Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Мы еще не выяснили всех последствий добавления —G в качестве аксиомы ТТЧ Дело в том, что ~G утверждает, что у G имеется доказательство! Как может какая-либо система устоять, когда одна из ее аксиом утверждает, что ее собственное отрицание имеет доказательство? Тут-то мы попали в переделку! Однако все не так плохо, как кажется Пока мы строим только конечные доказательства, нам не удастся доказать G. Таким образом, кошмарного столкновения между G и ее отрицанием —G не произойдет никогда Супернатуральное число I не будет причиной несчастья. Однако нам придется привыкнуть к мысли, что теперь истинно ~G (утверждающее, что у G есть доказательство), в то время как G (утверждающее, что у G нет доказательства) ложно. В стандартной теории чисел дело обстоит наоборот — но там нет никаких супернатуральных чисел. Обратите внимание на то, что супернатуральная теорема ТТЧ — а именно, G — может утверждать нечто ложное, но все натуральные теоремы остаются истинными.

Я хотел бы поделиться с вами одним интересным и неожиданным фактом по поводу супернатуральных чисел — при этом я оставлю этот факт без доказательства. (Так как сам его не знаю.) Этот факт напоминает о принципе неопределенности Гейзенберга в квантовой механике. Оказывается, что супернатуральные числа можно «индексировать» простым и естественным образом, ассоциируя с каждым из них тройку обыкновенных чисел (включая отрицательные). Таким образом, наше I может получить индекс (9,-8,3), а следующее за ним I+1 — индекс (9,-8,4). Не существует какого-то одного способа индексировать все супернатуральные числа: у разных методов есть свои плюсы и минусы. Некоторые схемы индексации позволяют легко вычислить тройной индекс для суммы двух супернатуральных чисел, исходя из индексов двух слагаемых. Другие схемы позволяют нам с легкостью вычислить индекс произведения двух супернатуральных чисел, исходя из индексов двух множителей. Но никакая из существующих схем не позволяет нам вычислить и то, и другое. Если индекс суммы вычисляется с помощью рекурсивной функции, то индекс произведения не будет рекурсивной функцией — и наоборот, если индекс произведения — рекурсивная функция, то индекс суммы — нет. Таким образом, супернатуральные детишки, изучающие в своей школе сложение, не смогли бы проходить таблицы умножения — и наоборот! Знать и то и другое одновременно невозможно.

Можно пойти еще дальше теории супернатуральных чисел и рассмотреть супернатуральные дроби (отношение двух супернатуральных чисел), супернатуральные действительные числа, и так далее. На самом деле, вычисления могут делаться на новой основе если мы введем понятие действительных супернатуральных чисел. Бесконечно малые величины, такие как dx и dy, этот кошмар для математиков, могут быть с легкостью объяснены если рассматривать их как противоположность бесконечно больших действительных чисел! Некоторые теоремы высшей математики могут быть доказаны более интуитивно с помощью «нестандартного анализа».

Нестандартная теория чисел при первом знакомстве сбивает с толку. Но ведь и неэвклидова геометрия тоже странная штука! В обоих случаях так и хочется спросить: «Но какая из этих двух соперничающих теорий правильна? Какая из них выражает истину?» В некотором смысле, ответа на этот вопрос не существует. (Но в другом смысле, о котором мы поговорим позже, на этот вопрос можно дать ответ.) То, что ответа нет, объясняется тем фактом, что соперничающие теории, хотя они и пользуются одинаковыми терминами, говорят о разных вещах. Поэтому они соперники только по видимости, точно так же как эвклидова и неэвклидова геометрии. В геометрии слова «точка», «линия» и так далее — неопределенные термины, и их значения определяются той аксиоматической системой, в рамках которой они в данный момент используются.

То же самое можно сказать о теории чисел. Решив формализовать ТТЧ, мы заранее выбрали термины для интерпретации — например, «число», «плюс», «умножить» и так далее. Приступив к формализации, мы тем самым согласились работать с любыми значениями, которые эти термины могут принять. Но оказывается, что, как и Саккери, мы не были готовы к сюрпризам. Мы думали, что нам известно, какая теория чисел истинна, правильна и единственна, и не подозревали о том, что ТТЧ не сможет ответить на некоторые вопросы о числах — вопросы, на которые оказалось возможным ответить ad libitum только расширив теорию чисел в разных направлениях. Таким образом, у нас нет основания утверждать, что теория чисел «в действительности» имеет ту или иную форму, так же как мы не можем сказать, существует ли в действительности квадратный корень из -1.

Против этого можно использовать следующий довод. Предположим, что физические эксперименты в реальном мире могут быть более экономно объяснены с помощью одного определенного варианта геометрии. В таком случае, у нас было бы основание называть именно этот вариант «истинной» геометрией. С точки зрения физика, желающего иметь дело с «правильной» геометрией, имеет смысл различать между «истинным» и остальными вариантами геометрии. Но к этому нельзя подходить слишком упрощенно. Физики всегда имеют дело с приближенными или идеализированными ситуациями. Например, моя собственная диссертация, о которой я упомянул в главе V, была основана на крайней идеализации проблемы кристаллов в магнитном поле. Результатом этого были некие красивые и симметричные математические модели. Несмотря на искусственность модели — или, скорее, благодаря ей — в графике ясно отразились некоторые ее основные черты. Это помогает представить, что может происходить в более реалистических ситуациях. Без упрощающих допущений, использованных мною при построении графика, такие догадки были бы невозможны. Такие ситуации встречаются в физике очень часто: физики используют «воображаемую» ситуацию, чтобы узнать о глубоко спрятанных чертах действительности. Поэтому необходимо быть осторожным, утверждая, что геометрия, используемая физиками, представляет собой «истинную геометрию»; на самом деле, физики используют несколько различных вариантов геометрии, в каждой данной ситуации выбирая наиболее простой и подходящий.

Более того, физики изучают не только трехмерное пространство, в котором мы обитаем. Объектом их изучения являются целые семьи «абстрактных пространств», в которых они производят свои расчеты Геометрические характеристики этих пространств весьма отличны от характеристик того пространства, в котором мы живем. Кто может утверждать, что «истинная» геометрия описывает именно то пространство, в котором Уран и Нептун кружатся вокруг солнца? Чем оно лучше «Гильбертова пространства», в котором зыблются волновые функции квантовой механики — «пространства момента», где обитают компоненты Фурье — «взаимного пространства», где резвятся волны-векторы, «фазового пространства», в котором бурлят конфигурации, состоящие из многих частиц, и так далее? Нет причины для того, чтобы все эти геометрии были одинаковыми, точнее, они никак не могут быть одинаковыми! Таким образом, для физиков очень важно существование различных «соперничающих» геометрий вариант.

Довольно о геометрии — перейдем теперь к теории чисел. Так ли это важно и необходимо, чтобы существовали разные варианты теории чисел? Если бы вы спросили банковского работника, думаю, что он бы сначала не поверил, что вы говорите серьезно — а потом пришел в ужас. Как 2 + 2 может быть отлично от 4? Если бы 2 + 2 не было равно 4, разве не зашаталась бы мировая экономика от невыносимой неуверенности, не развалилась бы она от подобного удара? На самом деле, этого не произошло бы. Прежде всего, нестандартная теория чисел не угрожает старому доброму факту, что дважды два — четыре. Она отличается от привычной нам теории чисел только тем, как она обращается с понятием бесконечности. В конце концов, любая теорема ТТЧ остается теоремой в любой расширенной версии ТТЧ! Так что банкирам не надо волноваться о том что с приходом нестандартной теории чисел в финансовом мире воцарится хаос.

Боязнь что новые варианты математических теорий изменят старые, хорошо известные факты, отражает непонимание взаимоотношений математики с действительностью. Математика дает нам ответы на вопросы о реальном мире только после того, как мы выбрали, какой тип математики мы используем в данный момент. Даже если бы существовал соперничающий вариант теории чисел, использующий символы 2, 3 и +, в котором 2 + 2 = 3 было бы теоремой, у банкиров не было бы причин выбирать именно этот вариант! Эта теория не отражает того, как ведут себя деньги. Мы приспосабливаем математику к действительности, а не наоборот. Например, мы не используем теорию чисел, чтобы описывать облака поскольку там не подходит само понятие целых чисел. Одно облако может соединиться с другим, в результате чего получается не два, а одно облако! Это не доказывает, что 1 плюс 1 равняется 1, это доказывает лишь то, что наше понятие «один» не годится для «облачного исчисления».