Энрике Грасиан - Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности

Гениальный французский математик Анри Пуанкаре (1854–1912) говорил, что математические исследования проходят в три этапа. Первая стадия состоит в скрупулезном анализе трудностей данной проблемы, разных подходов, необходимых для ее решения, имеющихся методов, а также в готовности к тому, что потребуется радикальное переосмысление наших знаний.

Следующей стадией является кажущаяся отчужденность. Математик перестает думать о проблеме или по крайней мере перестает думать о ней сознательно, чтобы ум погрузился в таинственную область подсознательного, где творческая деятельность подчиняется собственным правилам. Это область неточности, нестрогости и интеллектуальных блужданий. В результате такого подсознательного процесса рождается вдохновение, которое может быть вызвано событиями, не имеющими явной связи с темой исследований. Этот момент был описан ирландским математиком Уильямом Гамильтоном (1805–1865). Однажды он гулял с женой на окраине Дублина и вдруг остановился будто от удара электрическим током: «Казалось, я вдруг почувствовал, как замыкаются гальванические цепи мыслей, и вспыхнувшей искрой были основные уравнения, связывающие i, j, k…».

Гамильтон вдруг осознал, что не три, а четыре числа необходимы для описания пространственного поведения гиперкомплексных чисел. Это действительно волшебный момент, когда исследователь вдруг чувствует, как вспыхивает свет в комнате, в которой он никогда раньше не бывал.

Далее Пуанкаре говорит о процессе отбора, который идет на подсознательном уровне, в результате чего мы осознаем одни идеи и отвергаем другие. В конце концов, когда мы не в состоянии решить, являются ли эти идеи истинными или ложными, единственным критерием отбора является математическая красота.

* * *

ПАРАДОКСЫ БЕСКОНЕЧНОСТИ: ОТЕЛЬ ГИЛЬБЕРТА

Отель Гильберта — воображаемое здание, в котором имеется бесконечное количество комнат. Управляющий отелем гордится тем, что никогда не отказал ни одному гостю. А теперь представьте себе: поздним вечером, когда все номера отеля заняты, внезапно появляется новый гость. Портье идет к управляющему и сообщает ему, что гостя некуда поселить. Управляющий говорит, что надо попросить всех жильцов переселиться в номер по соседству, так что гость из первого номера переселяется во второй, гость из второго — в третий и так далее. После этого первая комната освободится, и туда можно будет поселить нового гостя. Однако в полночь портье снова прибегает к управляющему. На этот раз он просто в отчаянии. Только что для участия в симпозиуме прибыло бесконечное количество математиков. «Мы же не сможем поселить их всех!» — восклицает портье. Подумав немного, управляющий предлагает следующее: «Нам придется попросить наших гостей о еще одном одолжении. Пусть каждый умножит номер своей комнаты на два и переселится в комнату с полученным номером». Таким образом, гость из четвертого номера переселяется в комнату 8, гость из комнаты 23 — в комнату 46, гость из комнаты 352 — в комнату 704 и так далее. После этого все комнаты с нечетными номерами освободятся. В них и поселятся участники симпозиума.

Портрет Давида Гчльберта, 1912 г.

* * *

На третьей стадии математик работает совершенно сознательно и тщательно анализирует идеи, принимая одни и отбрасывая другие. Он может вернуться один или несколько раз ко второй стадии, пока не решит проблему окончательно, следуя правилам и соглашениям, принятым в математике, так чтобы решение имело законченный вид.

Для совершения математического открытия важны все три этапа, но особенно интересен второй: именно на этой стадии мысль парит, вырвавшись из плена сознания. Жак Адамар посвятил одну из своих книг, «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» (1945), изучению роли подсознания в творческой деятельности, концентрируясь в основном на работе математиков. В книге описывается процесс математических исследований, который начинается с сознательного выбора наиболее важных аспектов проблемы, чаще всего после получения промежуточных результатов. Адамар думал, что за этим периодом должен следовать «период отдыха», когда задачу откладывают в сторону, а затем следуют моменты вдохновения, являющиеся результатом мыслительных процессов, протекающих в подсознании математика.

Наконец, Адамар говорит о так называемом этапе «наведения порядка», когда вступает в свои права формальный подход. Адамар считал, что работа подсознания имеет решающее значение на протяжении всего процесса, особенно в период «отдыха».

Анри Пуанкаре был ученым, который проявил себя во всех областях математики.

Выводы Адамара согласуются с рассуждениями Пуанкаре, хотя последний придает большее значение периоду отдыха, включающему периоды сна. В истории науки, и особенно в истории математических открытий, существует множество свидетельств того, что многие ключевые идеи приходили к ученым во время сна. Некоторые исследователи сообщают, что прорыв в их работе произошел во сне, в котором они размышляли над какой-то проблемой. Большинство ученых говорят, что решение пришло сразу после пробуждения, особенно после напряженной работы накануне. Например, Дирихле признавался, что перед сном клал под подушку «Арифметические исследования» Гаусса. Он знал, что во время сна будет происходить таинственный процесс, который нельзя контролировать, но благодаря которому на следующий день он сможет осознать неясные места книги — те, что не мог понять накануне.

Все это часть волшебного мира чисел, с которым мы познакомились в предыдущих главах. Следует еще раз подчеркнуть, что это не магия в обычном смысле слова.

Магические ритуалы и церемонии были изначально и традиционно предназначены для выявления скрытых истин. Однако ритуалы, верования или даже процесс воображения приводят ум в особое состояние, в котором он свободен от ограничений физического мира и может думать по-другому. Как если бы мы переключились на другую полосу радиочастот и оказались в состоянии принимать новые сигналы с помощью того же радиоприемника.

Наш мозг хранит информацию, но существует множество способов ее упорядочить. В качестве примера можно привести одного математика из Индии, чьи ум и воображение работали одинаково хорошо. Говорят, Рамануджан с легкостью проходил через вторую стадию, описанную Пуанкаре и Адамаром, но имел серьезные трудности с третьей. Ему просто не хватало специальной математической подготовки, чтобы формализовать свои доказательства в соответствии с принятыми соглашениями. Другими словами, Рамануджан мог видеть результаты, но ему было трудно доказать их так, чтобы математическое сообщество сочло доказательства удовлетворительными. Рамануджан не стал легендой, не успел за свою короткую жизнь прославиться как математический гений, и его труды не слишком хорошо документированы. Несмотря на бедность и недостаток образования, он был одним из наиболее выдающихся математиков своего времени и, возможно, величайшим математиком Индии.

Рамануджан родился 22 декабря 1887 г. в бедной семье в небольшом городе Эрод в 400 км от Мадраса. В возрасте семи лет он получил грант, который позволил ему посещать занятия в школе в Кумбаконам. Там он проявил экстраординарные способности в запоминании чисел и выполнении сложных арифметических действий. Например, он знал наизусть сотни десятичных знаков постоянной π и квадратного корня из двух. Его первым учебником математики была книга Джорджа Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики». Эта почти не содержавшая доказательств книга была практически непонятна, особенно для мальчика, не имеющего специальной математической подготовки. Рамануджану было всего 15 лет, когда он, по мнению биографов, начал серьезно заниматься математикой.

В 16 лет он получил грант и смог пойти в местный колледж в Кумбаконам. Страсть Рамануджана к математике привела к тому, что он уделял ей все свое время, пропуская занятия по другим предметам, и в конце концов лишился гранта. С тех пор он никогда не изучал предметы, не связанные с математикой.

Женившись в 1909 г., он вынужден был найти работу, чтобы прокормить семью. С помощью друга он получил рекомендательное письмо для работы с математиком-любителем Рамачандрой Рао, который был сборщиком налогов в Нелоре, в 130 км к северу от Мадраса. Рао так описал свою первую встречу с Рамануджаном: «Несколько лет назад мой племянник, который совсем не разбирался в математике, сказал мне: «Дядя, у меня бывает посетитель, который говорит о математике, но я не могу понять его. Не могли бы Вы посмотреть, есть ли что-нибудь интересное в том, что он говорит?» Уверенный в своем математическом превосходстве, я согласился поговорить с Рамануджаном. Это был невысокий, простой, энергичный человек, небритый, растрепанный, с привлекательным лицом и блестящими глазами; он пришел с потрепанной записной книжкой под мышкой. Он был очень беден. Он приехал из Кумбаконама в Мадрас, надеясь найти возможность заниматься исследованиями. Он не просил ничего особенного.