Эмилия Александрова - Искатели необычайных автографов
что вытекает из известного еще в Древнем Вавилоне уравнения x3 = 2. Менехм предложил записать это уравнение в виде двойной пропорции:
1/х = х/у = у/2.
— Не понимаю, — сказал Фило, — откуда взялся игрек?
Мате возвел очи к небу. О Господи! Он и забыл, что для Фило алгебраические преобразования — китайская грамота.
— Исключите из этих двух пропорций смущающий вас игрек, и вы снова получите x3 = 2, — объяснил он, доставая блокнот. — Смотрите. Из пропорции 1/х = х/у следует, что у = х2. Подставьте в равенство ху = 2 вместо игрека x2, и получится, что х3 = 2. Теперь вы видите, что от преобразования, сделанного Менехмом, наше первоначальное уравнение ничуть не изменилось.
— Зачем же было переливать из пустого в порожнее?
— Как — зачем? Да ведь вместо одного уравнения мы получили два: ху = 2 и у = х2.
— Подумаешь, прибыль!
— И очень большая. Потому что ху = 2 — это не что иное, как уравнение равносторонней гиперболы, а у = х2 — уравнение параболы!
— Конические сечения!
— В том-то и дело. И, стало быть, теперь мы можем изобразить наше уравнение в виде кривых на чертеже. Для этого начертим сперва оси координат…
— Чего-чего?
— Оси координат, — раздельно повторил Мате. — Пора о них знать.
— Вот еще! — фыркнул Фило, пылая благородным негодованием. — Мы этого в школе не проходили.
— Не мы, а вы, — уточнил Мате. — Вы не проходили. Но теперь вам от этого не отвертеться. Так вот, достопочтенный Санчо, соблаговолите запомнить, что оси координат существуют для того, чтобы определять положение точки на плоскости или в пространстве. Само собой разумеется, что для нахождения точки на плоскости достаточно двух координат. Если же точканаходится в пространстве, которое, как известно, трехмерно, тут уж потребуются три координаты.
— Ну, это нам ни к чему, — быстро ввернул Фило. — Мы ведь ищем точку на плоскости. Стало быть, хватит с нас и двух координат.
— Прекрасно! — неожиданно похвалил Мате. — Раз вы уразумели это, значит, поймете и то, как строятся графики уравнений. Итак, вычертим оси координат, иначе говоря — две взаимно перпендикулярные прямые. Одну из них — горизонтальную — назовем осью иксов, другую — вертикальную — осью игреков. Точку их пересечения обозначим буквой О. Начнем с уравнения параболы…
— Игрек равняется иксу в квадрате, — сейчас же припомнил Фило.
— Вот именно, — подтвердил Мате. — В чем особенность этого уравнения? А в том, что каким бы ни было числовое значение икса, игрек всегда будет равен квадрату этого числа. Допустим, что икс равен нулю. Тогда игрек равен…
— …тоже нулю, — подхватил Фило.
— Правильно. Вот и найдем эту точку на плоскости.
— А ее искать нечего: вот она! — Фило ткнул пальцем в точку О.
— Совершенно верно. Иначе, точка с координатами ноль, — ноль совпадает с началом координат. Пошли дальше. Допустим, что икс равен единице. Тогда игрек тоже равен единице, так ведь? Найдем точку с координатами единица — единица. Для этого отложим сперва единицу на оси иксов вправо от точки 0…
— В каких единицах длины? — озабоченно перебил Фило.
— В каких угодно. Но для удобства лучше все-таки не в километрах.
— Тогда в сантиметрах?
— Да будет так! Итак, вправо от точки О по оси иксов откладываем один сантиметр. Из конца этого отрезка восстанавливаем перпендикуляр также длиной в один сантиметр. Конец этого перпендикуляра и есть искомая точка с координатами один — один. Допустим теперь, что значение икс не единица, а двойка. Тогда игрек равен…
— Четырем!
— Браво! После этого гениального заявления вам остается лишь найти точку с координатами два — четыре самостоятельно.
Фило отложил два сантиметра от точки О по оси иксов, восстановил из конца этого отрезка перпендикуляр, равный четырем сантиметрам, и посмотрел на Мате победоносно, как актер, ожидающий бурных оваций.
Но оваций не последовало. Мате весьма сухо потребовал, чтобы Фило нашел точку при х = 3, потом х = 4, и отвязался от него только тогда, когда места на листке уже не осталось.
— Ну вот, — процедил он, окинув чертеж критическим оком. — Мы получили несколько точек, удовлетворяющих уравнению у = х2. Все они, естественно, лежат на нашей параболе. Стало быть, остается соединить их плавной кривой — и график данного уравнения, то бишь парабола, перед нами!
Фило недовольно осмотрел вычерченную Мате линию.
— Позвольте, — сказал он заносчиво, — какая же это парабола? Помнится, там, на базаре, вы показали мне кривую, напоминающую рогатку, а тут…
— А тут половина рогатки, — засмеялся Мате.
— Но куда же девалась вторая половина?
— Вторая находится по левую сторону оси игреков, где координаты х отрицательны. А так как отрицательное число, возведенное в квадрат, становится положительным, значит, игрек тоже будет у нас всегда числом положительным. Вот и выходит, что координаты игрек и справа и слева от вертикальной оси совершенно одинаковы. А раз так, значит, левая часть параболы симметрична правой. Дорисуем ее, если хотите, — и целая рогатка в вашем распоряжении. А теперь, когда с параболой покончено, тем же способом вычертим гиперболу, ху = 2.
Фило почесал в затылке. Сразу видно, что тут придется попотеть!
— Почему вы думаете? — осведомился Мате.
— Так ведь в первом уравнении икс и игрек были по разные стороны равенства, а тут в общей куче…
— Раз это вас смущает, отделим их друг от друга. Нетрудно выяснить, что у = 2/х. Заменим первое уравнение вторым — и дело с концом!
— Ага! — кивнул Фило. — Тогда начнем, как полагается, с х = 0…
— Стоп! Как известно, деление на нуль запрещено. Так что начнем с х=1. Тогда у = 2/1, или попросту двум…
— Значит, находим точку с координатами один — два, — подхватил Фило, орудуя карандашом.
— Дальше.
— Дальше нахожу точку при х = 2. Игрек при этом равен единице. При х = 3 игрек равен двум третям… Постойте, как же так? — Фило запнулся. — Выходит, чем больше икс, тем меньше игрек?
— Правильно подмечено! — одобрил Мате. — Чем больше икс, тем меньше игрек, и обратно: чем меньше будет становиться икс, стремясь к нулю, тем больше будет становиться игрек, стремясь к бесконечности. А теперь соединим, наконец, найденные нами точки одной линией — и гипербола готова.
— К тому же не наполовину, а целиком, — удовлетворенно констатировал Фило. — Точь-в-точь как та, что вы нарисовали в Исфахане.
— Должен вас огорчить. То, что я нарисовал в Исфахане, полной гиперболой не было, как не был полной конической поверхностью и тот бумажный фунтик, который мы с вами рассекали воображаемыми плоскостями. Потому что полная коническая поверхность состоит не из одного, а из двух одинаковых фунтиков, соприкасающихся вершинами. И, стало быть, в каждом из этих фунтиков образуется только одна ветвь гиперболы, в то время как полная гипербола состоит из двух ветвей.
— Значит, на нашем чертеже должна быть еще одна ветвь. Но где же она? — недоумевал Фило.
— Ее нетрудно получить, придавая иксам отрицательные значения. Только, в отличие от параболы, игрек при этом тоже будет принимать не положительные, а отрицательные значения.
— Так, так, так, — озабоченно пробормотал Фило. — Икс отрицательный. Значит, откладывать его следует по оси иксов влево. Но вот вопрос: на какой оси откладывать отрицательные игреки?
— Это уж пустяки. Положительные игреки расположены вверх по оси иксов, стало быть, отрицательные…
— Вниз! — сообразил Фило и принялся откладывать отрицательные координаты точек -1, -2; -2, -1; -3, -2/3 и, наконец, — 1/2, -4. — Теперь, — сказал он, полюбовавшись своей работой, — объединим все это хозяйство общей линией, и вторая ветвь гиперболы налицо. Ура, ура и в третий раз ура! Остается выяснить главное: для чего все это делалось?
— Для того, чтобы понять, каким образом Менехм решал задачу об удвоении куба, — пояснил Мате. — А решал он ее так: изображал обе кривые на одном чертеже, рассматривая при этом только ту часть координатной плоскости, на которой эти кривые пересекаются. Точка пересечения их — обозначим ее буквой А — удовлетворяет и первому и второму уравнениям, а следовательно, и уравнению х2 = 2. Опустим из этой точки перпендикуляр на ось иксов, обозначив основание перпендикуляра буквой В, и искомая нами длина ребра удвоенного куба найдена: это отрезок OB. Ему-то и равен х. Вот как конические сечения помогли Менехму решить одни из видов кубического уравнения. А Хайяму они помогли решить все нерассмотренные до него виды.
