Стивен Строгац - Удовольствие от X. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире

Повторяю еще раз: коммутативный закон показывает, что при всех прочих равных условиях (которые, к сожалению, часто таковыми не являются) вы ничего не выигрываете. Если при обоих сценариях факторы роста денег и размеры налога одинаковы, то не имеет никакого значения, когда вам платить налоги – авансом или в конце периода.

Пожалуйста, не принимайте эти математические рассуждения за финансовый совет. Тем, кто сталкивается с решением подобных проблем, нужно учитывать, что в реальной жизни все не так просто. После выхода на пенсию вы предполагаете оказаться в верхней или нижней точке налоговой шкалы? Намерены ли вы полностью обнулить свой банковский депозит? Как думаете, правительство изменит налоговую политику при снятии денег со счетов к тому времени, когда вы соберетесь их взять, или нет? Но хватит об этом. И не поймите меня неправильно, это все важно и для меня, но здесь я пытаюсь сосредоточиться на более простых математических задачах и просто хочу показать, что коммутативный закон имеет отношение к анализу таких решений.

Об этом ведутся горячие споры на различных финансовых сайтах в интернете. Но даже после того как была показана актуальность коммутативных законов, некоторые блогеры с этим не согласились. Что, по большому счету, противоречит здравому смыслу.

Возможно, мы запрограммированы не доверять коммутативному закону, потому что в повседневной жизни, как правило, имеет значение то, что мы делаем в первую очередь. Нельзя одновременно брать кусок пирога и есть его. И снимать ботинки и носки тоже нужно в правильной последовательности.

Физик Мюррей Гелл-Манн как-то в ходе тревожных размышлений о своем будущем тоже пришел к аналогичному выводу. Закончив Йельский университет, он отчаянно хотел остаться в Лиге плюща[4]. К сожалению, в Принстон его не приняли. В Гарвард взяли, но без финансовой помощи он протянул бы ноги. Лучшим из возможных вариантов оказался Массачусетский технологический институт (но он не входил в Лигу плюща). В глазах амбициозного Гелл-Манна это учебное заведение было не очень престижным. Тем не менее он принял предложение. Много лет спустя он признался, что в тот момент подумывал о самоубийстве, но решил этого не делать, как только понял, что посещение Массачусетского технологического института и самоубийство нельзя переставить (поменять местами){12}. Он мог бы пойти учиться в Массачусетский технологический институт, а потом убить себя, но не наоборот.

Гелл-Манна, вероятно, впечатлила важность принципа коммутативности. Но в квантовой физике он бы обнаружил, что на самом глубинном уровне природа не подчиняется коммутативному закону. И это тоже хорошо, поскольку благодаря нарушению коммутативного закона мир таков, каков он есть. Именно поэтому материя является твердой и атомы не разрушаются.

Еще на заре появления квантовой механики{13} Вернер Гейзенберг и Поль Дирак обнаружили, что в природе p × q ≠ q × p, где p и q – импульс и координата квантовой частицы. Без этого нарушения коммутативного закона не было бы принципа неопределенности Гейзенберга, атомы бы взорвались и ничего не существовало бы.

Вот почему вам лучше позаботиться о своих p и q. И наказать делать это своим детям.

5. Деление и его проблемы

Через все повествование о числовых основах математики красной нитью проходит одна идея. Речь идет о создании (или поиске) все более универсальных чисел.

Нам достаточно натуральных чисел 1, 2, 3 и т. д., если нужно что-то сосчитать, сложить или перемножить. Но как только мы переходим к вычитанию, мы вынуждены создать новый вид числа – ноль, а также отрицательные числа. Эта расширенная вселенная чисел, называемых целыми, так же замкнута, как и натуральные числа, но она более мощная, поскольку охватывает еще и результаты операции вычитания[5].

Новый кризис наступает при попытке выполнить математическую операцию деления. Деление целого числа без остатка не всегда возможно… если мы не расширим вселенную чисел еще раз, своевременно изобретя дроби. Дроби – это отношение целых чисел, следовательно, их математическое название – рациональные числа. К сожалению, это то место, где многие студенты бьются головой о математическую стенку.

Конец ознакомительного фрагмента.

Сноски

1

Слэм-данк – вид броска в баскетболе, при котором игрок выпрыгивает вверх и одной или двумя руками бросает мяч сквозь кольцо сверху вниз. Прим. перев.

2

Джей Симпсон – известный игрок в американский футбол. Сыграл роль детектива Нортберга в знаменитой трилогии «Голый пистолет». Был обвинен в убийстве бывшей жены и ее друга и оправдан, невзирая на улики. Прим. перев.

3

Американский исполнитель поп-музыки, снискавший мировую славу в 1980-х годах. Прим. ред.

4

Лига плюща – группа самых престижных частных колледжей и университетов на северо-востоке США, которые славятся высоким уровнем обучения и научных исследований. Название связано с тем, что по английской традиции стены университетов – членов Лиги увиты плющом. Прим. ред.

5

Математики говорят, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения, то есть результаты этих операций, совершенные над натуральными числами, тоже будут натуральными числами. Аналогично множество всех целых чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения. Прим. ред.

1

Чтобы ознакомиться с увлекательной идеей о том, что числа живут собственной жизнью, а математика может рассматриваться как одна из форм искусства, см. P. Lockhart, A Mathematician’s Lament (Bellevue Literary Press, 2009).

Прим. ред.: В русском интернете много переводов эссе Локхарда «Плач математика». Вот один из них: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html.

Здесь и далее сноски, оформленные в фигурные скобки, относятся к примечаниям автора.

2

Эта известная фраза взята из эссе E. Wigner The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, Communications in Pure and Applied Mathematics, Vol. 13, No. 1, (February 1960), рр. 1–14. Онлайн-версия доступна на http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html.

Для дальнейших размышлений на эту тему, а также о том, была математика изобретена или открыта, см. M. Livio, Is God a Mathematician? (Simon and Schuster, 2009) и R. W.Hamming, The unreasonable effectiveness of mathematics, American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 2 (February 1980).

3

Написанием данной главы я во многом обязан двум замечательным книгам: полемическому эссе P. Lockhart, A Mathematician’s Lament (Bellevue Literary Press, 2009) и роману Y. Ogawa, The Housekeeper and the Professor (Picador, 2009).

Прим. ред.: Об эссе Локхарда «Плач математика» сказано в комментарии 1. Перевода романа Ёко Огавы на русский язык пока нет.

4

Молодым читателям, которые хотят изучать числа и их структуры, см. H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Paperbacks, 2000).

Прим. ред.: Среди многочисленных русских книг о началах математики, нестандартных подходах к ее изучению, развитии математического творчества у детей и тому подобных тем, созвучных следующим главам книги, укажем пока следующие: Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул. М.: АО «Столетие», 1995; Остер Г. Задачник. Ненаглядное пособие по математике. М.: АСТ, 2005; Рыжик В. И. 30 000 уроков математики: Книга для учителя. М.: Просвещение, 2003: Тучнин Н. П. Как задать вопрос? О математическом творчестве школьников. Ярославль: Верх. – Волж. кн. изд-во, 1989.

5

Превосходные, но более сложные примеры визуализации математических образов представлены в R. B. Nelsen, Proofs without Words (Mathematical Association of America, 1997).

6

Теория баланса впервые была предложена социальным психологом Фрицем Хайдером в 1946 году и с тех пор разрабатывалась и применялась теоретиками социальных сетей, политологами, антропологами, математиками и физиками. Ее исходные положения даны в F. Heider, Attitudes and cognitive organization, Journal of Psychology, Vol. 21 (1946), pp. 107–112, и F. Heider, The Psychology of Interpersonal Relations (John Wiley and Sons, 1958). Обзор по теории баланса с точки зрения социальных сетей см. S. Wasserman and K. Faust, Social Network Analysis (Cambridge University Press, 1994), chapter 6.

7