Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Почему мы считаем F фокусом, становится ясно, если представить параболу как кривое зеркало. Оказывается (хотя я не стану это доказывать), если направить луч света прямо на параболическое зеркало51, все отраженные лучи пересекутся в одной точке F, создавая сильно сфокусированное пятно света.
По такому же принципу работали старые лампы для загара, под которыми предыдущее поколение жарилось в те далекие времена, когда никто не беспокоился о раке кожи.
Теперь давайте обратимся к эллипсу. Он определяется как множество точек, для которых сумма расстояний от двух данных точек является константой. Если перевести это на простой язык, получим инструкцию, как нарисовать эллипс. Возьмите ручку, лист бумаги, чертежную доску, две канцелярские кнопки и кусочек веревки. Положите бумагу на доску. Несильно ее натягивая, прикрепите к ней концы веревки канцелярскими кнопками. Затем зацепите веревку карандашом и натяните ее, образуя угол, как показано ниже. Когда начнете рисовать, следите за тем, чтобы веревка все время была натянута. Начинайте вести карандашом по бумаге вокруг кнопок и, сделав полный круг, получите эллипс.
Линия, полученная в результате, полностью соответствует определению эллипса. Кнопки играют роль двух заданных точек. А сумма расстояний от них до любой точки на кривой всегда постоянна независимо от положения карандаша, потому что неизменно совпадает с длиной веревки.
Где же в этой конструкции фокусы эллипса? Там, где находятся кнопки. Я не буду это доказывать, но именно фокусы позволяют Люку и Дарту все время попадать в противника и загоняют шар в лузу при игре в бильярд на эллиптическом столе.
Вопрос: почему именно параболы и эллипсы имеют такую фантастическую способность фокусировать? Каким секретом они обладают?
Ответ: оба представляют собой поперечные сечения конуса.
Конус? Вы, возможно, не понимаете, причем тут он, но это именно то, что нам нужно. Просто до сих пор роль конуса была скрыта от нас.
Чтобы понять, причем здесь конус, представьте себе, как вы разрубаете его тесаком для разделки мяса, как если бы нарезали салями косо со все более увеличивающимся углом наклона ножа. Если конус разрезать горизонтально, то его сечением будет окружность.
Но если разрезать конус под небольшим наклоном, то его сечение из окружности превращается в эллипс.
Чем больше угол наклона сечения, тем длиннее и тоньше пропорции эллипса. И при критическом угле, равном углу наклона образующей конуса, эллипс превращается в параболу.
Так вот в чем секрет: парабола, в очень узком смысле, замаскировалась под эллипс. Неудивительно, что и она обладает чудесной способностью эллипса фокусировать. Это свойство по наследству передается из поколения в поколение от эллипсов к параболам.
На самом деле окружности, эллипсы и параболы — члены большой дружной семьи, известной под общим названием конические сечения — кривые, полученные путем разрезания поверхности конуса плоскостью. В семействе конических сечений есть еще одна сестра: если конус разрезается очень круто, под большим углом, чем угол наклона образующей конуса, то сечением станет кривая, называемая гиперболой. В отличие от всех остальных кривых, эта состоит из двух ветвей.
Эти четыре типа кривых покажутся еще более тесно связанными, если посмотреть на них с точки зрения алгебры. В алгебре они представлены в виде графиков уравнений второй степени:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,
где константы A, B, C, ... определяют, будет ли графиком данной функции окружность, эллипс, парабола или гипербола.
В расчетах эти кривые появляются при исследовании траекторий объектов, перемещающихся под воздействием силы тяжести. Поэтому совсем не случайно планеты солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам с одним из фокусов в центре Солнца; кометы проходят через солнечную систему по эллиптической, параболической или гиперболической траектории; а брошенный ребенком мяч летит по параболической дуге. Все это подтверждает существование конического заговора.
Вспомните об этом, когда в следующий раз будете играть в мяч.
15. Непременное условие
Друг моего отца по имени Дэйв, выйдя на пенсию, поселился в городке Юпитер во Флориде. Когда мне было лет двенадцать, мы всей семьей гостили у него, и он показал нам то, что произвело на меня неизгладимое впечатление.
Дэйву нравилось составлять график времени наступления рассветов и закатов52, которые он наблюдал в течение всего года. Каждый день он отмечал две точки на своем графике и после многих месяцев наблюдений заметил нечто любопытное. Эти две кривые выглядели как встречные волны. Когда одна из них поднималась, другая опускалась, а когда восход солнца наступал раньше, заходило оно позже.
Но были и исключения. В последние три недели июня, большей части декабря и в начале января время наступления восхода и захода каждый день было одинаково более поздним, что придавало волнам слегка однобокий вид.
Тем не менее закономерность в поведении кривых казалась очевидной: изменение промежутка между ними показывало увеличение или уменьшение продолжительности дня в различные времена года. Путем вычитания значений нижней кривой из значений верхней Дэйв также выяснил, как в течение года меняется продолжительность светового дня. К его удивлению, в этой кривой вообще не было однобокости. Она выглядела абсолютно симметричной.
Он увидел почти идеальную синусоиду. Если вы проходили тригонометрию53 в средней школе, то, возможно, помните, что рассказывали о ней. Хотя не исключено, что ваш учитель больше говорил о синусоиде как об основном инструменте количественного выражения отношения между сторонами и углами треугольника. Это исходные тригонометрические определения древних астрономов и геодезистов.
Тем не менее тригонометрия, опровергая свое слишком скромное название, в настоящее время выходит далеко за рамки измерения треугольников. С помощью количественного описания круга она также проложила путь анализу всех повторяющихся с определенной частотой явлений — от океанских волн до волн головного мозга. Это ключ к математике циклов.
Чтобы увидеть, как тригонометрия соединяет круги, треугольники и волны, представьте, что маленькая девочка катается круг за кругом на колесе обозрения.
Оказывается, они с мамой интересуются математикой, поэтому решили, что такое катание — прекрасная возможность для эксперимента. Девочка взяла с собой GPS-навигатор, чтобы каждое мгновение регистрировать высоту, на которой находится: и в самой высокой точке, и при движении обратно вниз к земле, и снова, двигаясь вверх и вниз. Результаты выглядят следующим образом:
Это синусоида. Она возникает всякий раз, когда кто-нибудь или что-нибудь движется по горизонтали или вертикали и одновременно по кругу.
На уроках тригонометрии вы обсуждали, как синусоидальная волна связана с синусоидальной функцией? Ну, хорошо, допустим, мы рассматриваем снимок девочки. В запечатленный момент она находится под некоторым углом, назовем его a, по отношению к пунктирной линии на рисунке.
Отметим, что гипотенуза прямоугольного треугольника и радиус колеса обозрения имеют равную длину. Тогда sin a (читается синус a) показывает нам, на какой высоте находится девочка. Точнее, sin a определяется высотой, на которой она пребывает, измеренной от центра колеса с учетом того, что девочка находится под углом a к пунктирной линии.
По мере вращения колеса обозрения угол a будет постепенно увеличиваться и в конце концов превысит 90°, и с этого момента мы больше не сможем его рассматривать как угол прямоугольного треугольника. Означает ли это, что тригонометрию далее нельзя применять?
Нет. Испугавшись, как обычно, математики просто расширили область определения синусоидальной функции до любого угла, а не только для углов менее 90°, а затем представили sin a как высоту расположения девочки выше или ниже центра круга.
График sin a продолжает расти, а затем убывать (и даже становится отрицательным) — это то, что мы подразумеваем под синусоидой. Такие колебания повторяются на протяжении каждых 360°, что соответствует полному обороту.
Такой способ трансформации кругового движения в синусоиду часто встречается в повседневной жизни, хотя не всегда заметен для нас. Гул люминесцентных ламп над головой в наших офисах напоминает, что где-то в энергосистеме генераторы вращаются со скоростью 60 оборотов в секунду, преобразуя свое вращательное движение в переменный ток, то есть в электрические синусоидальные волны, от которых во многом зависит современная жизнь. Когда вы говорите, а я вас слушаю, органы наших тел используют синусоиды: вашего — при генерации звука путем вибраций голосовых связок, а моего — посредством колебаний волосков в ушах, принимающих звуки голоса. Если мы откроем наши сердца этим синусоидам и настроимся на их молчаливый напев, то у них появится сила сдвинуть нас. В этом есть нечто мистическое.
