Александр Гротендик - УРОЖАИ И ПОСЕВЫ
Пусть так, но это не значит, что математической мечты не бывает, или что она вдруг куда-то исчезла. Без нее наша наука стала бы бесплодной, а ведь мы знаем, что этого не случилось - наоборот. Мечта на месте, но о ней молчат, как молчат о труде, предшествующем открытию и обновлению нашего знания о мире. Эти два запрета явно сродни друг другу - а вернее всего, как мечту в математике, так и труд ученого, ею ведомый и вдохновляемый, окружает молчанием один и тот же неумолимый закон. Да что говорить: само словосочетание «математическая мечта» многие сочтут бессмыслицей. Мы так часто полагаемся на удобные, готовые клише, предпочитая их порой даже собственному опыту. А ведь он есть у каждого - непосредственный опыт общения с реальностью: совсем простой, повседневной, важной для нас.
6. Одни бегут от мечты, другие подходят к ней, вооружившись запатентованными инструментами для измерения всего и вся; разница невелика. Мечта - мечта и есть; она не отзовется на чужие имена из старых инвентарных таблиц. Но настоящей жажде познания - и это мне известно из первых рук - мечта охотно идет навстречу. Тогда она уже не медлит «принять форму», не отступает в тень, спокойно открываясь осторожному, внимательному взгляду. Ты можешь описать ее словами; задавай ей вопросы, и она сама нашепчет тебе разгадку.
Всегда простую - и полную смысла, а подчас такую, что от волнения бегут мурашки по коже. Путь в неизвестное преграждают нам, по сути, только наши призрачные страхи. Кто-то должен раскрыть нам на это глаза, убедить нас попытаться преодолеть себя. Но ведь на то и Мечтатель, живущий в каждом из нас, - великий, непревзойденный мастер. Он говорит с нами, пробуя разные языки (иногда изобретая их на ходу) - и побуждает нас сбросить нелепое оцепенение, переступить порог, отряхнуть душу от пыли. Он играет с душами, как на сцене; а какой у него реквизит - любой театр позавидует. Он использует всякие средства: от полного отсутствия каких бы то ни было сценических эффектов до самых невероятных, ослепительных фейерверков. Он всегда выходит к нам открыто, уверенно, безо всякой робости; Его задача - ободрить нас. (А ведь Его попытки - чаще всего, лишь пустая трата времени; и все-таки Он не теряет веры, не оставляет нас своей милостью.) Мечтатель живет затем, чтобы дать нам силы справиться с предрассудками - да просто вылезти из самих себя, сбросить все, что стесняет в движениях. А как ловко (притом, с самым невинным видом) Мечтатель, мастер веселых перевоплощений, умеет подтрунивать над нашей неповоротливостью! Прислушаться к Его тихим, настойчивым речам - значит отыскать путь к себе самому. Инерция духа - серьезное препятствие на этой дороге; чтобы преодолеть его, нужна решимость.
А уж кто «способен на большее», тому и меньшее по плечу. Если, наедине с мечтой-посредницей, нам удалось услышать самих себя - значит, должен быть простой способ передать то, что мы узнали, другому. Ведь в «математической мечте» нет ничего интимного; к тому же, говорить о таких вещах с самим собой трудней, чем с другими. (Это из-за того, что мысли, идущей «изнутри», мы сопротивляемся намного сильнее, чем знанию со стороны.) В сущности, в своем «математическом» прошлом я только и делал, что преследовал мечту до тех пор, пока она, ясная, во плоти, как в новом платье, не выходила на свет. От целого моря теней и туманов оторвется клочок - и летит, и ведет тебя за собой; и по дороге ты можешь только гадать, каким он будет, когда станет из призрака явью… Последние шаги по пути к мечте сродни кропотливому труду ювелира: чтобы твоя находка, будь то алмаз или сапфир, предстала во всем своем блеске, ты должен, тщательно и ревниво, отшлифовать каждую грань. Сколько раз за этим занятием я в не
Самодовольство и обновление
терпении топал ногами, проклиная собственную усидчивость и упрямство! Приходилось сдерживать в себе пыл, стремление рискнуть всем, пустившись на большую глубину - окунуться в самое море, причаститься его бесконечных тайн; погнаться за грезой из грез и добиться ее явного воплощения! Из неясного, размытого намека на мысль довести мечту до отчетливости математического утверждения; изложить ее на бумаге, повинуясь всевозможным канонам строгости - и тогда призрак обретает плоть, статью можно нести в печать. Впрочем, когда я работал над теорией «мотивов», я, кажется, был на грани того, чтобы целиком поддаться нетерпеливому устремлению и умчаться вперед, позабыв о строгости изложения и о «надлежащем виде» результатов. Это значило - заняться «научной фантастикой», грезить наяву, ведь вся теория к тому моменту оставалась на уровне предположения. В этом смысле ничего не изменилось и по сей день - за недостатком другого мечтателя, который пустился бы в это сумасшедшее предприятие по моим следам. «Мотивами» я увлекся к концу шестидесятых; тем временем, в моей жизни уже намечался совершенно неожиданный (в первую очередь, для меня самого), решающий поворот. Вскоре после этого математика на целых десять лет отодвинулась для меня на второй план, если не вовсе сошла со сцены.
Призадумавшись, однако, я понял, что книга «В погоне за стеками», моя первая публикация после четырнадцатилетнего молчания, написана как раз в духе «грезы наяву» - невозможной и неосуществленной. Она как бы предваряет теорию мотивов, служит ее временной заменой. Конечно, у этой книги своя тема, на первый взгляд настолько далекая от «мотивов», насколько это вообще возможно в математике. К тому же, по моим представлениям, тема мотивов находится на грани того, что можно разработать подручными средствами, в то время как все, что связано со стеками, не должно вызывать особенных трудностей. Однако, стоит лишь внимательно посмотреть на эти две темы, чтобы понять, насколько поверхностны эти мнимые различия (3). Трудиться над каждой из этих теорий и значит «грезить наяву»: стиль работы один и тот же, а все остальное не так уж важно. На случай, если это звучит слишком вызывающе, скажем иначе: это работа с широкими, еще не до конца определившимися концепциями; это поиск нужных формулировок путем последовательных приближений, «нащупывание» координат. Так путешественник, плутая ночью, вычисляет местонахождение ори
ентиров: в темноте их не различить, но, если он выберет верный путь, впереди его ждет вполне реальная цель. При этом отдельные догадки собираются в единое представление о местности, внутренне согласованное и достаточно точное, чтобы можно было доверять ему, как хорошей карте. Если говорить о теме этой книги, то здесь общее видение картины уже сложилось. Теперь сверить его с действительностью - чисто техническая задача. Безусловно, для того чтобы ее разрешить, потребуется самая серьезная работа, а с ней - немалая доля мастерства и воображения. В этой работе будут свои непредвиденные повороты, неожиданно открывающиеся перспективы, - все, что отличает такой труд от пустой рутины (или «длинного упражнения», как сказал бы Андре Вейль).
Словом, это будет та самая работа, которую я сам в свое время делал и переделывал тысячи раз. С тех пор я выучил ее, как свои пять пальцев; кажется, в оставшиеся мне годы можно было бы заняться чем-то другим. Сейчас, после долгого перерыва, я возобновляю свои математические занятия лишь с тем, чтобы «грезить наяву» - и думаю, что не нашел бы для своих сил лучшего приложения. А впрочем, когда я делал свой выбор, меня не особенно вдохновляла мысль о том, что подобные затраты должны быть оправданы (если считать, что забота о рентабельности вообще может кого-нибудь вдохновлять). Я просто шел за мечтой - за грезой из грез. И ее одну стоит благодарить за все находки, что ждут меня на этой дороге.
7. Мечта, как известно, вещь ненаучная. Однако исподволь она все равно проникает в научные миры; наверное, оттого, что творчество как таковое без нее невозможно. Гонят ее отовсюду, но по-разному; похоже, что мы, математики, по меньшей мере третье тысячелетие кряду стараемся больше других. В других областях человеческого знания (включая так называемые «точные» науки - физику, например), мечту все-таки иногда терпят, а то и приветствуют (это зависит от эпохи). Конечно, для нее подбирают более солидные имена: «теория», «предположение», «гипотеза» (как, скажем, знаменитая «гипотеза о существовании атома», родившаяся из мечты - виноват, предположения Демокрита)… Перемена статуса, переход от мечты-которую-не-смеют-называть-по-имени к «научной истине» происходит как-то незаметно, по общему соглашению - по мере того, как число «обращенных» в новую веру постепенно растет. В математике же, напротив, подобное превращение почти
Самодовольство и обновление
всегда осуществляется вдруг, как по мановению волшебной палочки - как только появляется доказательство (4). В те времена, когда понятий определения и доказательства (в современном смысле этого слова) еще не было в математике, некоторые другие, заведомо важные математические объекты влачили довольно сомнительное существование. Например, многие ученые (в том числе Паскаль) не верили в «отрицательные» числа; позднее, «мнимые» числа также не признавались за реальный объект. (Что до двух последних понятий, то их названия, до сих пор используемые в математике, сами по себе достаточно красноречивы.)
