Питер Эткинз - Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.
Так же как мы идентифицировали пять сетей для обоев, отмечая положение точек, в которых потом можно расположить мотивы, мы проделаем это и для элементарных ячеек. Результирующие расположения точек, допустимые в трех измерениях, называются решетками Браве, в честь французского альпиниста, искателя приключений и физика Огюста Браве (1811-63), который первым составил их перечень в 1850 г. Оказалось, что их существует всего четырнадцать (рис. 6.5). Где бы вы ни увидели объекты, сложенные вместе для заполнения пространства регулярным образом, такие как консервные банки в ящиках, слои яиц в корзинках и фрукты в витринах, они все соответствуют одному из этих четырнадцати расположений.
Рис. 6.5. Трехмерными аналогами сетей для обоев являются решетки Браве. В трех измерениях существует четырнадцать решеток Браве. Можно прикреплять к каждой точке объекты различными способами, но таких способов существует не более 230.
Так же как мы можем получить семнадцать основных видов обоев, помещая различными способами в сеть точек мотив (вертикальные павлины, чередующиеся павлины и так далее), мы можем прикрепить мотив (такой, как рисунок на крышке спичечного коробка или способ, которым в нем уложены спички) к каждой точке решетки Браве. Тщательное рассмотрение возникающих здесь узоров показывает, что существует всего 230 возможных способов их организаций. Я осознаю, что слово «всего» здесь кажется не очень уместным; но дело в том, что это число конечно и определено точно: это число не равно 228 или 229; оно в точности равно 230. Эти способы организации называются пространственными группами. Все возможные трехмерные, заполняющие пространство периодические структуры соответствуют этим 230 пространственным группам. Упаковка одинаковых, недекорированных спичечных коробков со спичками, указывающими в одном направлении, соответствует одной пространственной группе, а упаковка тех же спичечных коробков тем же способом, но со спичками в соседних коробках, указывающими попеременно в разных направлениях, соответствует другой пространственной группе.
Бакалейщик, выкладывающий на витрине апельсины, бессознательно моделирует способы, которыми природа складывает вместе атомы, чтобы получить кристаллы, и именно здесь симметрия и вдыхающие в нее жизнь пространственные группы становятся важным орудием исследования и классификации. Во-первых, мы можем увидеть в витрине бакалейщика, что из однородно уложенных сфер может возникнуть поверхность, близкая к плоской. Плоская поверхность отдельного кристалла металлического элемента, например цинка или меди, представляет собой одну из поверхностей такого рода. Здесь не место входить в детали того, как именно атомы и молекулы пакуются вместе, чтобы дать в результате один из 230 возможных способов организации, допускаемых симметрией, но небольшой привкус этого все же получить можно.
Если мы будем представлять себе атомы в виде твердых сфер, подобных шарообразным опорам, мы сможем вообразить слой этих атомов, лежащих близко друг к другу, в котором каждая сфера окружена шестью соседями (максимально возможным числом для одинаковых сфер). Новый слой можно образовать, кладя атом в каждое из углублений первого слоя (рис. 6.6). Третий слой можно сформировать любым из следующих двух способов. В первом мы кладем атомы в углубления, лежащие над положениями атомов в первом слое; во втором мы кладем их в углубления, которые лежат над местами соприкосновения атомов первого слоя. Если мы обозначим слои буквами A, B, C…, то первое расположение будет выглядеть как ABABAB, а второе как ABCABC…. Если вы внимательно рассмотрите первую конфигурацию сфер, вы сможете обнаружить гексагональную систему, гексагональную элементарную ячейку. Во второй конфигурации вы сможете обнаружить кубическую систему (ее немного труднее обнаружить, поскольку кубы отклоняются от плоскостей). Эти два вида упаковки атомов дают кристаллы с разными симметриями. Среди металлов, образующих гексагональные элементарные ячейки, содержатся кобальт, магний и цинк. Металлы, образующие кубические элементарные ячейки, включают серебро, медь и железо.
Рис. 6.6. Две регулярные структуры, которые можно построить, укладывая вместе твердые сферы (представляющие атомы) насколько возможно плотно. На нижнем уровне (светло-серый) каждая сфера находится в контакте с шестью соседями. Обозначим этот уровень буквой A. На среднем уровне (серый) сферы лежат в углублениях первого уровня. Обозначим этот уровень буквой B. Если сферы следующего слоя (темно-серый) лежат в углублениях второго слоя, которые находятся прямо над сферами первого слоя, образуя структуру ABA, то мы получаем гексагональную систему (в верхней части). Если сферы лежат в углублениях, которые не находятся непосредственно над сферами слоя A, то мы получаем конфигурацию ABC, имеющую кубическую симметрию.
Симметрия элементарных ячеек влияет на механические, оптические и электрические свойства твердых тел. Например, жесткость металла зависит от наличия в нем плоскостей скольжения, которые представляют собой плоскости атомов, которые под действием напряжения, скажем, удара молотком, могут проскальзывать друг относительно друга. Если изучить внимательно слои атомов на рис. 6.6 или элементарные ячейки, то выяснится, что гексагональная структура имеет только одно семейство плоскостей скольжения (они лежат параллельно плоскостям, показанным на иллюстрации), в то время как кубическая структура имеет восемь семейств различно ориентированных плоскостей скольжения. В результате металлы с гексагональной структурой (например, цинк) являются хрупкими, а металлы с кубической структурой (например, медь и железо) являются пластичными — их можно относительно легко сгибать, прокатывать, протягивать и ковать из них различные формы. Электроиндустрия зависит от тягучести меди, а транспортная и строительная индустрии зависят от пластичности железа.
Как мы видели в других контекстах, бывает всегда забавно, а иногда и полезно, расширять наше воображение до более высоких размерностей. Это расширение иногда существенно важно, как в случае, когда мы рассматриваем четыре измерения пространства-времени. Тогда возникает вопрос, сколько узоров может быть обнаружено в пространствах более высоких размерностей. Математики исследовали этот вопрос. В четырехмерном пространстве существуют «всего» 4783 пространственные группы, поэтому пятимерные существа (которым нужны четырехмерные обои для украшения своих гиперкубических комнат) найдут гораздо более широкое разнообразие узоров в своих обойных гипермаркетах, чем мы, существа трехмерные.
Не все симметрии очевидны, и именно поэтому я хочу подтолкнуть вас к тому, чтобы вы приобрели способность оценивать красоту более высоких абстракций. С этого момента наше обсуждение неизбежно становится более абстрактным, а понятия более трудно представимыми визуально; но мы будем пускать в обращение эти замысловатые трудности постепенно и с осторожностью, и вы с удовольствием обнаружите, что все можете понять. Здесь мы увидим, что симметрия больше не является наглядной, но зато становится могущественной, ибо она является источником законов. Симметрия ведет.
Мы уже видели пример ведущей и контролирующей роли симметрии. Мы видели в главе 3, что сохранение энергии является следствием однородности времени. Следствием того, что время является гладким, не состоящим из кусков — более формально, время является трансляционно инвариантным, — является то, что энергия сохраняется. Мы видели также, что сохранение импульса является следствием гладкости пространства — того, что пространство трансляционно инвариантно при отсутствии сил — и что сохранение момента импульса является следствием изотропности пространства — того, что пространство инвариантно относительно вращений при отсутствии вращающих моментов. Отсутствие кусковатости у пространства и времени является проявлением их симметрии, поэтому мы видим, что эти могущественные законы сохранения вытекает из симметрии. Эмми Нётер (1882-1935), наиболее выдающаяся и авторитетная из когда-либо родившихся на свет женщина-математик, установила результат огромной важности, известный теперь, как теорема Нётер, о том, что там, где существует симметрия, всегда есть соответствующий ей закон сохранения.
Некоторые симметрии скрыты от прямого наблюдения, но все равно имеют соответствующие им следствия. Теперь все, что я попрошу вас делать, это отмечать совпадения и задавать себе вопрос, не являются ли они следствием симметрии. Знаком того, что под поверхностью явлений скрывается симметрия, является точное равенство энергий различных конфигураций частиц: если две конфигурации связаны преобразованием симметрии, то энергия этих двух конфигураций одинакова. Мы столкнулись с особенно подходящим примером в главе 5, когда увидели, что в атоме водорода энергия электрона, который находится на s-орбитали, является точно такой же, как энергия электрона, находящегося на p-орбитали той же оболочки. s-орбиталь является сферической, а p-орбиталь имеет две доли, поэтому, хотя легко увидеть, что p-орбиталь можно повернуть и получить другую p-орбиталь, совсем не очевидно, что p-орбиталь можно повернуть так, чтобы получить s-орбиталь. Я уже упоминал, что потенциальная энергия — энергия, связанная с положением электрона в электрическом поле ядра, так называемая кулоновская потенциальная энергия — является в некотором специальном смысле красивой, и теперь я могу объяснить, что я имею в виду.
