Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Результатом этой переписки был приезд Рамануяна в Англию в 1913 году по приглашению Харди и начало тесного сотрудничества между ними, которое было прервано преждевременной смертью Рамануяна от туберкулеза в возрасте тридцати трех лет.

Среди прочего, Рамануян отличался от большинства математиков тем, что его доказательствам не хватало строгости. Иногда он просто называл результат, полученный, по его словам, чисто интуитивно, без какого бы то ни было сознательного поиска. Часто Рамануян говорил, что богиня Намагири сообщила ему ответ во сне. Это повторялось снова и снова, и самое удивительное — даже мистическое — заключалось в том, что многие из его «интуитивных теорем» оказывались ложными! В связи с этим интересен парадокс, заключающийся в том, что иногда событие, которое, как кажется, должно было бы добавить доверчивым людям немного скептицизма, в действительности вызывает обратный эффект. Оно затрагивает эти доверчивые души, соблазняя их намеками на некие удивительные, иррациональные свойства человеческой природы. Именно это произошло с ошибками Рамануяна; многие образованные люди, жаждущие поверить в чудеса, увидели в интуитивных способностях Рамануяна доказательство его мистического прозрения и знания Истины — и его ошибки только усилили их веру.

Возможно, что этому способствовал тот факт, что Рамануян происходил из самой отсталой части Индии, где факиризм и подобные мистические индийские ритуалы практиковались тысячелетиями — и продолжали встречаться во времена Рамануяна, возможно, чаще, чем высшая математика. И его ошибки, вместо того, чтобы подтвердить, что он — всего лишь человек, парадоксальным образом породили веру в то, что заблуждения Рамануяна на самом деле являлись «правотой высшего порядка», некой «восточной истиной», недоступной западному уму. Какая замечательная, почти неотразимая мысль! Даже Харди, кто должен был бы первым опровергнуть идею о мистических способностях Рамануяна, однажды написал: «И все же я не уверен, что, каким-то образом, его промах не является более замечательным, чем любой из его успехов».

Другой выдающейся чертой Рамануяна была его «дружба с целыми числами», по выражению его коллеги Литтлвуда. Многие математики до какой-то степени разделяют эту черту, но у Рамануяна она была развита до крайности. Об этой его характеристике ходили легенды. Одна из них была рассказана Харди:

Однажды я пришел навестить его, когда он лежал больной в Путни. Я сказал ему, что приехал на такси с номерным знаком 1729 и заметил, что в этом номере нет ничего интересного и что как бы это не оказалось дурным предзнаменованием. «Напротив», — ответил он, — «это очень интересный номер: это наименьшее, число, которое можно выразить как сумму двух кубов двумя разными способами». Я, естественно, спросил его, знает ли он ответ на аналогичную задачу для четвертой степени, на что он после минутного раздумья ответил, что он точно не знает, но что ему кажется, что это будет очень большое число.[50]

Ответом на эту задачу оказывается:

635 318 657 = 1344 + 1334 = 1584 + 594

Читатель может попробовать решить аналогичную задачу для квадратов, что намного легче.

Интересно подумать, почему Харди сразу перешел к четвертой степени. В конце концов, существуют несколько других естественных обобщений уравнения:

u 3 + v 3 = x 3 + у 3

Например, можно подумать о том, как представить некое число в виде суммы двух кубов тремя различными способами:

r 3 + s 3 = u 3 + v 3 = x 3 + у 3

или использовать три различных куба:

u 3 + v 3 + w 3 = x 3 + у 3 + z 3

r 4 + s 4 + t 4 = u 4 + v 4 + w 4 = x 4 + у 4 + z 4

Однако в каком-то смысле задача Харди оказывается наиболее «математической». Возможно ли будет когда-либо запрограммировать это чувство математической эстетики?

Другой рассказ о Рамануяне взят из его биографии, написанной его соотечественником С. Р. Ранганатаном. Этот рассказ носит название «Прозрение Рамануяна» и принадлежит его товарищу по Кембриджскому университету, П. С. Махаланобису, также выходцу из Индии:

Однажды я пришел к нему в комнату, чтобы пообедать вместе. Дело было некоторое время спустя после начала Первой мировой войны. В руках у меня был экземпляр ежемесячника «Странд Магазин», в котором в то время печатались всяческие головоломки для читателей. Рамануян, стоя у плиты, размешивал что-то в кастрюльке. Я сидел у стола, листая журнал; вдруг меня заинтересовала задача об отношении двух чисел. Я забыл подробности и помню только тип задачи. Два британских офицера были расквартированы в Париже в двух различных домах на длинной улице; номера этих домов соотносились определенным образом, и задача заключалась в том, чтобы их найти. На вид проблема казалась нетрудной — пользуясь методом проб и ошибок, я нашел ответ за несколько минут.

МАХАЛАНОБИС (шутливо): Вот тут для вас задача.

РАМАНУЯН (не переставая мешать): Что за задача?

Я прочитал ему задачу.

РАМАНУЯН: Записывайте ответ (диктуя непрерывную дробь).

Первый член в дроби был равен моему ответу, остальные представляли собой следующие решения. При этом число домов на улице росло до бесконечности.

Я был поражен.

МАХАЛАНОБИС: Неужели вы решили это сразу?

РАМАНУЯН: Разумеется. Как только я услышал задачу, я сразу понял, что ответом должна быть непрерывная дробь; тогда я подумал: «Какая именно?» — и тут же увидел решение. Это было очень просто.[51]

После смерти Рамануяна Харди, как его ближайшего сотрудника, часто спрашивали, не было ли в стиле мышления Рамануяна каких-либо мистических и необычных элементов. Вот один из ответов Харди:

Меня часто спрашивают, не было ли у Рамануяна какого-нибудь особого секрета, не пользовался ли он методами иного типа, отличными от методов других математиков и было ли его мышление действительно необычным. Не могу ответить на эти вопросы с достаточной уверенностью, но лично я в это не верю. Я считаю, что все математики в основном думают примерно одинаково, и что Рамануян не являлся исключением.[52]

Здесь Харди формулирует свою собственную версию Тезиса Чёрча-Тюринга. В перифразе она звучит так:

ТЕЗИС ЧЁРЧА-ТЮРИНГА, ВЕРСИЯ ХАРДИ: На низшем уровне все математики изоморфны.

Это не приравнивает математический потенциал математиков к потенциалу общерекурсивных функций; для этого надо лишь показать, что умственные способности какого-либо одного математика не более общие, чем рекурсивные функции. Тогда, если вы принимаете Версию Харди, то вы должны принять ее для всех математиков. Далее Харди сравнивает Рамануяна с людьми, обладающими удивительной способностью к вычислениям.

Его память и его способности к вычислениям были весьма необычны, но их нельзя было назвать «ненормальными». Если ему нужно было перемножить два больших числа, он делал это обычным способом — правда, с необычной скоростью и аккуратностью — но не быстрее и не аккуратнее, чем любой другой математик, кто от природы быстро соображает и имеет опыт в вычислениях.[53]

Харди описывает то, что казалось ему выдающимися чертами интеллекта Рамануяна:

Кроме памяти, терпения и способности к вычислениям, он обладал такой способностью к обобщениям и к быстрому изменению своих гипотез и таким чувством формы, что в то время ему не было равных в его области.[54]

Те места этого отрывка, которые я выделил курсивом, кажутся мне блестящей характеристикой некоторых наиболее тонких и неуловимых черт разума вообще. Харди заключает, с некоторой грустью:

(В его трудах) не было той простоты и неизбежности, которая отличает величайшие математические открытия; они были бы более великими, если бы они были менее странными. Но зато его работы имели нечто, чего не может отрицать никто — они были глубоко и непобедимо оригинальны. Возможно, что он был бы более великим математиком, если бы его «поймали» и «приручили» в юности; он открыл бы много нового и, без сомнения, более важного. С другой стороны, он был бы менее похож на Рамануяна и более — на европейского профессора, и потеря от этого могла быть больше, чем выигрыш.[55]

По тому, как романтично говорит Харди о Рамануяне, видно, какое уважение он питал к своему индийскому коллеге.

Рис. 105. Шриниваса Рамануян и одна из его странных индийских мелодий.

Существует еще один тип людей, чьи математические способности кажутся необъяснимыми с рациональной точки зрения — так называемые «гениальные идиоты», могущие производить сложные расчеты в уме (или где бы там ни было) с быстротой молнии. Иоганн Мартин Захарий Дэйз, живший с 1824 по 1861 и работавший для нескольких европейских правительств, был выдающимся примером. Он не только мог перемножить в уме два стозначных числа, но также имел удивительное чувство количества. Он мог сказать, не считая, сколько овец на поле, сколько слов в предложении и так далее, приблизительно до 30 — в отличие от большинства из нас, имеющих это чувство примерно до 6. При этом Дэйз вовсе не был идиотом…