Энрике Грасиан - Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике

Джованни  Баттиста  Гуччиа

* * * 

Основной  целью  математических  сообществ  был  максимальный  охват  территории,  регулярное  издание  математических  журналов  и  предоставление  необходимых для  их  распространения  средств.  Однако  время  показало,  что  без  поддержки  официальных  учреждений  решить  эти  задачи  невозможно.  Научные  сообщества  неизбежно  попадали  под  определенное  влияние  общества  и  политических  элит,  так  как они  стали  частью  культурной  идентичности  государств.  С  одной  стороны,  правительственная  поддержка  научных  сообществ  очень  важна,  с  другой  —  международное  научное  сотрудничество  могло  оказаться  под  угрозой  по  политическим  причинам.  Кроме  того,  органы,  контролирующие  допуск  работ  в  печать,  могли  быть не  так  объективны,  как  этого  хотелось  ученым.  Время  показало,  что  математические сообщества  препятствуют  публикации  некоторых  новаторских  работ,  которые  нарушают  установленные  каноны,  не  всегда  имеющие  отношение  непосредственно  к  науке.  Показательно,  что  две  трети  всех  статей  по  математике,  вышедших  в  1900  году, были  опубликованы  не  в  математических  журналах.

 Среди  первых  научных  сообществ,  которые  начали  появляться  уже  в  середине  XIX  века,  наиболее  важными  (в  порядке  появления)  были  Московское  математическое  общество  (1864),  Лондонское  математическое  общество  (1865), Французское  математическое  общество  (1872),  математический  кружок  Палермо (1884),  Американское  математическое  общество  (1888),  Немецкое  математическое  общество  (1890).

  * * *

НЕОСМОТРИТЕЛЬНЫЙ  МАТЕМАТИК

 Научный  журнал,  созданный  Генри  Ольденбургом  в  1665  году,  издается  до  наших  дней.  Его издание  прерывалось  только  дважды:  в  первый  раз  -  из-за  эпидемии  чумы  в  Лондоне,  во  второй  раз  -  из-за  болезни  Ольденбурга,  все  свое  время  посвящавшего  работе.  Его  энтузиазм был  так  велик,  что  каждую  неделю  он  писал  для  журнала  пять  колонок.  Ольденбург  считал,  что наука  не  знает  границ,  поэтому  продолжал  публиковать  свои  статьи  даже  во  время  войны. Но  в  те  времена  это  было  очень  неосмотрительно,  и  Ольденбург  на  три  месяца  был  заключен в  Лондонский  Тауэр.

 Кронекер  как-то  сказал:  «Бог  создал  первые  десять  чисел,  все  остальное  создал человек»,  выразив  тем  самым,  сколь  велика  заслуга  математики.  По  его  мнению,  все в  математике  должно  было  строиться  из  известных,  четко  определенных  элементов и  за  конечное  число  этапов.  Иными  словами,  Кронекер  не  хотел  ничего  слышать об  актуальной  бесконечности.  Как-то  раз  он  заявил,  что  от  бесконечности  следует отказаться  как  от  «...пагубной  бессмыслицы,  унаследованной  от  древней  философии  и  запутанной  теологии.  Без  нее  мы  можем  достичь  всего,  чего  захотим...»

 Кронекер  был  явным  последователем  финитизма,  а  также  операционизма,  в  котором  не  признаются  никакие  рассуждения,  не  подкрепленные  четко  определенными  математическими  операциями.  Он  заявил,  очевидно,  имея  в  виду  труды  Кантора, что  математике  необходим  контроль  со  стороны  признанных  ученых,  так  как  «богатый  практический  опыт  решения  полезных  и  интересных  задач  даст  математике новый  смысл  и  новый  импульс.  Однобокие  и  интроспективные  умозрительные  заключения  не  дают  плодов».

 Следует  учитывать,  что  Кронекер  был  одним  из  редакторов  журнала  Крелле, поэтому  неудивительно,  что  в  1877  году  он  отклонил  все  рукописи,  переданные Кантором  для  публикации  в  этом  журнале.  Расхождение  во  взглядах  переросло в  личную  неприязнь,  и  Кронекер  публично  назвал  Кантора  ренегатом,  шарлатаном и  совратителем  учащейся  молодежи.

 Не  будем  забывать,  что  Кантор  был  лучшим  учеником  Кронекера,  естественно, что  он  очень  болезненно  переживал  подобное  отношение  учителя  и  получил  глубокую  психологическую  травму,  от  которой  ему  так  и  не  удалось  оправиться.

 Юлиус  Вильгельм  Рихард  Дедекинд  (1831—1916),  который  родился  в  Брауншвейге  и  был  четвертым  ребенком  в  зажиточной  семье,  большую  часть  жизни  посвятил математическим  исследованиям.  Он  был  алгебраистом  и  стремился  сформировать фундаментальную  основу  анализа,  для  чего  в  качестве  базы  выбрал  множества и  отображения  множеств.

 Вейерштрасс,  Кантор  и  Дедекинд  независимо  друг  от  друга  работали  над  определением  вещественных  чисел.  Работы  Кантора  и  Дедекинда  стали  классическими   и  вошли  в  учебники.  Труды  Кантора,  в  основе  которых  лежала  теория  множеств, были  наиболее  близки  Дедекинду,  особенно  потому,  что  оба  они  работали  над  большой  темой  непрерывности  пространства,  носившей  больше  философский,  нежели математический  характер.  И  Кантор,  и  Дедекинд  утверждали,  что  доказать  непрерывность  пространства  абсолютно  невозможно.  Максимум,  что  можно  сделать,  — это  принять  гипотезу  о  непрерывности  пространства  в  качестве  постулата.

 На  этой  памятной  марке,  выпущенной  в  честь  Дедекинда, справа  изображена  формула  разложения  числа на  простые  множители.

 В  1872  году,  находясь  на  отдыхе  в  Швейцарии,  Кантор  познакомился  с  Дедекиндом  —  одним  из  немногих  математиков  того  времени,  если  не  сказать  единственным,  с  которым  он  поддерживал  близкие  отношения,  основанные  на  взаимном доверии  и  уважении.  Рождение  теории  множеств  можно  четко  проследить,  если  ознакомиться  с  их  перепиской  в  1874—1884  годах.  Любопытно,  что  в  большинстве наиболее  важных  статей  Дедекинд  почти  не  использует  понятие  «множество»:  он считал,  что  Кантор  уже  совершил  наиболее  важные  открытия  в  этой  области,  поэтому  больше  внимания  уделял  понятию  отображения.

В  1881  году  на  кафедре  математики  Университета  Галле  освободилась  должность преподавателя,  и  Кантор  предложил  кандидатуру  Дедекинда,  написав  в  Министерство  образования  письмо,  в  котором  подчеркнул  положительные  качества  своего друга.  Однако,  несмотря  на  настойчивые  просьбы  Кантора,  Дедекинд  отказался от  этой  должности  —  у  него  совершенно  отсутствовали  какие-либо  амбиции  и  желание  занять  высокое  место  в  научных  кругах.  В  течение  тридцати  лет  Дедекинд  преподавал  в  Карловском  коллегиуме,  где  работали  его  отец  и  дед.  К  тому  же  чиновники  министерства  отдали  должность  преподавателю,  рекомендованному  Кронекером.

 В  результате  отношения  между  Кантором  и  Дедекиндом  остыли,  и  переписка  между ними  прекратилась  на  семнадцать  лет.  Лишь  в  1899  году  по  инициативе  Кантора ученые  вновь  начали  общаться.

 В  то  самое  время,  когда  отношения  между Кантором  и  Дедекиндом  прекратились, на  горизонте  появилась  новая  личность,  которой  суждено  было  получить  признание в  научном  мире  и  поддержать  Кантора в  один  из  тяжелейших  периодов  его  жизни.

 Этим  человеком  был  Магнус  Гёста  Миттаг-Леффлер  (1846—1927)  —  математик шведского  происхождения,  известный не  собственными  открытиями,  а  прежде  всего  благодаря  распространению  трудов  других  великих  математиков.  Брак  с  богатой наследницей  позволил  ему  найти  необходимые  средства  для  учреждения  в  1882  году  нового  научного  журнала  Acta  Mathematica, который  завоевал  значительный  авторитет в  международном  научном  сообществе.  Кантор  и  Миттаг-Леффлер  быстро  нашли общий  язык,  и  последний  перевел  большинство  статей,  переданных  ему  Кантором.

 Магнус  Гёста  Миттаг-Леффлер на  фотографии  1916  года.

Переводом  трудов  Кантора  на  французский  и  редактированием  занялась  группа  математиков  во  главе  с  Шарлем  Эрмитом,  который,  как  мы  отмечали  в  главе  5,  разработал  доказательство  трансцендентности  числа  е,  впоследствии  улучшенное  самим  Кантором.  Публикации  в  Acta  Mathematica  сыграли  большую  роль  в  поддержке  новой  теории  трансфинитных  чисел,  однако  инцидент,  связанный  с  публикацией «Основ  теории  отношений  порядка»,  свел  все  усилия  Кантора  на  нет.  Кантор в  то  время  безуспешно  пытался  найти  доказательство  континуум-гипотезы,  но  ему не  удавалось  достичь  сколько-нибудь  значимых  результатов.  В  упомянутой  выше работе  был  дан  новый  толчок  теории  множеств,  что,  как  считал  Кантор,  должно было  упростить  доказательство.  Однако  Миттаг-Леффлер  отложил  публикацию статьи  более  чем  на  год,  ссылаясь  на  то,  что  в  ней  не  только  отсутствовало  доказательство  континуум-гипотезы,  но  и  она  непременно  вызвала  бы  негативную  реакцию  научного  сообщества:  в  работе  использовалось  понятие  трансфинитных  чисел и  новый  математический  язык,  а  также  содержались  далекие  от  математики  философские  рассуждения.  Кантор  счел  этот  инцидент,  по  его  словам,  «настоящей  катастрофой»  и  для  математики,  и  для  него  лично.  Он  усмотрел  в  этом  влияние  «черной руки»  —  так  ученый  называл  группу  берлинских  математиков  (в  их  числе  были Куммер,  Вейерштрасс  и  Кронекер),  отвергавших  его  теории.  Как  мы  уже  отмечали, с  Кронекером  Кантор  вел  крайне  ожесточенную  полемику.