Энрике Грасиан - Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности
Портрет Гаусса в молодости.
Во время политической нестабильности он остался верен герцогу, своему покровителю. Гаусс был единственным ребенком в семье и женился лишь в возрасте 32 лет на Иоганне Остгоф. У них было трое детей, младший из которых умер через несколько месяцев после смерти Иоганны.
В 1810 г. Гаусс женился во второй раз на Вильгельмине Вальдек, дочери университетского профессора права. Вильгельмина родила ему еще троих детей. Гаусс умер в Гёттингене 23 февраля 1835 г. К тому времени как ученый он был известен во всем мире.
Литография Эдуарда Ритмюллера, изображающая уже знаменитого Гаусса на террасе обсерватории в Гёттингенском университете.
Первая гипотеза
В записной книжке, которая была у Гаусса в возрасте 14 лет, имеется такая запись:
«Простые числа, меньшие
Гаусса заинтересовал длинный список простых чисел, приведенный в конце логарифмических таблиц, мальчик был очаровал их хаотичностью. Однако он уже решил для себя, что не его это дело — искать формулу, предсказывающую появление следующего простого числа. Гаусс чувствовал, что такие попытки, скорее всего, закончатся провалом. Вместо этого он решил посчитать, сколько простых чисел находится между двумя заданными числами или, другими словами, сколько простых чисел встречается среди первых десяти, ста, тысячи и десяти тысяч чисел, что позволило бы ему оценить частоту, с которой простые числа появляются в последовательности натуральных чисел.
Мы уже знаем, что первые десять натуральных чисел содержат только четыре простых числа (2, 3, 5 и 7). От десяти до ста — двадцать одно простое число. Для выражения этого количества Гаусс ввел следующую функцию, которую он обозначил π(x):
π(x): = количество простых чисел, меньших, чем х.
* * *
УЧЕНЫЙ ДО МОЗГА КОСТЕЙ
Гаусс занимался не только математикой. Он получил важные результаты, исследуя магнитное поле Земли, притяжение эллипсоидов, а также сделал интересные открытия в теории электромагнетизма, капиллярности и диоптрики. В области геодезии Гаусс изобрел гелиостат (устройство для посылания сигналов с помощью отраженного света). Любопытный случай произошел в 1833 г., когда Гаусс работал с Вильгельмом Вебером (1804–1891), проводя исследования по электромагнетизму. Ученый создал электрическое устройство, способное передавать сообщения со скоростью света. Он изобрел не что иное, как электрический телеграф.
Памятник Гауссу и Веберу в Гёттингене.
* * *
Таким образом, π(10) = 4. А чтобы вычислить π(15), мы должны посчитать количество простых чисел, которые меньше 15, то есть
2, 3, 5, 7, 11, 13.
Так что π(15) = 6.
Символ π, который используется в этой формуле, более известен как число пи, но в данном контексте он не имеет этого математического смысла. Функция могла быть обозначена и любым другим символом, например, С(х). Действительно, молодой Гаусс сделал не самый лучший выбор. Вполне вероятно, что он просто использовал первый пришедший в голову символ. Большинству людей обозначение π(х) будет автоматически напоминать о связи с длиной окружности, но в данном контексте она не имеет ничего общего с простыми числами. В любом случае, мы будем продолжать использовать это обозначение.
Затем Гаусс построил таблицу с двумя столбцами. В левом он записал степени числа 10, а в правом — значения функции π(x).
В следующей таблице приведены результаты для первых десяти миллиардов.
Конечно, во времена Гаусса результаты были гораздо менее точны, и у него не было такого диапазона значений.
Ясно, что число π(x) будет увеличиваться, но как именно, мы не знаем. Добавим еще один столбец, показывающий долю простых чисел, меньших заданного числа.
Для этого вычислим отношение
π(x)/x
Мы знаем, что имеется 168 простых чисел, меньших 1000. Их доля составит
Это число говорит нам, что 16,8 % чисел между 1 и 1000 являются простыми. Оставшиеся 83,2 % представляют собой составные числа. Добавим этот третий столбик в таблицу:
Мы видим, что доля простых чисел уменьшается. Это важный, хотя и предсказуемый факт. Число является простым, если оно не делится ни на одно из чисел, предшествующих ему. Например, чтобы число 13 было простым, оно не должно делиться ни на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ни на 12. Чем больше число, тем больше количество возможных делителей, и, следовательно, тем реже будут встречаться простые числа. Но Гаусс, конечно, не думал, что отсюда следует, что простые числа в конце
концов, закончатся, так как он прекрасно знал о существовании основной теоремы арифметики, с помощью которой Евклид доказал, что множество простых чисел бесконечно.
У Гаусса третий столбец таблицы содержал не значения π(x)/x, а обратные им х/π(x).
Из этой таблицы видно, что, например, среди первых ста чисел одно из четырех — простое, а в первой тысяче — одно из шести, и так далее. Это, конечно, приблизительная оценка. Таблица не гарантирует, что среди первых ста чисел каждое четвертое число простое, что можно легко проверить с помощью решета Эратосфена. Таким образом, приведенная выше таблица лишь указывает приблизительное вероятное расстояние между простыми числами.
Гаусс заметил, что в третьем столбце значения растут каждый раз примерно на две единицы. Проявляется следующая закономерность: с каждой строкой диапазон чисел увеличивается в десять раз, а доля простых чисел — на две единицы. Эта связь между произведением и суммой характерна для логарифмов. У Гаусса таблицы логарифмов и список простых чисел были в одной и той же книге. Благодаря этому у него и возникла идея нового инструмента исследований. Логарифмы стали новым объективом на математическом телескопе. Как мы уже видели на примере логарифмов по основанию 10, каждый раз при умножении числа на 10 десятичный логарифм этого числа увеличивается на единицу, что означало, что это основание не совсем вписывалось в схему Гаусса, и поэтому он решил взять логарифм по основанию е, числу, аналогичному числу π. Его примерное значение равно:
е = 2,71882818284590452354…
Это бесконечное десятичное число появляется в математике примерно так же часто, как π. Логарифмы по основанию е называются «натуральными логарифмами».
По вышеприведенному определению, натуральные логарифмы следовало бы обозначать loge, однако на калькуляторах имеются две отдельные клавиши: log — для десятичных логарифмов, а In — для логарифмов по основанию е.
Таким образом, Гаусс сформулировал следующую гипотезу: при больших х значения π(x)/x приближаются к 1/ln x, что можно записать как
π(x)/x примерно = 1/ln x (для больших значений х).
Этот результат является оценкой частоты, с которой простые числа встречаются в последовательности натуральных чисел. Предположим, что Р(N) — число простых чисел, меньших N. Формула утверждает, что с ростом N отношение N/P(N) приближается к натуральному логарифму N.
Это самый простой способ применения формулы Гаусса, если мы хотим оценить, сколько существует простых чисел, меньших, чем заданное число. Например, нам задали следующий вопрос: «Сколько простых чисел в первой тысяче натуральных чисел?»
Возьмем калькулятор и выполним следующие действия:
1) наберем число 1000;
2) нажмем клавишу In;
3) нажмем клавишу 1/х;
4) умножим результат на 1000.
Мы получим число 144,76482730108394255037630630554, что позволит нам дать следующий ответ: «В первой тысяче натуральных чисел встречается примерно 145 простых чисел». Это, конечно, лишь приблизительная оценка, так как на самом деле в первой тысяче 168 простых чисел. Тем не менее, мы должны иметь в виду, что теорема дает все более точный результат при увеличении числа N, и уже с большей уверенностью мы можем сказать, что, например, в первом миллиарде 5,1 % натуральных чисел являются простыми.
Теперь мы можем расшифровать, что именно Гаусс имел в виду, когда оставил заметку в своей записной книжке:
«Простые числа, меньшие
«Простые числа, меньшие а» — то же самое, что и π(a);
«lа» в современных терминах записывается как In a
