Gustavo Pineiro - Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.
Как мы увидели, аксиомы Цермело — Френкеля (речь только об этих конкретных аксиомах, потому что они чаще всего используются) позволили наконец решить проблему парадоксов теории множеств, расчистив путь для программы Фреге по обоснованию математики на понятиях множеств. Его попытался возобновить Рассел, но безуспешно. Целью Бурбаки было завершить проект Фреге. Для этого на первом собрании в 1935 году математики договорились написать серию томов под названием «Начала математики», каждый из которых был бы посвящен отдельной области этой науки. В каждой книге разбираемые понятия рассмотрены с максимально возможной логической строгостью, чтобы создать устойчивую базу для дальнейшего развития. Так или иначе, основой этих определений была теория множеств.
На сегодняшний день из-под пера Бурбаки вышло более дюжины томов. Несмотря на критику слишком сухого стиля, они имели и продолжают иметь огромное влияние на установление логических основ современной математики. С другой стороны, хотя сочинения Бурбаки должны были стать базой для работы других ученых — исследователей, которые создают и открывают новые понятия и теоремы, — их влияние распространилось и на преподавание математики, особенно во второй половине XX века, посредством так называемой «современной математики».
НИКОЛЯ БУРБАКИСогласно вымышленной биографии, Николя Бурбаки был генералом французской армии греческого происхождения. Уйдя в отставку, он якобы посвятил себя изучению математики и жил в несуществующем городе Нанкаго: скорее всего, это название является комбинацией городов Нанси во Франции и Чикаго в США, так как некоторые создатели Бурбаки были тесно связаны с тамошними университетами. «Николя Бурбаки» — это коллективный псевдоним, который избрала себе в середине 1930-х годов группа математиков, в основном французских.
Считается, что они выбрали его отчасти в шутку, отчасти чтобы не подписывать длинным списком фамилий работы, сделанные несколькими учеными.
Несмотря на то что почти все члены группы стремились сохранить в тайне свою принадлежность к ней, сейчас нам известно, что под псевдонимом Бурбаки скрывались от 10 до 20 участников, а среди создателей группы были такие известные французские математики, как Андре Вейль (1906-1998), Жан Дьедонне (1906-1992) и Клод Шевалле (1909-1984).
Портрет вымышленного генерала Николя Бурбаки.
В то время в рамках этого направления было предложено преподавать все математические понятия исходя из идей теории множеств, даже в начальной школе (что вызвало прямо противоположные мнения). Однако это педагогическое течение утратило почти весь свой авторитет и полностью заброшено.
И тем не менее теория множеств жива и прекрасно себя чувствует. Как и задумывали Кантор, Дедекинд и Фреге и благодаря работе Бурбаки, сегодня она стала основой всей математики.
Список рекомендуемой литературы
Bell, Е.Т., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.
Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza, 1996.
Bunch, B.H., Matemdtica insolita (Paradojas у paralogismos), Mexico, Reverte, 1997.
Cantor, G., Fundamentes para una teoria general de conjuntos (Escritos у correspondencia selecta), edicion de Jose Ferreiros; Barcelona, Critica, 2006.
Hawking, S. (compilador у comentarista), Dios creo los ndmeros (Los descubrimientos matemdticos que cambiaron la historia), Barcelona, Critica, 2010.
Kasner, E., Newman, J., Matemdticos e imagination, Barcelona, Salvat, 1994.
Lavine, S., Comprendiendo el infinite, Mexico, Fondo de Cultura Economica, 2005.
Martinön, A. (compilador), Las matemdticos del siglo xx (Una mirada en 101 articulos), Madrid, Nivola, 2000.
Odifreddi, P., La matemdtica del siglo xx, Madrid, Katz Barpal Editores, 2006.
Smullyan, R., Satan, Cantor у el infinito, Barcelona, Gedisa, 1995.
Stewart, I., Historia de las matemdticos, Barcelona, Critica, 2008.
Указатель
Acta Mathematica 94-96, 114
ZF 154, 158
аксиомы Цермело — Френкеля 154, 156, 160
алеф 122, 123
Аристотель 8-10, 24-28, 31, 33, 38, 54, 79, 86
арифметика
ординальная 128
трансфинитная 123-126
Архимед 77
бесконечность
актуальная 9-11, 20, 23-28, 36, 38-40, 42, 56, 68, 72- 73, 90, 91, 102, 106, 142
потенциальная 9, 10, 20, 23-26, 36, 42, 69, 72, 98, 99, 102, 105, 106
Больцано, Бернард 10, 92
Борель, Эмиль 116, 117
Борхес, Хорхе Луис 31, 122
Бурали-Форти, Чезаре 144, 145, 152
Бурбаки, Николя 160-162
Вейерштрасс, Карл Теодор Вильгельм 13, 19, 37, 37, 43, 47, 54, 55, 69, 82-83
взаимно однозначное соответствие 38-40, 41, 45-48, 51, 54, 60, 62, 65-69, 127, 129-132
Галилей, Галилео 10, 27, 28-31, 37-39, 54
Гейне, Генрих Эдуард 36, 93, 95, 99, 100, 103, 104
Гедель, Курт 154, 158, 159
Гильберт, Давид 44, 102, 115, 116, 118, 143-145
отель Гильберта 44
Гутман, Валл и 13, 37
Дедекинд, Рихард 13, 17, 18, 26, 37, 40, 43, 47, 59-61, 69, 78, 82, 84, 89-94, 106, 118, 119, 123, 143, 148, 150, 162
дедекиндово сечение 92
пересечения 119
диагональный метод 13, 48-51, 54, 130
Евклид 148, 149
единственность 99, 100, 102— 104
исчисление 17, 35, 57, 70, 78, 82-86, 96, 101, 105, 116, 118, 134, 144, 148
Кавальєри, Бонавентура 77
квадратура круга 52, 54
Конгресс математиков международный
в Гейдельберге (1904) 147
в Париже (1900) 116
в Цюрихе (1897) 143
континуум 100, 147
гипотеза 67-69, 108, 116, 122, 135, 158
проблема 91, 100
Коэн, Пол 159
Крелле журнал 37, 69, 70, 72, 75
Кронекер, Леопольд 13, 19, 20, 70-73, 75, 85, 94, 121
Лебег, Анри 116, 117
Лейбниц, Готфрид Вильгельм фон 12, 17, 77-81, 98, 99
Линдеманн, Карл Луис Фердинанд фон 54, 72
Лиувилль, Жозеф 53, 72, 85
Миттаг-Леффлер, Геста 98-100
множество 13, 37, 38, 42, 44, 54, 60, 62, 66-71, 75, 91, 93-95, 98, 106-108, 110-112, 114, 115, 123, 124, 139, 159- 160
абсолютное 142
бесконечное 33, 67, 72, 73, 86, 95, 156
доступное 144
конечное 11, 111, 124
недоступное 144, 158
несчетное 89, 112, 130
ординальных чисел 124, 152
производное 105, 106
пустое 107, 119, 129, 130, 156
своих частей 156
счетное 85, 95, 111, 112, 122, 124, 136
теория множеств 17, 77, 93, 95, 98, 107, 124, 126, 128, 142, 143, 158-160, 162
трансфинитное 13, 122, 146
троичное 133
универсальное 142, 143, 152, 156, 157
эквивалентное 38, 40, 44, 47, 48, 51, 52, 60, 63, 64, 67, 69, 71, 89, 124, 125, 130, 131-133
Нейман, Джон фон 158
Ньютон, Исаак 17, 77, 80, 81
омега прописная (Ω) 123
омега строчная (ω), 12, 124
ординальные числа И, 12, 91, 122, 128, 134, 136, 140-142, 149, 152
второго класса 122-125, 134, 135, 141
первого класса 122-125, 141
третьего класса 122-125, 141
парадокс 9, 10, 26, 30, 40, 80,
89, 96, 102, 103, 115, 141- 146, 148, 151, 154, 158, 160
Аристотеля 86
Бурали-Форти 152, 157
Галилея 39
Зенона 8
Кантора 135, 136, 152, 157
ординальных чисел 141, 144
Рассела 15590, 152, 154, 157
платонизм 158-167
последовательность 47, 51, 53, 69, 72, 84, 89, 105, 106, 107, 119, 123, 127, 140
фундаментальная 87, 88, 89
Пуанкаре, Анри 69, 116, 117
разложение на тригонометрические ряды 103, 105, 108
Рассел, Бертран 61, 94, 137, 150-154, 160
Риман, Георг Фридрих Бернхард 78, 104
Святой Августин 27
теорема Кантора 143
теория МК 158
NBG 158
теория множеств (см. также Множество)
тригонометрические ряды 87, 90, 99, 100, 103, 104, 105, 107, 108
формализм 158-159
Фреге, Готлоб 148-152, 153, 160
Френкель, Абрахам 154, 156, 160
Фурье, ряды {см. также Тригонометрические ряды) 100, 103-105, 108
Фурье, Жозеф 103
Цермело, Эрнст 154, 156, 160
число
алгебраическое 13, 37, 51—55, 57, 67, 75
вещественное 13, 48-51, 54, 55, 59, 60, 62-64, 66- 69, 71, 82-86, 96, 106, 105-109, 116, 118-119, 122, 123, 130-132, 147, 148
иррациональное 35, 48, 52, 81, 89, 106, 116, 126
квадратное 30, 37-40
рациональное 40-42, 44-49, 52-55, 67, 72, 85, 89, 94, 106, 107, 118, 119, 126, 147, 148, 151
трансфинитное 141
трансцендентное 52-55, 67-72
целое 41, 42, 44-46, 48, 49, 52, 53, 55, 56, 67, 68, 73, 75, 94, 95
Георг Кантор первым среди ученых начал с математической точностью исследовать бесконечность, представлявшую философский интерес. Его новаторский подход к математике воплотился в теории множеств, он сформулировал противоречащие интуиции понятия разных видов бесконечного. До работ, которые были изданы ученым в конце XIX века и стали фундаментальным вкладом в науку, бесконечность, следуя восходившей к Аристотелю научной традиции, понималась как полезная условность. Смелость Кантора стоила ему дорого: его идеи были жестко отвергнуты многими современниками, что, вероятно, послужило причиной его душевной болезни и преждевременной кончины.
