Эмилия Александрова - Искатели необычайных автографов
— Так вот, — сказал Мате, открывая неизбежный блокнот, — требуется вписать в квадрат ABCD равносторонний пятиугольник таким образом, чтобы одним из углов его был угол квадрата. — Он начертил квадрат. — Прежде всего, проведем диагональ квадрата BD. Теперь на глазок впишем в квадрат равносторонний пятиугольник BEgFK так, чтобы диагональ BD была его осью симметрии. Сторону квадрата обозначим буквой а, сторону пятиугольника, естественно, через х, — ведь именно она-то нам и неизвестна. Таким образом, АК = а — х, KF = х, AF = а — FD. Но FD есть гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника FLD, катеты которого равны х/2. Теперь соблаговолите определить, чему равна гипотенуза FD.
Фило довольно бойко отрапортовал, что, согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А раз так, значит, гипотенуза
— Отлично, — сказал Мате. — Стало быть,
Теперь все стороны треугольника AKF выражены у нас через искомое число х: KF = х, АК = a-x, и, наконец,
Снова обратимся к теореме Пифагора и получим, что KF2 = АК2 + AF2, то есть
— Что-то вроде квадратного уравнения, — сообразил Фило.
— Вот-вот. Надо лишь привести его в приличный вид.
Мате раскрыл скобки и перенес все члены уравнения в левую часть равенства:
— Решив уравнение по обычной формуле, — продолжал он, — получим:
— Э, нет, — заартачился Фило, — перед большим корнем полагаются два знака: плюс и минус. А вы написали только минус…
— Замечание верное, но ведь мы с вами не отвлеченное квадратное уравнение решаем, а ищем вполне конкретную сторону пятиугольника. А она, если вдуматься, никак не может быть больше стороны квадрата. Так что на сей раз хватит с вас и одного минуса.
— Невелика выгода. Ответ у вас все равно некрасивый: корень на корне и корнем погоняет.
Мате засмеялся. Этот Фило определенно делает успехи! Одной правильности ему уже мало. Что ж, придется предложить ответ поизящнее. Такой, например: если принять, что корень из двух приближенно равен 1,41, то икс — также приближенно — равен 0,65 а.
— Совсем другое дело? — сказал Фило. — Но там, между прочим, были еще две геометрические задачи.
— Благодарю за напоминание. Только теперь ваша очередь решать.
Фило обомлел. Как? От него требуют, чтобы он решал задачу один? Самостоятельно?
— Вот именно, — непреклонно подтвердил Мате. — Единственное, что я могу для вас сделать, это напомнить, в свою очередь, условия задач. Итак, слушайте. Задача вторая. В равносторонний треугольник надо вписать квадрат, одна сторона которого лежит на основании треугольника. Произвести это следует так, чтобы квадрат вместе с образовавшимся над ним малым треугольником составлял равносторонний пятиугольник.
Фило мрачно вздохнул и задумался. Через некоторое время, однако, лицо его прояснилось. Он взял у Мате блокнот, вычертил равносторонний треугольник АВС и вписал в него квадрат DEFg.
— Само собой разумеется, что квадрат пока что приблизительный, так же как и равносторонний пятиугольник DEBFg.
— Ну, ну, — подбадривал Мате, — дальше…
— Дальше обозначим стороны большого треугольника через a, а стороны пятиугольника через х и рассмотрим прямоугольный треугольник AED. Гипотенуза его АЕ = а — х. Катет ED = х, а катет AD = (a — x)/2. Так ведь?
— Клянусь решетом Эратосфена, так!
— Тогда остается применить теорему Пифагора:
АЕ2 = ED2 + AD2.
А уж отсюда получим выражение:
(а — x)2 = x2 + ((a — x)/2)2.
После этого Фило запнулся и посмотрел на Мате так жалобно, что сердце у того не выдержало, и вскоре перед ними красовалось следующее квадратное уравнение:
x2 + 6ах — 3a2 = 0
Решив его, они определили, что
и откинулись от стола, весьма удовлетворенные своей деятельностью.
— Ну, — ехидно полюбопытствовал Мате, — что же вы не спросите, почему перед корнем вместо двух знаков только один?
Фило гордо подбоченился: стоит ли спрашивать о том, что и так ясно? Ведь сторона квадрата не может быть отрицательной! Стало быть, минус ни при чем.
Далее он относительно быстро подсчитал, что
приближенно равен 3,46, а раз так, значит, х ≈ (-3 + 3,46)а = 0,46а.
— Всё! Переходим к третьей задаче.
— Надо ли? — усомнился Мате. — Думаю, вы отлично справитесь с ней дома.
И он протянул товарищу листок, на котором было написано: «в равнобедренный треугольник с основанием 12 и боковыми сторонами 10 вписать равносторонний пятиугольник, один из углов которого — угол при вершине, а одна из сторон лежит на основании треугольника».
— Скряга! — укорил его Фило.
— Ничего, учитесь мыслить самостоятельно! Ну же, не капризничайте… Хотите, объясню вам принцип счета шестидесятеричной системы счисления?
«Нечего сказать, утешил!» — подумал Фило.
— А вы уверены, что я в состоянии это понять? — спросил он довольно кисло.
Мате скорчил гримасу, означающую: «На глупые вопросы не отвечаю», — и приступил к объяснениям.
— Для сравнения возьмем какое-нибудь число, записанное в нашей, десятичной, системе, ну хоть 2324. В этом числе каждый последующий разряд, начиная справа, больше предыдущего в десять раз. Значит, число это можно записать так:
2 х 1000 + 3 х 100 + 2 х 10 + 4 х 1,
а это не что иное, как:
2 х 103 + 3 х 102 + 2 х 101 + 4 х 100
В шестидесятеричной системе каждый последующий разряд больше предыдущего не в 10, а в 60 раз. Поэтому та же запись 2324 расшифровывается уже по-другому:
2 х 603 + 3 х 603 + 2 х 601 + 4 х 600.
А это, — Мате сосредоточенно пошевелил губами, — это составляет 442 924. Добавлю, что цифры в шестидесятеричной системе счисления пишутся на некотором расстоянии друг от друга. Вот, собственно, и всё. Ну как, постижимо?
— Пока — вполне, но в ответе на алгебраическую задачу у мессера Леонардо были еще какие-то значки…
— Не значки, а римские цифры. Так в шестидесятеричной системе записывают дробные числа. Опять-таки для сравнения возьмем какую-нибудь десятичную дробь. Например: 2,135. Что это такое? Это
2/100 + 1/101 + 3/102 + 5/103
В шестидесятеричной системе место знаменателя 10, естественно, займет другой: 60. Стало быть, если в ответе на алгебраическую задачу у мессера Леонардо было записано
10 22I 7II 42III 33IV 4V 40VI,
то читать это следует так:
1/600 + 22/601 + 7/602 + 42/603 + 33/604 + 4/605 + 40/606
Подсчитайте — и ответ Фибоначчи в десятичном счислении перед вами!
Фило испуганно отшатнулся:
— Вы что? Да я же до утра не кончу!
— Ладно, ладно, — примирительно проворчал Мате, — все уже давно подсчитано. Икс у Леонардо приближенно равен
1,368808107853.
Фило был потрясен. Вычислить иррациональный корень с таким невероятным приближением, да еще в шестидесятеричной системе!
Мате усмехнулся:
— Есть у Фибоначчи вещи и более удивительные…
— Что вы имеете в виду?
Но Мате, которому всегда нравилось разжигать любопытство приятеля, пропустил вопрос мимо ушей.
— Налить вам еще кофе? — спросил он самым светским тоном.
— Конечно, налить. Но вы не ответили на…
— Берите, пожалуйста, сахар.
— Нет, это, наконец, невежливо! — вспылил донельзя заинтригованный гость. — Клянусь решетом Эратосфена, вы узнали что-то в высшей степени интересное. Неужели я не заслужил…
— Успокойтесь, заслужили! — сжалился наконец Мате. — Но сперва скажите: знаете вы что-нибудь о теореме Ферма?
— Вы что, издеваетесь?
— Тогда придется вас просветить, потому что, не зная теоремы Ферма, вы ничего не поймете.
И Мате стал рассказывать.
Краса и гордость французской математики, Пьер Ферма жил в XVII веке (кстати сказать, в те же примерно годы, что и Блез Паскаль). Математика, как ни странно, не была его основным занятием: он был юристом королевского парламента в Тулузе, что, впрочем, не помешало ему сделать множество замечательных открытий и оставить громадное математическое наследие, немалое место в котором занимает так называемая великая теорема Ферма.
Теореме этой суждено было стать такой же мучительной загадкой для человечества, как и пятый постулат Эвклида, с той разницей, что пятому постулату повезло больше: вопрос этот успешно разрешен. Что же до теоремы Ферма, то ни доказать ее, ни опровергнуть возможность ее доказательства пока что не удалось никому. Но об этом после. А сейчас о самой теореме. В чем она заключается?
