Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней
Мы находимся в мире фантазий, где все, что ни пожелаешь доказать, можно доказать, и по уважительной причине любое препятствие на пути прямой дедукции может быть устранено введением нового постулата, отменяющего препятствие. Наши созидательные силы безграничны. Ничто не может препятствовать нам, потому что никогда мы не подвергнем наши выводы радикальной проверке репродуктивного опыта в мире чувств. Действительно, они выше любой подобной проверки. Наше раздумье, создание свободного разума, строго рационально вне зависимости от того, есть ли у него противоположность в повседневном мире чувственных ощущений. Если последовать за Пифагором и Эмпедоклом и высказать постулат, что только думающая часть души может открыть истину человечеству, следует поверить Платону, что наш выдуманный мир реален, а все остальное – иллюзия.
Включившись в дело порицания пифагорейцев за манипулирование своими постулатами, стоит им только наткнуться на трудности в своей дедуктивной нумерологии, следует вспомнить, что подобная практика отнюдь не редкость для современной науки. Рассмотрим простой и частый пример: амбициозный математик взялся за нерешенную задачу. Решение этой задачи станет существенным прорывом в науке. Но после нескольких месяцев тяжелого труда он устанавливает, что реальная задача выше его сил. Поэтому он возвращается в самое начало, вносит едва заметное изменение в одно из данных условий задачи, которое блокировало каждый его шаг, и дальше продолжает без проблем. Он затем пытается убедить себя, что легкая задача, которую он решил, есть не менее значительный вклад в науку, чем та сложная, от решения которой он отказался. Чтобы не вызывать негативной реакции ссылкой на конкретные примеры современности, вернемся к первым великим мастерам в искусстве подмены трудного легким.
Дабы закруглиться с нумерологией Пифагора по вопросам брака, обратимся к детям. Сейчас почти каждый, кто манипулирует числами, сталкивается с замечательными особенностями 6 – числа женского замужества, совсем как пифагорейцы наткнулись на него в начале своей деятельности: 6 = 1 + 2 + 3. Но 1, 2, 3 есть числа меньше 6, на которые оно делится без остатка, и число 6 есть сумма всех своих делителей, которые все меньше его. По этой причине пифагорейцы нарекли число 6 совершенным числом. Такие числа встречаются очень редко, и их трудно отыскать, и до сих пор неизвестно, существует ли нечетное совершенное число. Следующее после 6 совершенное число 28, потому что 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, и 1, 2, 4, 7, 14, все они являются делителями 28, меньшими, чем само число 28, следующее число 496; за ним 8128.
В совершенстве 6 = 1 + 2 + 3 Пифагор видел временно мужскую 1, соединенную с постоянно женской 2 и вечно мистической 3 в совершенном браке. Почему 3? Потому что 3 первое, самое привычное и самое распространенное из всех неисчислимых троиц, которое доминирует в религиях с самого возникновения истории, в частности: человеческая троица, состоящая из отца, матери и ребенка, – 1, 2, 3. Но это не все. Ребенок есть результат единения отца и матери: 3 = 1 + 2. Все это, без сомнения, просто фантазии, до тех пор пока мы отрицаем их пафос. Число 3 символизирует вечную троицу, и трогательно сознавать, что ранние нумерологи, видимо, наделяли временную человеческую радость стабильностью, которую они хотели бы видеть в ней.
К слову сказать, число 3, являющееся первым мужским числом, может быть мужчиной. В мужчине по этой причине проявляется нечто божественное, поскольку число 3 – это и Святая троица. Таков пример дедукции, обнаруживаемый в раннехристианской нумерологии. Пифагорейцы пришли к еще более занимательному выводу, связанному с отождествлением числа 3 с человеком. Ничто в человеческом опыте не бывает более бесспорным, чем печальный факт, что жизнь человека проходит три фазы: юность, зрелость и смерть. А число 3 – единственное число, в котором начало и конец даже равны средней части: 3 = 1 + 1 + 1. Итак, мужчине уготовано судьбой родиться, мужать и умереть, что точно соответствует числу 3, которым он и является. Даже Аристотель, при всем своем практичном превосходстве над вводящими в заблуждение пифагорейцами, клюнул на приманку нумерологии в своем трактате «Поэтика», как и во многом другом. Его требование, чтобы трагедия состояла из трех частей: вступления, основной части и финала, – есть проявление чистейшей воды нумерологии. Так сказал сам учитель!
Совершенство 28 значительно выше, чем совершенство 6 с позиции космической истинности, но следует при этом кое-что учитывать. Неделя состоит из 7 дней, 14 – две недели, а 28 – лунный месяц, 1 и 2 – мужчина и женщина или Бог и женщина, 4 – справедливость, а 7 – «чистое число», обозначенное так потому, что 7 не создает чисел внутри декад ни путем умножения, ни путем деления, являясь суммой 1, 2 и 4. И так далее. Почти что «сущее»: от человека до луны справедливо (четверливо) одно совершенство.
В своем обзоре древней нумерологии Аристотель заметил, что «справедливость стала одной комбинацией чисел, образованность и мудрость – другой, возможность – третьей и т. д.».
Мы видели, как число 4 означает справедливость. Было бы интересно взглянуть на понятия «мнение» и «знание». Хотя Аристотель специально не упоминает их, они сродни абстракциям в его изложении. Многое из того, о чем Платон и Сократ (говорящий то, что Платон вложил в его уста) говорили по поводу мнения и знания, было позаимствовано у первых нумерологов.
Наше знакомство с лабиринтом философской арифметики началось с двойной двери Ограниченного и Безграничного – тех мистических абстракций, которым суждено было стать альфой и омегой метафизики от Платона до Гегеля и математики от Пифагора до Кантора, жившего в 1845–1918 годах основателя современной теории математической бесконечности.
Нечетные числа в пифагорейской нумерологии ограничены, конечны и детерминированы, даже числа, не подпадающие под эти мужские качества решимости. Значения технических терминов в данной работе отличны от тех значений, которые употребимы в наши дни. Так, «конечный» означает имеющий границы, или завершение, а «бесконечный» означает неограниченный, незавершенный. И «конечный» и «бесконечный» встречаются в современной математике с такими же дефинициями, но они не соответствуют этим терминам в пифагорейской нумерологии и даже близко не напоминают вложенный в них смысл.
В пифагорейской попытке дать рациональное знание «конечность» нечетных чисел и «бесконечность» четных чисел отражают два элементарных понятия, тривиальные для нас. Нечетное число 5, например, может быть представлено в виде суммы двух равных чисел и единицы, а единица может быть расположена в центре равенства: 5 = 2 + 1 + 2. То же самое справедливо для 7 = 3 + 1 + 3, при этом общее нечетное число можно записать как n + 1 + n. Созидательная Единица, 1, «ставит рубеж», или «ограничивает» два равных числа. Аналогичное разделение мужских чисел женским числом 2 невозможно, поскольку нечетное число, деленное на 2, дает остаток (1/2), не являющийся целым числом. Следовательно, с точки зрения нумерологии женское число может разделить два мужских, но никогда одно.
Четное число, наоборот, не ограничено в своей внутренней структуре божественно созидательной Единицей. 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3;…2n = n + n. Следовательно, женские числа могут быть разделены наименьшим из них (2) на 2 целых числа. Возможная скрытая особенность состоит в применении «ограниченного» и «безграничного», которые будут рассмотрены в следующем разделе, где будет показано, что «линия» есть понятие, «ограниченное» своими концами, которыми выступают точки, а точка есть 1.
Из всего сказанного напрашивается вывод, что ограниченные нечетные числа пригодны для определения «постоянного» и «знаний», в то время как неограниченные четные числа могут выражать себя только через «непостоянное мнение». В подробности доказательства лучше не вдаваться.
Далеко не все в нумерологии «ограниченного» столь наивно, как в приведенном примере. Если «все сущее есть число», как утверждал Пифагор, должна быть возможность доказать, что весь космос есть число. Пифагорейцы довели это доказательство до конца в наиболее гениальной форме применения своей теории ограниченного. Их решение проблемы пространства стало ранней попыткой дать последовательный разбор размерности. Что означают слова: конкретное пространство имеет один размер, или два, или три? Удовлетворительный ответ, пригодный для любого пространства (ограниченного или безграничного) числа размерностей, был найден только в 1920-х годах. Хотя пифагорейское решение проблемы пространства давным-давно исчезло из разумного восприятия математиков, Пифагор и его ученики заслуживают признания за то, что занялись этой гениальной проблемой. Не искажая значения слова слишком вольно, беспристрастный критик может заявить, что даже при полной ошибочности их решения оно было рационально. То решение оказалось важным шагом для определения четырех материальных элементов с числами и геометрическими фигурами. Перейдем к нумерологическому доказательству, что космос есть число.
