Клауди Альсина - Том 11. Карты метро и нейронные сети. Теория графов

* * *

КАЗИМИР КУРАТОВСКИЙ (1896–1980)

Профессор Куратовский был одним из великих польских математиков, возглавлял группы исследователей и сотрудничал с крупнейшими математиками мира. Он занимался логикой, топологией, теорией множеств, а в 1930 году удивил весь мир знаменитой теоремой о планарных графах. Хотя определить планарность графа на практике сложно, теорема Куратовского имеет очень простую формулировку.

ПРИМЕНЕНИЕ В АРХИТЕКТУРЕ

При работе над архитектурными проектами интерес представляет анализ графа доступности пространств. Если этот граф не является планарным, нужно будет построить несколько этажей и лестниц. Если же полученный граф является планарным, то допустимо расположение всех нужных помещений на одном этаже.

* * *

Дерево — это очень простой граф, все вершины которого соединены так, что отсутствуют циклы, как, например, на следующем рисунке:

В дереве можно проложить маршрут между любыми двумя вершинами.

Далее приведены все возможные деревья с числом вершин от 1 до 8.

Последовательность чисел, обозначающих количество всех возможных деревьев для каждого числа вершин, выглядит так: 1, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 23, 47, 106, 235, 551, 1301, 3159…

Если дерево имеет р вершин, то в нем всегда будет р — 1 ребер, но для каждого значения р можно изобразить рр-2 разных деревьев (формула Кэли). Понятие дерева впервые ввел Кэли в 1857 году. Деревья образуют очень важный класс графов, так как в них все вершины соединены минимально возможным числом ребер. Благодаря этому деревья находят интересное применение в самых разных областях: при проектировании электрических цепей, телефонных сетей, при поиске маршрутов между населенными пунктами и так далее.

Следующая простая и красивая теорема дает характеристику деревьям, а также имеет крайне важное практическое значение:

«Граф G является деревом тогда и только тогда, когда между любыми двумя различными его вершинами u и v существует единственный путь. Это равносильно следующему утверждению: С является связным графом, если он имеет р вершин и р — 1 ребро».

Несмотря на простоту этой теоремы, число возможных деревьев по мере увеличения р возрастает очень быстро.

Причина этому такова. Пусть G — дерево. Даны две вершины G, u и v. Так как граф G является связным, то существует по меньшей мере один путь между u и v. Если бы между этими вершинами существовало два пути, С1 и С2, то в графе G образовался бы цикл, что невозможно. Разумеется, если между двумя произвольными вершинами графа существует единственный путь, граф является связным и не содержит циклов.

* * *

ДЕРЕВЬЯ И ВЕРОЯТНОСТИ

При анализе вероятностей различных событий (например, в играх) возможные альтернативные исходы и соответствующие вероятности часто представляют в форме дерева, где вершины соответствуют возможным исходам, а ребра — значениям вероятностей возможных исходов. Соответствующие расчеты выполняются на основе дерева. На рисунке представлено дерево, соответствующее игре, в которой нужно бросить сначала монету, затем — кубик. В теории игр, которая широко применяется в экономике, подобные представления используют очень часто.

Для расчета вероятностей нужно четко представлять все возможные исходы.

* * *

У. УИНГФИЛД И А. А. МАРКОВ: ТЕННИС И ТЕОРИЯ ГРАФОВ

Уолтер Уингфилд (1833–1912) запатентовал игру под названием теннис в феврале 1874 года. Андрей Андреевич Марков (1856–1922) занимался изучением последовательностей случайных событий, которые позднее стали называться цепями Маркова. Цепь Маркова представляет собой ориентированный граф, вершинам которого соответствуют состояния, а дугам — переходы из одного состояния в другое в зависимости от вероятности исходного события, но не всей последовательности предшествующих событий. Уингфилда и Маркова объединяет работа А. Л. Садовского и Л. Е. Садовского «Математика и спорт», в которой цепи Маркова используются для анализа теннисных партий. Так, на рисунке вероятности возможных исходов для каждого события соответственно равны 0,6 и 0,4.

* * *

Рассмотрим задачу, которую можно решить с помощью деревьев. Даны n городов A1, А2… Аn. Зная затраты на установление сообщения между каждой парой городов (стоимость строительства дорог, прокладки водо- и газопровода, линий электропередачи, телефонных линий), определите, как можно соединить города самым дешевым способом. Очевидно, что сеть «экономических связей» будет деревом, так как все города должны быть связаны друг с другом и не должно существовать циклов. Если бы в этой сети существовал цикл, можно было бы удалить одно из его ребер и все города по-прежнему были бы соединены между собой, но уже при меньших затратах.

Следовательно, дерево связей между n городами будет иметь n — 1 ребро. Соединим два города, для которых стоимость прокладки всех коммуникаций будет наименьшей. Затем соединим один из них с третьим городом, для которого стоимость коммуникаций будет минимальной, и так далее. Как называется множество различных графов, которые являются деревьями?

Наверное, вы уже догадались: такое множество называется лесом. Вопреки известной пословице, в теории графов за деревьями лес виден.

* * *

ГРАФЫ И ГЕНЕАЛОГИЧЕСКИЕ ДЕРЕВЬЯ

Родословную человека или семьи можно представить в четкой и упорядоченной форме с помощью графа, в вершинах которого размещаются фотографии, имена и годы жизни родственников, а ребра графа указывают на родственные отношения. Такое дерево может быть нисходящим и изображать всех потомков одной супружеской пары или восходящим, на котором будут представлены все предки конкретного человека.

В прошлом генеалогические деревья изображались в виде настоящих деревьев с ветвями и листьями. Сегодня благодаря использованию графов генеалогические деревья стали более понятными, пусть и менее живописными. Многие из них представлены в цифровом виде (различные программы для составления генеалогических деревьев можно найти в интернете). В настоящее время в виде генеалогических деревьев также изображают родословные собак, скаковых лошадей, боевых быков, связи политических партий, музыкальных жанров, родственных языков и многое другое. Быть может, читатель захочет составить свое генеалогическое древо по прочтении этой главы.

Современное генеалогическое древо царской семьи Романовых, составленное на компьютере, и генеалогическое древо семейства Ругон-Маккаров из произведений писателя Эмиля Золя, составленное в 1878 году.

ГРАФ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ

По адресу http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu находится страница математического генеалогического проекта (Mathematics Genealogy Project), на которой собраны данные о математиках и их «потомках» — тех ученых, которые защитили докторскую диссертацию под их руководством. Проект непрерывно пополняется данными о все новых и новых диссертациях, и постепенно формируется дерево взаимосвязей между всеми математиками. По состоянию на апрель 2010 года были собраны данные о 140 982 математиках.

Главная страница проекта Mathematics Genealogy Project

* * *

Помимо генеалогических деревьев, которые даже могут висеть в гостиной, графы используются на телевидении для представления числа происшествий, уровня безработицы, биржевых котировок по дням и по годам. Наручные часы — это граф с 12 вершинами; в виде геометрических графов можно изобразить план вашей квартиры, посуду, украшения и так далее. GPS, карты и автомобильные маршруты, представленные в интернете, — еще один прекрасный пример использования графов. Ребрами в них являются улицы и автодороги, вершинами — населенные пункты и города. Вершины таких графов имеют наименования, ребрам соответствуют числа, обозначающие расстояния в километрах. Таким образом, полученный граф является помеченным и взвешенным.