Иосиф Розенталь - Геометрия, динамика, вселенная

До сих пор мы почти одновременно говорили о совместной геометрической интерпретации электромагнитного и гравитационного взаимодействий и существовании других (слабого и сильного) взаимодействий, которые как будто не укладываются в схему Калуцы.

Ранее указывалось, что решение этой проблемы появилось в результате создания теории взаимодействия кварков (квантовая хромодинамика) и успехов в объединении электромагнитного и слабого взаимодействий (теория Глешоу Вайнберга — Салама). Наша формулировка неточна. На самом деле квантовая хромодинамика не вошла в арсенал достижений физики как теория, интерпретирующая взаимодействие кварков.

Оказалось, что уравнения Янга — миллса хорошо хорошо описывают взаимодействие кварков в определенных границах, которые по существу являются пределами применимости квантовой хромодинамики. Частица со свойствами, весьма близкими к частице Янга — Миллса, получила название глюона и оказалась переносчиком сильного взаимодействия между кварками (см. Дополнение).

В основе теории Янга — Миллса лежат калибровочные соотношения

i g T(x) 1 ∂ a PSIG' = Ψ e||||||||, A' — > A + [aA] —- —--, (55)

g ∂ x

g=const, a=a(x).

Соотношения (55) определяют уравнения Янга — Миллса и очень похожи на условия (48), (49) калибровочной инвариантности в электродинамике. Однако есть и два существенных отличия: 1) в уравнениях (55) T(x) не число, а квадратная матрица и 2) в условие преобразования вектор-потенциала A входит дополнительный член [a,A] (наличие такого члена приводит к тому, что вектор A не только инвариантен относительно смещения, но и относительно вращения в изотопическом пространстве). Эти две, казалось бы, несущественные особенности радикально отличают уравнения Янга — Миллса от уравнений электродинамики.

Отметим в них то, что нам потребуется в дальнейшем. Во-первых, свойства матриц T существенно отличаются от свойств алгебраических чисел ALPHA. Числа характеризуются свойствами коммутативности (ALPHA|ALPHA| — ALPHA|ALPHA| =

1 2 2 1 0). Матрицы этим свойством не обладают (вообще говоря, T|T| — T|T| ≠ 0). 1 2 2 1

Инвариантность (55) функции Ψ требует введения уже

1 не одномерного пространства S|, а многомерного. Например, если матрица T двумерна, то соответствующее ей пространства

3 — трехмерная сфера S|. Соотношение между размерностями матрицы (n) и соответствующего ей пространства (N) определяется квантовомеханическим условием унитарности: N=n**2–1 (n≥2).

Для понимания дальнейшего целесообразно вначале ограничиться геометрической интерпретацией электрослабого взаимодействия.

Известно, что слабое взаимодействие характеризуется

± 0 тремя частицами-переносчиками — тяжелыми W||- и Z|-бозонами, образующими изотопический триплет. Изотопический триплет соответствует трем независимым направлениями вектора состояния в изотопическом пространстве. Поэтому для своего геометрического описания этот триплет требует трехмерную

3 сферу S|.

Электромагнитное взаимодействие (изотопический спин фотона

1 равен нулю) описывается сферой S|. Поэтому может показаться, что для совместного описания электрослабого

3 взаимодействия могут потребоваться и сфера S| и сфера

1 3 1 (окружность) S| (прямое произведение S| x S|). Однако ясно,

3 1 что сфера S| уже включает окружность S| — она состоит из бесконечной совокупности окружностей. Поэтому может опять возникнуть неверное впечатление, что для описания

3 электрослабого взаимодействия достаточно одной сферы S|, уже

1 включающей окружность S|. В действительности такая процедура слишком упрощена. Выше отмечалось, что окружность

1 (сфера S|) обладает среди сфер уникальной особенностью: лишь

1 в пределах сферы S| два последовательных вращения коммутативны, что отражается в разнице правил коммутации двух чисел и двух матриц. Суммарное вращение в пределах окружности не зависит от порядка, в котором вращается вектор состояния. Окончательный результат не зависит от того, в каком порядке пробегает вектор состояния два угла (ALPHA|,

1 ALPHA|) вдоль окружности. Суммарный угол в любом случае

2 равен ALPHA| + ALPHA| = ALPHA| + ALPHA|.

1 2 2 1

Совершенно иная ситуация возникает при вращении в

N сферах S| (N≥2) высших размерностей. В этом случае суммарное вращение зависит от порядка, что символически можно записать в форме ALPHA| + ALPHA| = ALPHA| + ALPHA|.

1 2 2 1 Подобное различие в свойствах коммутативности обуславливает кардинальную разницу между уравнениями электродинамики и

1 уравнениями Янга — Миллса. Поэтому включение окружности S| в

3 сферу S| неправомочно.

Однако вполне оправдана несколько иная операция:

1 выделения некоторой окружности S| и использования ее в

3 дальнейшем для построения сферы S|. Иначе говоря, разбиения

3 1 2 сферы S| на две: S| и S|. В стандартных обозначениях такое

3 1 2 разбиение имеет вид S| = S| + S|. Это произведение двух сфер и есть геометрическая интерпретация электрослабого взаимодействия. Наглядно ее можно попытаться представить как пространство Минковского (Римана), в каждой точке которого в определенном взаимоотношении «прикреплены» окружности и сферы одинакового радиуса.

По аналогии с геометрической интерпретацией электрослабого взаимодействия можно геометрически интерпретировать объединение сильного, слабого и электромагнитного взаимодействия (большое объединение).

Квантовая хромодинамика определяется группой SU(3), соответствующей 3-мерному комплексному пространству (матрица T 3-мерна). Учитывая квантовое условие унитарности (см. выше), размерность соответствующего пространства равна восьми. Эту размерность можно уменьшить до семи, используя свойства проективных пространств, когда одна из размерностей стягивается в точку. В проективной геометрии все точки, координаты которых пропорциональны (отличаются одним и тем же числовым множителем), принимаются за одну точку. Иначе говоря, все точки с координатами bx|, bx|…, bx| (b

1 2 N действительное число, принимающее различные значения) рассматриваются как одна. Это означает, что в рамках проективной геометрии прямая эквивалентна точке, что является отражением принципа двойственности. Поэтому проективное пространство с размерностью N в известном смысле эквивалентно обычному пространству с размерностью N+1, а

2 2 1 1 произведение пространств CP| x S| x S| (CP| — проективное двумерное комплексное пространство, эквивалентное 4-мерному действительному пространству) эквивалентно изотопическим пространствам, отражающим все три взаимодействия: сильное

1 (SU(3)), слабое (SU(2)) и электромагнитное (S|).

Итак, изотопическое пространство большого объединения интерпретируется 7-мерным компактным ограниченным по объему

2 2 1 пространством CP| x S| x S|. Здесь возникает естественный

2 2 1 вопрос, является ли компактный слой CP| x S| x S| единственным геометрическим отображением всех взаимодействий, кроме гравитационного. На этот вопрос следует отрицательный ответ, имеющий два аспекта: геометрический и физический.

Геометрический сводится к тому, что представление трех

2 2 1 взаимодействий в виде произведения CP| x S| x S| неоднозначно. Их можно представить, например, в виде произведения двух сфер разной размерности, но так, чтобы суммарная размерность была бы больше шести. Динамическая неоднозначность определяется опытом. Нет доказательств отсутствия сверхслабых (незарегистрированных до сих пор) взаимодействий, которые могут усложнить структуру слоев.

Таким образом, объединение всех четырех взаимодействий можно интерпретировать как расслоенное пространство с базой — 4-мерным пространством Римана и 7-мерным слоем чрезвычайно малых размеров. Эти размеры определяются по порядку величины из соображений размерности (величина, имеющая размерность длины и образованная из универсальных фундаментальных постоянных G, h и c) и значения константы объединенного взаимодействия. Оба подхода приводят к значению радиуса r|

c компактных компактных размерностей, равного планковским размерам (см.(54)). Разумеется, значение r| ~ l| ~ 10**-33

c p см — это лишь порядок величины и причем весьма грубый, компактных слоев. Нельзя, например, исключить, что r| ~ l|/ALPHA| ~ 10**-31 см. c p e

Возникает вопрос, можно ли (хотя бы в принципе оценить на опыте значение величины r|. Пока просматривается лишь

c единственный подход — обнаружение распада протона. Если это явление будет обнаружено, то можно утверждать, что приведенная геометрическая интерпретация верна при r| ~< 10**-30 см. В противном случае (r| >> 10**-30 см) c c теоретические оценки времени жизни протона становятся неправомочными. Непосредственное же измерение величины r|

c (например, на ускорителях), кажется нереалистичным. Сейчас исследовалась динамика вплоть до расстояний ~10**-16 см. Увеличить эти оценки на два-три порядка очень сложно, хотя принципиально и возможно. Путей же к исследованию на ускорителях свойств пространства на расстояниях << 10**-20 см сейчас не видно.