Энрике Грасиан - Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике

Георг Кантор был старшим из четырех детей. В ранние годы он обучался на дому, а в 1856 году поступил в начальную школу в Санкт-Петербурге. Детство в России он всегда называл самым счастливым периодом в жизни.

В 1856 году, после перенесенного воспаления легких, отец Кантора был вынужден оставить Россию с ее суровым климатом и переехать с семьей в Германию. Ненадолго остановившись в Висбадене, семья в итоге обосновалась во Франкфурте. В 1860 году Георг окончил реальное училище в Дармштадте — небольшом городке близ Франкфурта. В это время он уже проявлял исключительные способности к математике, особенно к тригонометрии. Однако его отец не представлял, какую работу в будущем сможет найти математик, поэтому предложил сыну изучить инженерное дело. Кантор, как всегда, последовал совету отца и в 15 лет поступил в училище в Висбадене.

Георг Кантор, создатель теории множеств, считается одним из наиболее выдающихся математиков в истории.

Отец часто писал Кантору, стремясь воспитать в сыне моральную твердость, основанную на религиозных принципах. Среди переписки очень выделяется письмо от 25 мая 1862 года, в котором он, помимо прочего, пишет:

«[…] Часто наиболее многообещающие личности сдаются, столкнувшись с незначительными трудностями, возникающими при решении практических вопросов. Они оказываются абсолютно сломленными и в лучшем случае переживают серьезное потрясение… Поверь мне, дорогой сын: твоим самым близким, верным и опытным другом, который должен жить в тебе и укреплять твое сердце, должен быть дух истинной веры… Чтобы предупредить все возможные проблемы и трудности, которые неизбежно возникнут по причине зависти и злословия тайных и явных недоброжелателей, вызванных стремлением к успеху в нашем деле или торговле, чтобы успешно справиться с ними, тебе прежде всего потребуется обрести как можно больше знаний и умений… Закончу письмо такими словами: твой отец, вернее твои родители и все остальные члены нашей семьи и в Германии, и в России, и в Дании смотрят на тебя как на старшего сына и ожидают, что твоя звезда ярко засияет на небосводе науки. Да дарует тебе Господь здоровья, сил, твердости характера и да пребудет с тобой его благословение. Неизменно следуй Его путем. Аминь!»

В этом письме Георг-Вольдемар Кантор во многом предугадал дальнейший жизненный путь сына. Вне сомнений, он был достаточно умным человеком и понимал, что его увлеченный математикой сын отличается беспокойной и творческой натурой.

Отец хотел подготовить юношу к возможным трудностям, с которыми тому предстояло столкнуться. И в том же году он разрешает сыну начать заниматься математикой. В ответ будущий ученый с благодарностью пишет:

«Дорогой отец, представьте себе, с каким удовольствием я прочел ваше письмо. Оно определило мое будущее… Теперь я счастлив, поскольку вижу, что вам придется по душе, если я последую своему желанию. Ожидаю, что вы, дорогой отец, найдете удовольствие в моем поведении, так как моя душа и все мое существо живет в моем призвании. То, что хочет совершить человек и к чему его толкает его внутреннее стремление, обязательно исполнится».

Кантор, как и всякий юноша, которому семейство разрешило заниматься любимым делом, чувствовал по отношению к родным глубокую благодарность. Некоторые биографы сходятся на том, что безоговорочное подчинение Кантора отцу стало одной из важнейших причин, по которой ученый всегда очень неуверенно чувствовал себя в университетских кругах.

В 1862 году он начал изучать математику, философию и физику в университете Цюриха, однако его обучение было недолгим: после смерти отца в июне 1863 года Кантор перевелся в Берлинский университет. Интересно, что после этого он ни разу не упоминал об отце.

До начала XIX века центром математики была Франция, однако в годы юношества Кантора она уступила место Германии. Учителями Кантора были Кронекер, Куммер и Вейерштрасс. Кронекер, обучивший его азам теории чисел, впоследствии стал и самым суровым критиком идей ученого, но наибольшее влияние на Кантора оказал Вейерштрасс.

Большинство работ Кантора, изданных в тот период, были посвящены арифметике и алгебре. Летом 1866 года ученый вошел в математические круги Гёттингенского университета — одного из престижнейших центров математики в Европе.

По возвращении в Берлин Кантор стал членом группы молодых математиков, которые каждую неделю собирались в баре, чтобы поговорить о своей работе в неформальной обстановке. В 1867 году Кантор защитил докторскую диссертацию, в которой подробно проанализировал «Арифметические исследования» Гаусса. Во введении к его работе содержится фраза, выражающая неспокойный дух человека, который в будущем стал одним из самых заметных математиков в истории науки: «В математике искусство ставить задачи намного важнее, чем искусство решать их».

Защита докторской диссертации позволила Кантору занять должность приватдоцента в университете Галле. Жалование ученого напрямую зависело от числа студентов, посещавших его занятия, но Галле был небольшим городом близ Лейпцига, и университет здесь был гораздо менее престижным, чем Берлинский или Гёттингенский. Кантор понимал это, но никогда не пытался покинуть Галле и проработал там до конца жизни.

В 1873 году ученый впервые предположил возможность существования разных видов бесконечности. Он чувствовал, что между множеством натуральных чисел и множеством вещественных чисел могут существовать не только качественные, но и количественные различия. Качественные различия были ясны: множество натуральных чисел является счетным, а множество вещественных чисел — нет. Если бы кто-то смог доказать, что бесконечное множество вещественных чисел больше, чем бесконечное множество натуральных, это стало бы настоящим потрясением для математики в целом. Первое доказательство, сформулированное Кантором, было опубликовано в 1874 году в журнале Крелле. Следует учитывать, что в то время о множествах нельзя было говорить так свободно, как мы это делаем сейчас. Первая работа Кантора на эту тему вышла в 1878 году под названием «Вклад в теорию множеств» и также была опубликована в журнале Крелле. Статья содержала абсолютно неожиданные результаты, касавшиеся алгебраических чисел. В ней шли первые наброски идей о трансфинитных числах, и эта работа ознаменовала начало нового этапа в математике. Однако прежде чем идеи Кантора получили признание в научных кругах и он смог занять должность, позволявшую продолжить работу, ему пришлось преодолеть тернистый путь: некоторые математики, в том числе его бывший преподаватель Кронекер, активно выступили против Кантора и препятствовали его карьере, что было для ученого очень серьезным потрясением.

Университет Галле, в котором Кантор преподавал начиная с 1872 года. Ученый прожил в этом маленьком немецком городе до самой смерти.

В 1826 году Август Леопольд Крелле (1780–1855) основал Journal für die reine und angewandte Mathematik («Журнал о чистой и прикладной математике»). Его название указывало цель, к которой стремился основатель: восстановить единство математики, которая, в отличие от Средних веков или эпохи Возрождения, в то время была четко разделена на два самостоятельных направления — чистую и прикладную. Впрочем, математические журналы — лишь один из видов научных журналов.

Первый научный журнал в истории был основан под эгидой Лондонского королевского общества и ознаменовал неизбежное: распространение научных публикаций и их характер отныне определяли научные общества. Если говорить о первых изданиях, посвященных исключительно математике, в частности об «Анналах математики» Жергонна или журнале Крелле, то следует отметить несколько интересных моментов. Во-первых, объем публиковавшихся в них работ был меньше, чем в сборниках научных трудов. Во-вторых, в журналах не издавались старые тексты. Обязательным условием публикации были новизна и оригинальность работы. Еще одним интересным моментом стало то, что в этих журналах впервые стали выпускаться совместные работы, а не труды, выполненные исключительно силами одного ученого, как было до сих пор.

* * *

СИЦИЛИЙСКАЯ МАТЕМАТИКА

Любопытно, что одно из первых математических сообществ появилось в городе Палермо, и центром его стал журнал Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, основанный итальянским математиком Джованни Баттистой Гуччиа (1855–1914). Обосновывая авторитетность нового математического общества, Гуччиа отмечал, что оно появилось в стране с «выдающейся математической родословной». Гуччиа также учредил несколько премий, и это привело к тому, что свои работы в его журнал стали отправлять выдающиеся математики. За короткое время журнал неожиданно получил международное признание, заняв одно из первых мест в списках международных математических сообществ.