Майкл Шермер - Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы

Все еще держа в памяти слово Fisher, посчитайте квадрат числа 792, используя метод возведения трехзначных чисел в квадрат (округление в большую и меньшую стороны на 8 и т. д.), чтобы получить 627 264. Наконец, прибавьте 627 к Fisher, то есть к числу 864, и получите 1491. Так как мы уже сделали перенос единицы в разряд миллионов, отбросьте первую 1 у числа 1491 и произнесите: «…491 тысяча 264».

Иногда я забываю последние три цифры ответа, поскольку мой мозг полностью поглощен большими вычислениями. Поэтому, перед тем как выполнить итоговое сложение, я сохраняю цифру 2 (из числа 264) на пальцах и стараюсь запомнить 64, что обычно сделать нетрудно, потому что мы имеем склонность к запоминанию того, что слышали недавно. В случае же неудачи я могу восстановить последние две цифры путем возведения в квадрат последних двух цифр исходного числа, то есть 922 = 8464. Последние две цифры этого числа и есть те самые последние две цифры 64. (В качестве альтернативы можно преобразовать число 264 в фонетический код.)

Я сознаю, что процесс вычисления квадрата 46 7922 довольно громоздкий. Представляю вам схему того, как я возводил это число в квадрат:

Рассмотрим другой пример на возведение пятизначного числа в квадрат: 83 5222.

Как и прежде, вычисляем ответ в таком порядке:

83 х 522 х 2000, 832 х 1 миллион, затем 5222.

В первой задаче обратите внимание на то, что 522 имеет делитель 9. Значит, 522 = 58 х 9. Раскладывая 83 как 80 + 3, получим:

Результатом удвоения 43 326 будет число 86 652, что можно запомнить как 86 Julian. Поскольку 832 = 6889, мы можем произнести: «Шесть миллиардов…»

Сложение 889 + 86 = 975. Прежде чем произнести «975 миллионов», мы проверяем, не приведет сумма Julian (652 000) и квадрата 5222 к переносу единицы в разряд миллиардов.

Приблизительно оценив 5222 как 270 000 (500 х 540), убеждаемся, что переноса не будет. Поэтому можно спокойно сказать: «…975 миллионов…».

Наконец, возведение в квадрат 522 обычным способом приведет к числу 272 484, а его сложение с числом Julian (652 000) даст последнюю часть ответа: «…924 484».

В виде схемы решение данной задачи выглядит следующим образом:

УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ПЯТИЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

1. 45 7952 2. 21 2312 3. 58 3242

4. 62 4572 5. 89 8542 6. 76 9342

Задачи на умножение типа «3 на 3» будут последним барьером на пути к грандиозному финалу в виде умножения «5 на 5».

Здесь, как и в случае с задачами типа «3 на 2», существует многообразие методов, которые могут быть использованы для упрощения процесса умножения.

Метод разложения

Начнем с метода разложения. К несчастью, большинство трехзначных чисел не раскладывается на множители в виде отдельных цифр, но если разложение найдется, процесс вычисления будет не таким уж и сложным.

Обратите внимание на последовательность действий. Путем разложения 288 на 9 х 8 х 4 мы упрощаем задачу «3 на 3» (829 х 288) до «3 на 1 на 1 на 1». Далее она превращается в «4 на 1 на 1» (7461 х 8 х 4) и, наконец, в «5 на 1» для получения итогового ответа 238 752. Прелесть данного решения состоит в отсутствии каких-либо действий на сложение и в том, что ничего не нужно хранить в уме. Добравшись до задачи типа «5 на 1», мы оказались в одном шаге от окончательного ответа.

Задачу типа «5 на 1» можно решить в два действия, если представить 59 688 как 59 000 + 688, а затем сложить результаты задач «2 на 1» (59 000 х 4) и «3 на 1» (688 х 4), как показано ниже.

Если оба трехзначных числа можно разложить на «2 на 1», то задача «3 на 3» упрощается до «2 на 2 на 1 на 1», как в следующем примере.

Как обычно, лучше сразу избавиться от трудного элемента задачи, то есть от умножения типа «2 на 2». Как только вы это сделаете, задача будет сведена к «4 на 1», а затем к «5 на 1».

Очень часто бывает так, что раскладывается только один из сомножителей. В таком случае задача сводится к умножению типа «3 на 2 на 1», как в этом примере:

Следующая задача «3 на 3» в действительности просто замаскированная задача типа «3 на 2».

Путем удвоения 435 и уменьшения 624 наполовину получаем эквивалентную задачу.

Метод совместной близости

Вы готовы к чему-нибудь попроще? Следующий прием, который был представлен еще в главе 0, основан на такой алгебраической формуле:

(z + a)(z + b) = z

2 + za + zb + ab

Переписываем ее:

(z + a)(z + b) = z(z + a + b) + ab

Эта формула справедлива при любых значениях z, a и b.

Мы будем пользоваться ею всякий раз, когда трехзначные числа, которые нужно перемножить (z х a и z х b), находятся близко к легкому числу z (типичный случай, когда число z имеет большое количество нулей). Например, умножим

Будем рассматривать эту задачу как (100 + 7) х (100 + 11).

Задав z = 100, a = 7, b = 11, наша формула даст:

100 (100 + 7 + 11) + 7 х 11 = 100 х 118 + 77 = 11 877.

Я схематически изобразил решение так:

Числа в скобках равны разностям между исходными числами и нашим подходящим «базовым числом» (здесь z = 100).

Число 118 получено путем сложения 107 + 11 или 111 + 7. По законам алгебры, эти суммы эквивалентны, так как (z + a) + b = (z + b) + a.

На этот раз без лишних слов решим еще один «ускоренный» пример:

Метод работает великолепно!

Теперь немного повысим ставки и возьмем большее базовое число.

Хотя данный метод, как правило, используется для умножения трехзначных чисел, его также можно применить для задач типа «2 на 2».

Здесь базовое число 70 умножается на 81 (78 + 3). В таких задачах даже действие на сложение обычно очень простое.

Этот метод также применим, когда оба числа меньше базового. Как, например, в следующей задаче, где оба числа меньше 400.

Число 383 получено путем вычитания 396 — 13 или 387 — 4.

Данный метод также можно использовать и для задач типа «2 на 2», таких как следующие.

В следующем примере базовое число по величине находится между перемножаемыми числами.

Число 409 получено в ходе операций 396 + 13 или 413 — 4.

Обратите внимание, что, поскольку числа –4 и 13 имеют противоположные знаки, из результата умножения необходимо вычесть 52.

Поднимем ставки еще выше, до уровня, где второе действие требует умножения типа «2 на 2».

Здесь обратите внимание на то, что первое действие в задаче (600 х 658) является хорошей оценкой ответа. Но наш метод позволяет перейти от оценки к точному ответу.

Обратите также внимание, что во всех примерах сумма чисел, которые мы перемножаем в первом действии, такая же, как и исходные числа. Например, в задаче выше 900 + 829 = 1729, как и 876 + 853 = 1729. Это следует из равенства:

z + [(z + a) + b] = (z + a) + (z + b)

Поэтому, чтобы получить число, которое надо умножить на 900 (оно будет в диапазоне «800 плюс»), нужно всего лишь взглянуть на последние две цифры суммы 76 + 53 = 129, чтобы вышло 829.

В следующем примере сложение 827 + 761 = 1588 подсказывает, что нужно перемножить 800 х 788, а затем из полученного результата вычесть произведение 27 х 39.

Этот метод настолько эффективен, что если задача типа «3 на 3», над которой вы думаете в настоящий момент, состоит из чисел, далеких друг от друга, то иногда можно видоизменить ее путем деления одного и умножения другого числа на одинаковое число (тем самым сблизив сомножители по величине). Например, задачу 672 х 157 можно решить следующим образом.

Когда перемножаемые числа одинаковы, метод совместной близости генерирует такие же вычисления, как и в традиционном методе возведения в квадрат.

Метод сложения

Когда ни один из предыдущих методов не работает, я ищу возможность использовать метод сложения, в особенности если первые две цифры одного из трехзначных чисел просты в разложении. Например, в нижеприведенном примере 64 (первые две цифры числа 641) раскладывается как 8 х 8, поэтому я его решаю следующим образом.