Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон
Будучи главой Академии, Платон поручал конкретное преподавание другим людям. Одним из них был Теэтет, и есть предположение, что он преподавал в Академии на протяжении пятнадцати лет36.
Именно от Теэтета Платон узнал о пяти правильных телах. Платон оценил их важность для математики и красоту. Как и многие более поздние мыслители, он полагал, что у такой великолепной совокупности пяти объектов должно быть некое космическое значение. Платон был знаком с представлением о Вселенной, выдвинутым Эмпедоклом (ок. 492–432 до н. э.), который утверждал, что вся материя создана из четырех первичных элементов: земли, воздуха, огня и воды. Эти четыре элемента играют важную роль в диалоге Платона «Тимей» — рассказе о вымышленном споре между Сократом, Гермократом, Критием и Тимеем. В длинном монологе пифагорейца Тимея Локрийского Платон изложил хорошо проработанную атомистическую модель, в которой каждый из четырех элементов, которые Платон называл телами, или корпускулами, ассоциируется с одним из правильных многогранников:
Земле мы, конечно, припишем вид куба, ведь из всех четырех родов наиболее неподвижна и пригодна к образованию тел именно земля, а потому ей необходимо иметь самые устойчивые основания… Значит, мы не нарушим правдоподобия, если назначим этот удел земле, а равно и в том случае, если наименее подвижный из остальных видов отведем воде, наиболее подвижный — огню, а средний — воздуху; далее, наименьшее тело огню, наибольшее — воде, а среднее — воздуху, и, наконец, самое остроугольное тело — огню, следующее за ним — воздуху, а третье — воде.
Из этих положений Тимей делает вывод, что огню соответствует тетраэдр, воздуху — октаэдр, а воде — икосаэдр. Пятому правильному телу, додекаэдру, не может соответствовать ни один элемент. Тимей заключает, что «его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»37.
Далее Тимей описывает взаимодействия элементов. Взаимодействия основаны на разрезании и раздроблении: более острые элементы склонны к разрезанию, а менее острые — к раздроблению. Мы описали бы это как химические реакции между огнем, воздухом и водой (но не землей, потому что у нее квадратные грани). Элементы разрушаются, и треугольные грани изменяют форму, создавая другие элементы. Например, один элемент воды (состоящий из 20 равносторонних треугольников) можно разложить на части и образовать из них три элемента огня (3 4 = 12 треугольников) и один элемент воздуха (8 треугольников). Тимей замечает, что наличие разных видов материи можно объяснить неодинаковостью размеров элементов. Он также не оставляет без внимания явление фазового перехода: плавление и отвердевание. Например, он говорит, что металл — это плавкая вода (в отличие от жидкой воды), составленная из крупных и однородных икосаэдров, благодаря которым она кажется твердой. В результате вторжения острых тетраэдров икосаэдры разделяются, металл расплавляется и приобретает способность течь, как жидкость.
Веру в то, что земля, воздух, огонь и вода — четыре первичных элемента, принял и развил Аристотель (384–322 до н. э.), ученик Платона. Именно Аристотель уравнял пятый элемент с эфиром, или квинтэссенцией, и утверждал, что это тот материал, из которого сделаны небесные тела.
Древнегреческая атомистическая модель оказалась настолько влиятельной, что оставалась общепринятой до рождения современной химии спустя два тысячелетия. Только после того как ирландский ученый Роберт Бойль (1627–1691) опубликовал в 1661 году книгу «Скептический химик», эта модель начала трещать по швам.
Теперь греческая теория химии осталась далеким воспоминанием, но ее наследие все еще с нами. Мы все еще говорим о «exposed to the elements»[4], когда выходим на улицу, где дует ветер (воздух) или идет дождь (вода). Первичные элементы явно и неявно встречаются во многих литературных произведениях, предметах искусства, мистических верованиях, играх в стиле фэнтези и т. д. Некоторые даже заходят настолько далеко, что сопоставляют с элементами добившиеся успеха четверки людей (огонь: Джон Леннон, вода: Пол Маккартни, воздух: Джордж Харрисон, земля: Ринго Стар). Со времен платоновой интерпретации правильных тел в «Тимее» пять правильных многогранников называются платоновыми телами.
Приложения к главе
29. Simmons (1992), 20.
30. Burkert (1972), 109.
31. Quoted in van der Waerden (1954), 94.
32. Quoted in Euclid (1926) vol. 3, 438.
33. Quoted in van der Waerden (1954), 165.
34. Taylor (1929), 5.
35. Boyer and Merzbach (1991), 84.
36. Allan (1975).
37. Plato (2000), 46.
Глава 5
Евклид и его «Начала»
В одиннадцать лет я начал изучать Евклида под руководством брата. Это было одно из величайших событий моей жизни, столь же ослепительное, как первая любовь. Я и представить себе не мог, что в мире существует нечто столь восхитительное.
— Бертран Рассел38
Когда мы думаем о греческой геометрии, на ум сразу приходит Евклид и его шедевр, «Начала». В древности Евклида часто называли просто «Геометр». Очень жаль, что нам так мало известно о его жизни. Мы не знаем, ни где он родился, ни даже более-менее точную дату рождения или смерти. Авторы большинства книг по истории математики не рискуют высказывать догадки о точных датах и пишут лишь, что он жил приблизительно в 300 году до н. э.
Рис. 5.1. Евклид глазами художника
Евклид изучал математику и познакомился с великими работами Теэтета и других платоников в Академии Платона в Афинах. Впоследствии он перебрался в Александрию. Это было то время, когда создавались величайшая библиотека и музей. Там Евклид основал поразительно успешную и авторитетную школу математики.
Евклид написал несколько книг, но нетленной славой обязан одной из них. Приблизительно в 300 году до н. э. из-под его пера вышел труд всей его жизни: «Начала». Эта книга была написана как учебник элементарной геометрии, теории чисел и геометрической алгебры. Неизвестно, внес ли Евклид свой вклад в математику; почти все результаты, излагаемые в «Началах», были ранее доказаны другими людьми. Прокл писал, что Евклид «собрал многое за Евдоксом, усовершенствовал многое за Теэтетом, а помимо этого привёл к неопровержимости те доказательства, которые раньше доказывались менее строго»39.
«Началам» много не хватает с методической точки зрения: математика не помещена в исторический контекст, отсутствуют побудительные мотивы, не приведены приложения. Но способ изложения и логический подход к материалу неизмеримо превосходят все, что было сделано до того. Евклид начал с пяти «очевидных» допущений и на основе этих простых постулатов выстроил величественную теорию геометрию. Прокл превозносил «Начала» в таких словах:
