Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон
Фуше де Карейль, изучавший наследие Декарта в XIX веке, знал из писем Лейбница о том, что тот скопировал пропавшие впоследствии рукописи Декарта. В 1860 году он искал эти документы в хорошо организованном собрании трудов Лейбница в Ганноверской королевской библиотеке, но не нашел. Однако фортуна оказалась к нему благосклонна, и он обнаружил пыльную кипу неизвестных и некаталогизированных бумаг, принадлежащих Лейбницу, в каком-то позабытом шкафу. Именно в этой кипе де Карейль отыскал копию работы «Об элементах геометрических тел».
Как и все изучавшие многогранники до него, Декарт принял метрический подход. Во многих его формулах встречаются величины углов. Но, в отличие от своих предшественников, он, как и Эйлер сто лет спустя, подошел к многогранникам с комбинаторной точки зрения: он подсчитывал признаки многогранника и выводил алгебраические соотношения между ними. Если Эйлер считал вершины, ребра и грани и обнаружил формулу V — E + F = 2, то Декарт считал вершины (которые, как и Эйлер, называл телесными углами), грани и плоские углы.
В своих заметках Декарт привел много фактов, касающихся многогранников. Он не дал полных доказательств, но нетрудно видеть, как одни формулы логически вытекают из других. Первая важная теорема обобщала на многогранники хорошо известный для многоугольников результат: сумма внешних углов равна 360°. Мы подробно обсудим этот результат, который теперь называется формулой Декарта, в главе 20. Он также дал, вероятно, первое алгебраическое доказательство того, что платоновых тел всего пять.
Завершалась работа следующим равенством, связывающим количество граней, вершин и плоских углов (соответственно F, V и P):
P = 2F + 2V — 4.
Именно из-за этого открытия некоторые ученые считают, что формула Эйлера должна носить имя Декарта. Нужно просто заметить, что число плоских углов многогранника в два раза больше числа ребер (например, у куба 24 плоских угла и 12 ребер). Поэтому если имеется E ребер, то плоских углов будет P = 2E. Подстановка 2E вместо P дает 2E = 2F + 2V — 4. Осталось поделить на два, изменить порядок членов — и мы получим знакомую формулу для многогранников.
Возникает вопрос: действительно ли Декарт открыл формулу Эйлера? Если да, то не должна ли она носить его имя? После обнаружения заметок Декарта вспыхнул спор, который не утихает и по сей день. Признанные математические авторитеты расходятся в этом вопросе. Даже сегодня встречаются книги, в которых решительно утверждается, что Декарт открыл — или, наоборот, не открыл — эту формулу раньше Эйлера. Разумеется, следует помнить о словах выдающегося философа Томаса Куна (19221996): «Тот факт, что он [вопрос о приоритете] поставлен… есть симптом какого-то искажения образа науки, которая отводит открытию такую фундаментальную роль»73.
Эрнест де Жонкьер (1820–1901), один из первых и самых пламенных защитников приоритета Декарта, предложил назвать теорему формулой Декарта-Эйлера. В 1890 г. он писал: «Невозможно отрицать, что он ее знал, поскольку она выводится так прямо и так просто, можно сказать интуитивно, из двух теорем, которые он только что сформулировал»74. Сторонники Жонкьера говорят, что формула с такой очевидностью вытекает из работы Декарта, что либо он знал об этом соотношении, либо был настолько близок к открытию теоремы, что она должна носить его имя. Они считают, что если бы Декарт подготовил рукопись к публикации, то сформулировал бы теорему в более привычном для нас виде. Кроме того, даже если Декарт не знал точной формулы, он доказал теорему, логически эквивалентную формуле Эйлера. Он и Эйлер просто выбрали разные признаки для подсчета. В наши дни формулу для многогранников не так уж редко называют формулой Декарта-Эйлера.
Удивительно, сколько споров связано с понятием ребра многогранника, которое, как мы уже говорили, было введено Эйлером. Для нас этот признак очевиден, но во времена Декарта у него не было названия. Для него ребро многогранника был просто стороной одной из многоугольных граней; ребра служили для образования углов — и только. Чтобы придать привычный вид формуле Эйлера, Декарту нужно было придумать понятие ребра.
Те, кто не признает за Декартом предвидения формулы Эйлера, говорят, что включение в нее ребер принципиально важно. Как мы уже отмечали, Эйлер осознавал, что истинный смысл теоремы состоит в том, что она связывает нульмерные объекты (вершины), одномерные объекты (ребра) и двумерные объекты (грани). Впоследствии обобщенная формула Эйлера стала важной теоремой в топологии. Топологи не остановились на двумерных гранях. В главах 22 и 23 мы увидим, что Пуанкаре и другие обобщили формулу Эйлера на объекты любой размерности.
Все согласны, что Декарт подошел очень близко, и все же он не сделал последний важный шаг. Плоские углы — не те объекты, которые должны стоять в одном ряду с гранями и вершинами. Для получения правильной формулировки необходимо было ввести понятие ребра. В ответ тем, кто заявляет, что Декарт наверняка знал о связи с ребрами, критики указывают, что даже самые талантливые математики могут не заметить очевидных следствий из собственной работы. После внимательного изучения рукописи математик Анри Лебег писал: «Декарт не сформулировал теорему; он ее не увидел»75.
Широко распространено ошибочное мнение, будто объекты в математике называются в честь своих первооткрывателей, а если это не так, значит, налицо чуть ли не плагиат или фальсификация истории. По такому стандарту Эйлера уязвляли неоднократно, потому что многие его открытия носят имена других людей (есть расхожая острота — «математические объекты называют в честь первого человека, открывшего их после Эйлера»). Несть числа примерам (даже в этой книге) математических объектов, названных не по имени первооткрывателя, а в честь кого-то, внесшего важный вклад в предмет, — быть может, того, кто первым осознал важность открытия. Кун замечает, что, как в данном примере, не вполне понятно, кому принадлежит приоритет открытия. «Вот почему мы так охотно соглашаемся с тем, что процесс открытия, подобно зрению или осязанию, столь же определенно должен быть приписан отдельной личности и определенному моменту времени. Но открытие невозможно приурочить к определенному моменту; часто его нельзя и точно датировать… Открытие предполагает осознание и того, что произошло, и того, каким образом оно возникло»76. (Вспомните замечание Уотерхауса о том, что правильные тела ничем не выделялись, пока Теэтет не увидел то общее, что их связывает».)
Открыл ли Декарт формулу Эйлера раньше — спорный вопрос. Но поскольку работа Декарта не была опубликована и поскольку он не нашел
