Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

Нельзя отрицать, что хаос открыл новый путь в науке. Эту новую науку, объединяющую множество дисциплин, математики называют теорией хаоса, или теорией динамических систем, физики — нелинейной динамикой, все остальные — нелинейной наукой. Это наука об эффекте бабочки, о чувствительности к начальным условиям, о случайных, беспорядочных и неправильных траекториях, о непериодическом и нестабильном поведении, о гомоклинических орбитах, о растяжении и складывании траекторий, о странных аттракторах и многом, многом другом. Войдем же в дверь, которую открыла перед нами теория хаоса.

* * *

ХАОС НА ЗЕМЛЕ И НА НЕБЕ

Если Роберт Мэй представил парадигму дискретной хаотической динамической системы в одном измерении (логистическое отображение), то французский астроном Мишель Эно предложил парадигму дискретной хаотической динамической системы в двух измерениях — так называемое отображение Эно. В 1976 году, спустя несколько лет после того, как свет увидела работа Лоренца с описанием модели непрерывной хаотической динамической системы, Эно опубликовал статью «Двухмерное отображение со странным аттрактором», в которой представил преобразование плоскости, определяемое формулой

где а и b — две постоянные, которые обычно принимаются как а = 1,4 и b = 0,3. Это отображение Н представляет собой упрощенную версию сечения Пуанкаре для аттрактора Лоренца.

Если мы применим Н несколько раз подряд к квадрату, то увидим, как он будет менять форму: сначала он будет превращаться во все более вытянутый четырехугольник, затем — в бесконечно запутанную подкову. Эта бесконечно запутанная структура (фрактал), к которой приближаются последовательные итерации Н, и будет странным аттрактором Эно.

Хотя Эно утверждал, что описал странный аттрактор (то есть аттрактор, имеющий фрактальную природу), правильность его выводов подтвердили шведские математики Майкл Бенедикс и Леннарт Карлесон лишь в 1991 году.

Аттрактор Эно имеет фрактальную структуру, то есть обладает самоподобием (он повторяется в различных масштабах снова и снова).

Глава 3. Но, господин математик, что такое этот ваш детерминированный хаос?

Но, господин математик, что такое этот ваш детерминированный хаос?

Кто исчислит песок Иакова и число четвертой части Израиля?

Мефистофель: Как предречь игру судьбины?

Бог и Дьявол сошлись в одном: способность человека предсказывать будущее безнадежно ограничена. Теория относительности Эйнштейна избавила ученых от иллюзий об относительном пространстве и времени, описанных в классической физике Ньютона, квантовая теория Бора, Планка и Гейзенберга, в свою очередь, покончила с мечтами о точных измерениях, а теория хаоса в одночасье уничтожила фантазии о возможностях предсказания будущего.

Самым важным ударом по традиционной мысли стало понимание того, что предсказать поведение многих систем на больших интервалах времени в принципе невозможно, так как решения уравнений, описывающих движение этих систем, крайне неустойчивы. Сложное поведение подобных систем вызвано не внешним воздействием, не обилием степеней свободы и не квантовыми эффектами. Уравнения, описывающие движение системы, детерминированы, однако их решения обладают стохастическими свойствами. Это явление называется детерминированным хаосом.

Попытаемся объяснить детерминированный хаос с точки зрения математики, ведь, как говорил Чарльз Дарвин, «математика наделяет человека новым, шестым чувством».

Хаотические и сложные системы на протяжении многих десятилетий были забыты официальной наукой. Наука XX века позволила понять, из какой ткани соткана Вселенная, познать относительность пространства-времени и микрокосм квантовой механики (его можно сравнить с игровым полем), а современная наука помогает лучше понять, как устроена наша реальность (то есть фишки на игровом поле). Однако подлинное величие науки в конечном итоге проявляется на практике, и лишь теперь, в начале XXI века, мы постепенно начинаем осознавать важность теории хаоса и наук о сложности.

В действительности теория хаоса — лишь одна из так называемых наук о сложности, так как хаотические системы — это всего одна из разновидностей сложных систем. Существуют и другие науки о сложности: фрактальная геометрия, теория катастроф, нечеткая логика и другие. Говорят, что описать класс систем, изучаемых в теории хаоса, сложно, потому что они находятся на полпути между порядком и беспорядком, словно между двух огней. Если крайне упорядоченные системы (например, хрусталь) или очень неупорядоченные системы (например, дым) просты и описать их несложно, то описать промежуточные системы сложнее всего. В частности, хаотические системы — это нелинейные детерминированные системы, обладающие непериодическим поведением, в силу которого они становятся непредсказуемыми. Согласно китайской пословице, взмах крыльев бабочки можно ощутить на другой стороне Земли. Или, как писал математик Блез Паскаль, будь нос Клеопатры чуть покороче, облик Земли стал бы иным: Октавиан влюбился бы в Клеопатру и не стал бы первым римским императором. Кроме того, как вы увидите чуть позже, хаотические системы вездесущи: их можно встретить в математике, физике, астрофизике, метеорологии, биологии и медицине. Иными словами, почти все (или даже все) реальные системы обладают хаотической динамикой.

Вы уже увидели, что хаос — это феномен, изучаемый в математической теории динамических систем. Динамическая система — это математическая модель, применяемая в естественных или общественных науках, которая представляет собой уравнение, описывающее изменение состояния системы с течением времени.

Существуют дискретные и непрерывные динамические системы. В дискретных системах время принимает набор фиксированных значений (t = 0, 1, 2, 3 …). Так, дискретная динамическая система формально задается уравнением в конечных разностях — формулой, которая описывает, как вычислить на основе исходного значения следующее, за ним — следующее, и так далее, до бесконечности. Уравнение в конечных разностях — это уравнение вида

где f — функция, описывающая, как вычисляется хn+1 на основе х. Иными словами, эта функция указывает, как вычислить х1 через x0, х2 через х1, х3 через х2 и так далее.

Уравнение в конечных разностях — это формула, выражающая значение переменной на следующем шаге через ее значение на предыдущем шаге. Так, для данного начального условия x0  решением динамической системы будет траектория {x0, х1, x2, х3 …}. Чтобы получить ее, нужно применить f к х0 некоторое число раз.

В непрерывных динамических системах время не принимает набор фиксированных значений, а течет непрерывно, как и в реальном мире. Непрерывные динамические системы описываются дифференциальными уравнениями, подобными приведенным в предыдущих главах. Дифференциальные уравнения — это формулы, выражающие скорость измерения переменной в зависимости от ее текущего значения.

В математическом анализе хаоса мы для простоты будем рассматривать дискретные динамические системы, так как они позволят вам понять суть вопроса.

Существует теорема, согласно которой непрерывная динамическая система будет хаотической тогда и только тогда, когда существует такое сечение Пуанкаре, что в нем можно определить дискретную динамическую систему, которая также будет хаотической.

Существует особый класс дискретных динамических систем, обладающих очень важной характеристикой: эти системы являются нелинейными. Система называется линейной, если функция f является линейной, то есть функцией первой степени, следовательно, имеет вид f(х) = ах + Ь. Если же функция f нелинейная (то есть ее степень больше 1) и, к примеру, имеет вид f(х) = ах2 + Ьх + с, то такая система считается нелинейной.

Несмотря на то что в нелинейных динамических системах значения величин, характеризующих систему, определяются значениями величин в предыдущий момент времени (такая система называется детерминированной), выходные значения непропорциональны входным. Микроскопические изменения в начальных условиях могут вызвать значительные изменения конечного состояния системы. Именно эта несоразмерность между причинами и следствиями объясняет, почему поведение подобных систем столь разнообразно: некоторые из них описывают фиксированные точки, периодические, квазипериодические и, наконец, хаотические орбиты.