Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис

В более простых (и в наше время менее правдоподобных) объяснениях эффективности математики повторяются тезисы, которые математики выдвигали с античных времен и примерно до середины XIX в. И сейчас находятся люди, продолжающие верить в то, что природа устроена на математических началах. Скрепя сердце им приходится признать несовершенство прежних математических теорий, созданных для объяснения физических явлений. В то же время такие люди полагают, что при непрерывном усовершенствовании математические теории могут не только охватить более широкий круг явлений, но и достигнуть более тонкого согласия с наблюдениями. Так, механика Ньютона пришла на смену механике Аристотеля, а специальная теория относительности внесла поправки в ньютоновскую механику. Разве из исторического развития науки не следует, что окружающий нас мир основан на неких определенных принципах и что человеческий разум все более приближается к их познанию? Именно такое объяснение взаимосвязи между математикой и естествознанием дал Шарль Эрмит:

Если я не ошибаюсь, существует мир, представляющий собой собрание математических истин и доступный нам только через наш разум, — точно так же существует мир физической реальности. Как один, так и другой не зависят от нас, они оба — творение господа бога и различимы лишь по слабости нашего разума, тогда как на более высокой ступени мышления они суть одно и то же. Синтез этих двух миров отчасти проявляется в чудесном соответствии между абстрактной математикой, с одной стороны, и всеми отраслями физики — с другой.

В письме к Лео Кёнигсбергеру Эрмит добавил, что «эти понятия анализа существуют самостоятельно вне нас, образуя единое целое, лишь часть которого беспрепятственно, хотя и несколько загадочно, открывается нам; это целое ассоциируется с другой совокупностью объектов, которые мы воспринимаем органами чувств».

Джеймс Джинс в «Загадочной Вселенной» также разделяет неоднократно высказывавшиеся ранее взгляды: «…судя по некоторым специфическим особенностям своего творения, великий создатель Вселенной начинает представать перед нами как чистый математик». Однако до этого Джинс счел необходимым заявить, что «математика, созданная человеком, пока еще не вошла в контакт с первозданной реальностью». На последующих страницах книги Джинс становится более догматичным в своих высказываниях:

Природа, по-видимому, великолепно осведомлена о правилах чистой математики в том виде, в каком их сформулировали в своих исследованиях ученые, руководствуясь внутренним сознанием и не полагаясь особо на свой опыт общения с внешним миром… Во всяком случае не подлежит сомнению, что природа и наши сознательные математические умы действуют по одним и тем же законам.

Впоследствии Эддингтон изменил свои взгляды и стал считать, что природа основана на математических началах и что наш разум способен построить чистую науку из априорного знания («Фундаментальная теория», 1946). Эта наука — единственно возможная, любая другая содержала бы логические противоречия. Разум не может познать все детали науки, но создать общие законы — в его силах. Так, чистый разум говорит нам, что свет должен распространяться с конечной скоростью. Даже природные константы, такие, как отношение массы протона к массе электрона, могут быть определены из априорных соображений. Априорное знание не зависит от фактически произведенных наблюдений и более достоверно, чем экспериментальное знание.

Джордж Дэвид Биркгоф (первый выдающийся математик американского происхождения) в 1941 г. без колебаний повторил и поддержал мысль Эддингтона:

…Во всей системе законов физики не существует ничего, что нельзя было бы однозначно вывести из теоретико-познавательных соображений. Разум, не знающий ничего о нашей Вселенной, но знакомый с нашей системой мышления, с помощью которой человеческий разум интерпретирует для себя содержание чувственного опыта, смог бы достичь всего знания физики, которого мы достигли с помощью эксперимента… Например, он мог бы путем умозаключений прийти к выводу о существовании и свойствах радия, но не смог бы определить размеры Земли.

Не вполне адекватное, но разумное объяснение эффективности математики предложил в 1918 г. молодой Эйнштейн:

…История показала, что из всех мыслимых построений в данный момент только одно оказывается преобладающим. Никто из тех, кто действительно углублялся в предмет, не станет отрицать, что теоретическая система практически однозначно определяется миром наблюдений, хотя никакой логический путь не ведет от наблюдений к логическим принципам теории. В этом суть того, что Лейбниц удачно назвал «предустановленной гармонией».

Позиция Эйнштейна в зрелые годы отражена в его книге «Мир, каким я вижу его» (1934), в которой он, в частности, утверждал следующее:

Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать нам соответствующие математические понятия, но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность.

Свое убеждение Эйнштейн подтверждает и в следующем известном высказывании о боге: «Я не верю, что бог играет в кости». {181}Если же бог и играет в кости, то, как сказал Ральф Вальдо Эмерсон, «кости господа бога налиты свинцом». В приведенном выше высказывании Эйнштейн не утверждает, что выведенные нами математические законы верны. Он лишь констатирует, что какие-то математические законы существуют вне нас — и мы надеемся приблизиться к ним возможно более. По словам самого Эйнштейна, «господь бог изощрен, но не злобен».

Один из крупнейших историков и философов науки, Пьер Дюгем, в своей книге «Цель и структура физической теории», подобно Эйнштейну, проходит эволюцию от сомнений к положительным утверждениям. Дюгем первым описал физическую теорию как «абстрактную систему, предназначенную для суммирования и логической классификации определенной группы экспериментальных законов и не претендующую на их объяснение». По Дюгему, теории носят приближенный, временный характер и «лишены ссылок на объективную реальность». Физика имеет дело лишь с данными чувственного опыта, и нам необходимо избавиться от иллюзии, будто теоретизируя, мы «срываем покров с данных чувственного опыта». Когда гениальный ученый привносит математический порядок и ясность в хаотическое нагромождение чувственных восприятий, он достигает своей цели лишь ценой замены сравнительно доступных разуму понятий символическими абстракциями, не открывающими истинной природы окружающего нас мира. Тем не менее Дюгем заканчивает утверждением: «Невозможно поверить, что этот порядок и эта организация [вносимые математической теорией] не являются отражением реального порядка и реальной организации». Мир построен великим архитектором по математическому плану. Бог вечно геометризует, и человеческая математика описывает математические начала, на которых зиждется мир.

Герман Вейль был уверен в том, что математика отражает порядок, существующий в природе. В одном из выступлений Вейль сказал:

В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. Именно этим объясняется, почему природные явления удается предсказывать с помощью комбинации наблюдений и математического анализа. Сверх всяких ожиданий убеждение (я бы лучше сказал, мечта!) в существовании гармонии в природе находит все новые и новые подтверждения в истории физики.