды. Современные атомные часы отмеряют промежутки времени в 1/9192631770 секунды. Насколько же дискретны эти часы!

Дискретное состоит из элементов, отдельных единиц. А непрерывное? Кажется логичным считать, что непрерывное не может иметь подобной структуры, так как единичные элементы можно разделить, а между двумя соприкасающимися элементами не может находиться ничего — если бы там что-то находилось, его также можно было бы разделить на части. Если мы поразмыслим над этим хотя бы немного, то увидим, что понятие бесконечно малой величины вплотную подводит нас к понятию непрерывности. Размышления о природе непрерывного занимали важное место в греческой философии, одним из самых заметных представителей которой был Зенон. В своих известных парадоксах он продемонстрировал непрочность любой теории, в которой использовались бесконечно большие или бесконечно малые величины.