Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания
«Музыка» природы и музыка как творение человека принадлежат к двум разным категориям. Переход из первой во вторую происходит средствами математической науки. Это очень важный довод, из которого многое следует. Однако мы бы заблуждались, если бы сделали вывод, будто человек строит свою музыкальную систему согласно осознанным вычислениям, ведь хотя эта система возникла благодаря бессознательному применению заложенных в человеке представлений о количестве и соразмерности посредством тонких процессов расчета и измерения, однако законы, управляющие этими процессами, наука описывает лишь задним числом.
Так задумал Пифагор
Этими словами знаменитый ирландский поэт Уильям Батлер Йейтс открывает свое стихотворение «Статуи». Йейтс, который когда-то сказал, что «самая сущность гения любого рода – это точность», исследует в этом стихотворении отношения между числами и страстью. Вот первая строфа стихотворения:
Пифагор рассчитал все. Откуда ж людей удивленье?Его числа изваяны в камне и в бронзе отлиты.Им, однако, как будто живым, недоступны любовь и томленье.Одинокая юность, почуяв любовную силу,Знает страсть, что способна разбить или слить монолиты.И к губам, для которых холодный расчет был мерилом,Прижимает живые горячие губы полночной порой,Там, где взгляд площадей и людей наблюдательных строй.
Йейтс прекрасно выразил то обстоятельство, что тщательно рассчитанные пропорции греческих скульптур могут показаться холодными, однако юные и страстные души все равно считали эти условные формы воплощением предмета своей любви.
На первый взгляд, нет предмета более далекого от математики, чем поэзия. Нам представляется, что стихи произрастают из чистого воображения поэта, и их цветению нет закона, как нет закона красоте алой розы. Только не надо забывать, что расположение лепестков этой самой розы подчиняется точнейшему порядку, основанному на золотом сечении. Так нельзя ли строить стихи на той же основе?
В принципе, есть два способа связать поэтический язык с золотым сечением и числами Фибоначчи. Во-первых, можно просто посвящать стихи золотому сечению и числам Фибоначчи (вспомним стихотворение Пола Брукмана «Постоянное Среднее», упоминавшийся в главе 4), или геометрическим фигурам и феноменам, которые тесно связаны с числом φ. Во-вторых, можно так или иначе применять золотое сечение или числа Фибоначчи в стихотворной форме и ритме.
Примеры первого типа – это, в частности, юмористические стихи Дж. А. Линдона, великий «Фауст» Иоганна Вольфганга Гёте и стихотворение «Раковина наутилуса» Оливера Уэнделла Холмса. Стихотворением Линдона Мартин Гарднер открыл главу о числах Фибоначчи в своей книге «Математический цирк». В нем говорится о рекурсивных отношениях, характерных для последовательности Фибоначчи:
Пять было жен у Фибоначчи,Чем далее, тем формами богаче:Вес каждой – как у двух, что были до;Да, пятая влезала в дом с трудом!
(Пер. М. Антипина)О Фибоначчи говорится и в двустишии Кэтрин О’Брайен:
Фибоначчи ни сна, ни покоя не знает —Не овец, а крольчат до рассвета считает.
Немецкий поэт и драматург Гёте (1743–1832) – безусловно, один из величайших писателей в мировой литературе. Вершина его многогранного гения – «Фауст», грандиозная метафора человеческого стремления к могуществу и познанию. Ученый Фауст продает душу дьяволу, воплотившемуся в Мефистофеле, в обмен на знания, молодость и магические способности. Когда Мефистофель обнаруживает, что под порогом у Фауста начертана пентаграмма, он не может выйти. Магические свойства, приписываемые пентаграмме еще с пифагорейских времен (они и привели к определению золотого сечения), в христианскую эпоху приобрели особую значимость, поскольку пять лучей пятиконечной звезды, как считалось, символизируют имя «Иисус». Именно поэтому полагали, что дьявол боится пентаграммы. Вот как это описано в поэме:
Мефистофель:Я в некотором затрудненье.Мне выйти в сени не даетФигура под дверною рамой.
Фауст:Ты испугался пентаграммы?Каким же образом тогдаВошел ты чрез порог сюда?Как оплошал такой пройдоха?
Мефистофель:Всмотритесь. Этот знак начертан плохо.Наружный угол вытянут в длинуИ оставляет ход, загнувшись с края.
(Пер. Б. Пастернака)Мефистофель прибегает к жульничеству – чтобы миновать пентаграмму, пользуется тем, что линия пентаграммы не замкнута. Очевидно, Гёте не имел никакого намерения обращаться в «Фаусте» к концепции золотого сечения и упоминает о пентаграмме исключительно из-за ее символических качеств. Свое мнение о математике Гёте формулировал следующим образом: «Математики – они словно французы: когда говоришь с ними, они тут же переводят твои слова на свой язык – и получается что-то совсем другое».
Американский врач, поэт и писатель Оливер Уэнделл Холмс (1809–1894) издал множество сборников очаровательных остроумных стихов. В стихотворении «Раковина наутилуса» он выводит мораль из самоподобного роста раковины моллюска:
Пускай года сменяются, спеша, —Все выше купол поднимай, душа,Размахом новых зданий с прежним споря,Все выше и вольней! —Пока ты не расстанешься без горяС ракушкою своейНа берегу бушующего моря!
(Пер. Г. Кружкова)Примеров математического расчета в поэтических формах очень и очень много. Например, «Божественная комедия», гениальное классическое произведение итальянского поэта Данте Алигьери (1265–1321), разделено на три части, написано терцетами – строфами по три строки, – а в каждой его части по тридцать три песни, кроме первой, в которой их тридцать четыре, чтобы всего было ровно сто.
Пожалуй, именно в поэзии впервые нашли свое воплощение числа Фибоначчи, и это было даже до кроликов. Один из стихотворных размеров в санскритской и пракритской поэзии назывался матра-врттас (mātrā-vṛttas). Это семейство таких стихотворных размеров, где количество мор (обычных кратких слогов) остается неизменным, а количество букв произвольно. В 1985 году математик Пармананд Сингх из колледжа им. Раджа Нарайна в Индии подметил, что числа Фибоначчи и отношения, которые их связывают, упоминаются в сочинениях трех древнеиндийских специалистов по матра-врттас, написанных задолго до 1202 года, когда была опубликована книга Фибоначчи. Первым из этих авторов, писавших о метрике, был Акарья Вираханка, живший примерно в VI–VIII веке. Хотя приведенное у него правило сформулировано несколько расплывчато, он и в самом деле упоминает смешение вариантов двух предыдущих стихотворных стоп, чтобы получить следующую – подобно числу Фибоначчи, представляющему собой сумму двух предыдущих. Другой математик по имени Гопала также приводит это правило в рукописи, написанной между 1133 и 1135 годом. Он объясняет, что каждая стопа есть сумма двух предыдущих стоп, и приводит при этом последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 – то есть числа Фибоначчи как они есть. Наконец, великий джайнистский поэт и энциклопедист Ачарья Хемачандра, живший в XII веке и пользовавшийся покровительством двух царей, также в рукописи, написанной около 1150 года, недвусмысленно говорит, что «сумма последнего и предпоследнего чисел [вариантов стоп] и составляет следующую стопу матра-врттас». Однако первого появления чисел Фибоначчи в теории стихосложения математики, похоже, не заметили.
В научно-популярной книге Труди Хэммел Гарланд «Чудесные числа Фибоначчи» приведен пример лимерика, где количество строк (5), количество стоп в каждой строке (2 или 3) и общее число стоп (13) представляют собой числа Фибоначчи:
Молодая особа, чей носРос, пока до земли не дорос,За пятак и полушкуНанимала старушку,Чтоб носить свой немыслимый нос.
(Пер. М. Фрейдкина)Однако зачастую появление в стихотворении нескольких чисел Фибоначчи ни в коем случае нельзя считать свидетельством того, что поэт непременно имел в виду эти числа или золотое сечение, когда продумывал стихотворную форму своего произведения. Поэзия, как и музыка, предназначена для того, чтобы ее слушать, а не читать глазами, и особенно это справедливо для поэзии минувших веков. Следовательно, важнейший структурный элемент поэзии – это соразмерность и созвучия, приятные на слух. Однако это не означает, что золотое сечение и числа Фибоначчи – единственные инструменты в арсенале поэта.
Особенно сильное заявление о роли золотого сечения в поэзии сделал Джордж Эккел Дакворт, профессор классической филологии из Принстонского университета, в 1962 году. Он выпустил книгу «Структурные закономерности и пропорции в «Энеиде» Вергилия» (George Eckel Duckworth. Structural Patterns and Proportions in Vergil’s Aeneid), где утверждает, что «Вергилий строил композицию “Энеиды” на основе математических пропорций, и в каждой книге, как в небольших отрывках, так и в крупных подразделах, налицо прославленное численное соотношение, известное под разными названиями – как “золотое сечение”, так и “божественная пропорция”».
