Эмилия Александрова - Искатели необычайных автографов
— Молодец! Это и в самом деле знакомый вам ряд чисел Фибоначчи, только неполный. Здесь представлены лишь те числа, которые стоят на нечетных местах: первое, третье, пятое и так далее. Обратите также внимание на то, что этот частичный ряд тоже имеет свою собственную закономерность: каждый член его, начиная со второго, равен сумме всех предыдущих, если при этом ближайшее к нему число слева удвоено…
— Ну-ка, проверим! — сказал Фило. — Действительно: 1 + 2 + 5 + (13 x 2) = 34. Но где же все-таки треугольник? Я его не вижу!
— Немного терпения: я как раз начинаю его строить. Под числами первого ряда, в промежутке между ними, записываю числа, равные разности между двумя вышестоящими числами первого ряда, и получаю вторую строку:
1 2 5 13 34 89
1 3 8 21 55
— Смотрите-ка, снова числа Фибоначчи!
Но Мате объяснил, что иначе и быть не могло: ведь каждое число Фибоначчи есть разность между двумя соседними числами ряда.
Далее, составив тем же способом следующие строки, он продолжил таблицу и получил числовой треугольник:
1 2 5 13 34 89
1 3 8 21 55
2 5 13 34
3 8 21
5 13
8
— Вы, конечно, понимаете, — добавил Мате, — что треугольник может быть расширен и удлинен до бесконечности. Так вот, я заметил, что, путешествуя по наклонным рядам этого треугольника, начиная с единицы, можно совершать самые разнообразные зигзаги, каждый раз получая полный ряд чисел Фибоначчи.
Он снова обратился к чертежу и наметил несколько маршрутов по треугольнику.
— А знаете, это и впрямь чертовски занимательно, — признался Фило.
— Погодите, я еще не кончил, — остановил его Мате. — Повернем тот же треугольник по ходу часовой стрелки градусов этак на сорок, заодно увеличив его на несколько строк, а потом сложим числа каждой горизонтальной строки.
— Зачем?
— Сейчас поймете.
Мате выписал треугольник, поставив на уровне каждой строки сумму ее чисел.
1 1
1 2 3
2 3 5 10
3 5 8 13 29
5 8 13 21 34 81
8 13 21 34 55 89 220
13 21 34 55 89 144 233 589
21 34 55 89 144 233 377 610 1563
— Во-первых, обратите внимание на то, что вдоль левой боковой стороны этого числового треугольника расположены последовательные числа Фибоначчи, — сказал он.
— Обратил, — подтвердил Фило. — А во-вторых?
— Во-вторых, исследуя полученные суммы, я увидел, что каждую из них можно, в свою очередь, представить в виде суммы ряда простых чисел. Для порядка начнем с единицы — ведь она как-никак тоже число простое.
1 = 1 (1 слагаемое)
3 = 3 (1 слагаемое)
10 = 3 + 7 (2 слагаемых)
29 = 3 + 7 + 19 (3 слагаемых)
81 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 (5 слагаемых)
220 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 71 (8 слагаемых)
589 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 43 + 67 + 71 + 79 + 83 + 97 (13 слагаемых)
1563 = 3 + 7 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 43 + 67 + 71 + 79 + 83 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 131 + 137 + 173 (21 слагаемое)
— Чуете? — спросил Мате, закончив таблицу и торжествующе посмеиваясь.
Но Фило лишь виновато хлопал глазами.
— Эх вы! — пристыдил его Мате. — Да тут и ребенку ясно, что количество простых чисел, входящих в каждую сумму, тоже образует ряд Фибоначчи.
— Но это же замечательное открытие! — бурно обрадовался Фило.
— До открытия далеко. Я исследовал только восемь строк треугольника, а их бесконечное множество.
— Так найдите общее доказательство.
— Только и всего? — Мате язвительно осклабился. — Попробуйте-ка сами!
— Э, нет, слуга покорный! Предоставим это мессеру Леонардо, — отшутился Фило. — К тому же вы все еще не ответили на мой вопрос.
— Наоборот! — энергично запротестовал Мате. — Я только и делаю, что отвечаю на него. Я показал вам, как перспективна игра с числами вообще и с числами Фибоначчи в частности. Она чревата самыми непредвиденными открытиями, которые могут привести к самым неожиданным практическим результатам. Вот почему я так высоко оцениваю этот удивительный числовой ряд. А теперь…
Он засунул руку в карман, позвякал там медяшками и без всякого видимого перехода предложил Фило отгадать, сколько монет у него в кармане. Фило обиделся: за кого его принимают? Факир он, что ли?
— Ладно! — смилостивился Мате. — Я не заставлю вас гадать ни на картах, ни на кофейной гуще. Вот вам некоторые наводящие данные. В кармане у меня только трех- и пятикопеечные монеты на сумму 49 копеек.
— Так бы сразу и сказали! Теперь я, по крайней мере, понимаю, что должен составить уравнение, и притом весьма простое. Обозначим число пятачков через х, а число трехкопеечных монет — через у. Тогда пятикопеечных монет будет на сумму 5х, а трехкопеечных — на 3у. Общая сумма их, как известно, 49 копеек. Следовательно, 5х + 3у = 49.
— Ставлю вам пять с плюсом, — сказал Мате. — Уравнение отличное. Но как вы его решите?
Фило призадумался. Попробуйте-ка решить одно уравнение с двумя неизвестными!
— Не беда, — утешил его Мате. — Мы ведь с вами знаем, что число монет каждого достоинства может быть только целым, а не дробным. Так давайте попробуем подобрать эти числа. Начнем, естественно, с самого маленького целого числа: с единицы. Иначе говоря, предположим, что пятачок у меня всего один. Пишем: х = 1. Теперь подставим это в наше уравнение: 5 х 1 + 3у = 49. Отсюда 3у = 44, а у = 44/3
— Простите, 44/3 не целое число…
— Прекрасно. Значит, наше предположение отпадает. Теперь допустим, что х = 2. Тогда 5 х 2 + 3у = 49. Отсюда 3у = 39, у = 13. Получается, что у меня два пятака и тринадцать трехкопеечных монет.
— Браво! — ликовал Фило. — Задача решена!
— Экий вы быстрый! А ну как есть другое решение? А вдруг у меня не два, а пять пятачков? Возможно это или невозможно?
— Сейчас узнаем. 5 х 5 + 3у = 49. Отсюда 2у = 24, у = 8. Вот так компот! Выходит, у задачи не одно решение.
— Как видите.
— Поискать, что ли, другие?
И Фило принялся за поиски. Перебрав варианты х = 3, 4, 6 и 7, он убедился, что ни один из них невозможен. Зато при х = 8 игрек оказался равным 3. Таким образом к прежним двум прибавилось еще одно, третье решение. Однако вариант х = 9 опять не подошел. Фило собрался было подставить х = 10, но Мате, смеясь, остановил его: ведь в этом случае одних пятачков было бы на 50 копеек, а у него всего 49. Значит, дальнейшие поиски бессмысленны.
— Итак, — подытожил он, — мы выяснили, что уравнение имеет три решения: 1) х = 2, у = 13; 2) х = 5, у = 8; 3) х = 8, у = 3. Следовательно, в кармане у меня либо 15, либо 13, либо 11 монет.
Фило неодобрительно поджал губы. Ну и точность! Тут уж бабушка не надвое, а натрое гадала.
— Потому-то уравнения такого рода и называются неопределенными, — разъяснил Мате. — Кроме того, наше уравнение отличается от других неопределенных еще и тем, что по условию ответ его должен быть обязательно в целых числах.
— Не понимаю, — надулся Фило, — кому нужны уравнения с несколькими ответами?
— Не скажите. Неопределенные уравнения интересовали математиков с глубокой древности. Ими занимались еще в Древней Индии! Но особенно подробно изучал их грек Диофант. Он рассмотрел многие неопределенные уравнения вплоть до четвертой степени и нашел для каждого все возможные решения в целых числах. Потому-то уравнения такого рода стали называть диофантовыми, хотя общего метода решения их Диофант не обнаружил.
— Но для чего все-таки нужны такие уравнения? Где они используются?
— Везде. В любой науке, в любой отрасли народного хозяйства — всюду, где мы имеем дело только с целыми числами. Вот, например, может ли фабрика выпустить не целое число шляп, скажем, 245 с четвертью? Можно ли запустить в космос полтора спутника? Бывает ли в табуне не целое число лошадей? Разумеется, нет. Таких задач, которые должны быть решены только в целых числах, великое множество. Понимаете теперь, какое важное место в нашей жизни занимают диофантовы уравнения?
— Понимаю, понимаю, — сдался Фило. — Но вам не кажется, что мы слишком отдалились от первоначальной темы нашего разговора? Говорили о числах Фибоначчи, потом ни с того ни с сего перескочили на диофантовы уравнения…
— Это вы называете «ни с того ни с сего»? Да ведь между ними самая прямая связь! Да будет вам известно, что десятая проблема Гильберта, решенная посредством чисел Фибоначчи, касается именно диофантовых уравнений! Она предлагает указать способ, с помощью которого после конечного числа операций возможно установить, разрешимо ли данное диофантово уравнение в целых числах.
— Вот оно что! — сообразил Фило. — Стало быть, именно этот способ и нашел Юрий Матиясевич?
Мате замялся.
— Жаль вас огорчать, но все было как раз наоборот. Матиясевич разрешил десятую проблему в отрицательном смысле. Он доказал, что такого способа в общем виде не существует.
