Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон
Первый же шаг Эйлера шел вразрез с этой метрической традицией. Он искал способ сгруппировать, или классифицировать, все многогранники по числу их признаков. Ведь именно так мы классифицируем многоугольники: многоугольники с тремя сторонами называются треугольниками, с четырьмя сторонами — четырехугольниками и т. д.
Очень быстро выясняется, что классифицировать многогранники подобным образом трудно. Очевидного признака — числа граней — недостаточно, чтобы отличить данный многогранник от всех остальных. Как видно по рис. 7.1, многогранники с одинаковым числом граней могут быть совершенно непохожи.
Рис. 7.1. Три различных многогранника с восемью гранями
Первой блестящей идеей Эйлера было то, что поверхность любого многогранника состоит из 0-, 1- и 2-мерных компонент, а именно вершин (или телесных углов, как он их называл), ребер и граней, и что эти признаки можно подсчитать. Именно эти три величины стали стандартными характеристиками всех топологических поверхностей. Эйлер писал:
Поэтому для любого сплошного тела следует рассматривать три вида границ, а именно: 1) точки, 2) линии и 3) поверхности, или, если использовать названия специально для этой цели: 1) телесные углы, 2) ребра и 3) грани. Эти три вида границ полностью определяют тело57.
Невозможно переоценить важность этого осознания. Как ни странно, пока Эйлер не придумал имя, никто явно не упоминал ребра многогранника. Эйлер, писавший по-латыни, употребил слово acies, означающее «ребро». На «вульгарной латыни» acies использовалось для обозначения острой кромки оружия, луча света или армии, построившейся для битвы. Поименование этого очевидного признака может показаться тривиальным делом, но это не так. В этом заключалось осознание того ключевого факта, что одномерное ребро многогранника — существенное понятие.
Для граней многогранника Эйлер использовал устоявшийся термин hedra, который, как мы уже говорили, переводится как «грань» или «основание». Вершины многогранника Эйлер называл angulus solidus, или телесный угол. До того как Эйлер стал писать о многогранниках, телесным углом называлась трехмерная область, ограниченная гранями, сходящимися в одной точке. Телесный угол куба отличается от телесного угла тетраэдра; они различаются геометрией ограничиваемой ими области. Из приведенного выше описания — согласно которому Эйлер ассоциировал телесный угол с точкой — мы видим, что он рассматривал телесные углы как нульмерные сущности. Говоря о телесном угле, он имел в виду его острие, а не трехмерную область, ограниченную его гранями. Это тонкое различие, но понимание того, что телесные углы можно рассматривать как точки, имело большое значение для его теоремы. Тем не менее Эйлер упустил возможность дать им новое название. Вершина многогранника отличается от телесного угла, исходящего из нее. В 1794 году Адриен-Мари Лежандр (1752–1833) очень ясно высказался по этому поводу:
Мы часто употребляем в быту слово угол для обозначения точки, расположенной в его вершине; это неправильное выражение. Было бы понятнее и точнее использовать специальное название — вершины — для обозначения точек в вершинах углов многоугольника или многогранника. Именно в этом смысле следует понимать выражение вершины многогранника, которое мы использовали58.
После того как великий Эйлер сосредоточился на этих трех ключевых признаках — вершинах, ребрах и гранях — и начал выписывать их для различных семейств многогранников, он, вероятно, довольно быстро заметил связь между ними. Можно представить себе удивление Эйлера, когда он открыл, что для любого многогранника имеет место соотношение
V — E + F = 2.
Рис. 7.2. Марка ГДР с изображением Эйлера и его формулы
Конечно же, он был поражен, как этого никто не заметил раньше. Блестящие математики Древней Греции и Возрождения посвятили бесчисленные часы исследованию всех мыслимых аспектов многогранников. Как они могли пройти мимо этого элементарного соотношения?
Простой ответ — легкомысленное замечание, что история математики изобилует очевидными теоремами, которые годами оставались незамеченными. Однако есть и более проницательное соображение — математики прошлого не рассматривали многогранник с этой точки зрения. Предшественников Эйлера интересовали в первую очередь метрические свойства, поэтому они и просмотрели эту фундаментальную взаимозависимость. Им не только не приходило в голову подсчитывать признаки многогранника, они даже не знали, что считать.
Воистину Эйлер — наш общий учитель.
Работа Эйлера по формуле для многогранников отмечена тремя важными документами. Первым было уведомление Гольдбаха о ее открытии в 1750 году. Он писал:
В каждом теле, ограниченном плоскими гранями, сумма числа граней и числа телесных углов на два больше числа ребер, т. е. H + S = A + 259.
Эйлер использовал буквы H, A и S для обозначения числа граней (hedra), ребер (acies) и вершин (angulus solidus). После переименования и переупорядочения членов получаем знакомую формулу:
Формула Эйлера для многогранников
Для многогранника с V вершинами, E ребрами и F гранями имеет место соотношение V — E + F = 2.
В это письмо Эйлер включил, без доказательства, еще десять наблюдений, касающихся многогранников. В конце письма он выделил в качестве самых важных приведенную выше формулу для многогранников и еще одну, которую мы обсудим в главе 20. И разочарованно признался, что обе формулы «настолько трудны, что я еще не смог найти им удовлетворительное доказательство»60.
В 1750 и 1751 годах Эйлер написал две статьи о своей формуле для многогранников. Из-за задержек в журнальных публикациях они появились в печатном виде только в 1758 году. В первой статье, «Elementa doctrinae solidorum»61 (Элементы доктрины сплошных тел), он начал изучение стереометрии. На первых тридцати страницах Эйлер делает общие замечания о многогранниках. Затем он приступает к обсуждению связи между числом вершин, ребер и граней. Он доказывает несколько теорем о связи между V, E и F и устанавливает справедливость формулы V — E + F = 2 в нескольких частных случаях. Но доказательства того, что она верна для всех многогранников, он еще не дал. Не видя пока выхода из тупика, он пишет: «Я не смог найти твердого доказательства этой теоремы»62.
В следующем году он опубликовал вторую статью «Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita»63(Доказательство некоторых важных свойств тел, ограниченных плоскими гранями). В ней он наконец дал доказательство своей формулы для многогранников.
