Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Рис. 11.46. Представление зависимости температуры u(х) в разные моменты времени — сверху в виде анимационного рисунка, снизу в виде трехмерного графика

Рис. 11.47 показывает задание процедуры для вычисления значения температуры в численном виде для заданных x и t, а также дает еще один пример вычисления зависимости u(х,t) и построения анимационного графика этой зависимости. На графике рис. 11.47 представлен конечный кадр анимации.

Рис. 11.47. Конец документа, представленного рис. 11.45 и 11.46

11.4.2. Моделирование колебаний струны, зажатой на концах

Еще один классический пример решения дифференциального уравнения с заданными граничными условиями это моделирование колебаний струны, зажатой на концах. Рис. 11.48 демонстрирует начало документа, выполняющего такое моделирование (файл coord). На нем представлена формулировка задачи, задание дифференциального уравнения и граничных условий для его решения.

Рис. 11.48. Начало документа моделирования колебаний струны

На рис. 11.49 показан первый случай моделирования — струна оттянута в середине, так что распределение ее отклонения от расстояния х имеет характер вначале нарастающей линейно, а затем линейно уменьшающейся зависимости. Анимационные кадр второй по счету показывает, что после отпускания струны в центре появляется плоский участок, который расширяется и перемещается вниз. Формируется один период колебаний (положительный и отрицательный полупериоды).

Рис. 11.49. Моделирование колебаний струны, оттянутой вверх посередине, после ее отпускания

Рисунок 11.50 показывает второй пример моделирований. На этот раз струна деформирована по синусоидальному закону, так что на ней укладывается три периода синусоиды. С момента начала моделирования можно наблюдать ее колебания, в ходе которых амплитуда синусоиды периодически то уменьшается, то увеличивается — режим стоячих волн. На рисунке представлен конечный кадр анимации.

Рис. 11.50. Моделирование колебаний струны по синусоидальному закону

Эту модель можно использовать и для моделирования колебания двух струн с более сложным характером начальной деформации. Такой случай представлен на рис. 11.51. Здесь представлен промежуточный кадр анимации.

Рис. 11.51. Пример моделирования колебаний двух струн

11.5. Моделирование в системе Maple + MATLAB

11.5.1. Выделение сигнала на фоне шумов

В главе 6 отмечались возможности пакета расширения системы Maple Matlab, дающего доступ к некоторым функциям мощной матричной системы MATLAB. Там мы рассмотрели применение функций линейной алгебры.

Среди небольшого числа доступных функций системы MATLAB в пакете Matlab нельзя не выделить особо функции быстрого прямого и обратного преобразований Фурье. В системе MATLAB эти функции реализуют наиболее эффективные алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ), обеспечивающие решение крупноразмерных задач (например, обработки сигналов, представленных векторами и матрицами больших размеров) в десятки раз быстрее, чем при обычных методах выполнения преобразований Фурье.

Покажем возможность применения БПФ на ставшем классическим примере — выделении спектра полезного сигнала на фоне сильных помех (файл dnmatlab). Зададим некоторый двухчастотный сигнал, имеющий 1500 точек отсчета:

> num := 1500:

Time := [seq(.03*t, t=1..num)]:

data := [seq((3.6*cos(Time[t]) + cos(6*Time[t])), t=1..num)):

plots[pointplot](zip((x,y)->[x,y],Time,data), style=line);

График сигнала представлен на рис. 11.52.

Рис. 11.52. График исходного сигнала

Теперь с помощью генератора случайных чисел наложим на этот сигнал сильный «шум» (слово «шум» взято в кавычки, поскольку речь идет о математическом моделировании шума, а не о реальном шуме физической природы):

> tol := 10000: r := rand(0..tol):

noisy_data := [seq(r()/(tol)*data[t], t=1..num)]:

plots[pointplot](zip((x,y)->[x,y],Time,noisy_data), style=line);

Нетрудно заметить, что теперь форма сигнала настолько замаскирована шумом (рис. 11.53), что можно лишь с трудом догадываться, что сигнал имеет периодическую составляющую малой амплитуды. Эта высокочастотная составляющая сигнала скрыта шумом.

Рис. 11.53. Временная зависимость сигнала с шумом

Подвергнем полученный сигнал (в виде временной зависимости) прямому преобразованию Фурье, реализованному функцией fft:

> ft := fft(noisy_data):

> VectorOptions(ft, datatype);

Эта операция переводит задачу из временного представления сигнала в частотное, что позволяет использовать частотные методы анализа сигнала. Выделим, к примеру, действительную и мнимую части элементов вектора ft и проверим его размер:

> real_part := map(Re, ft): imag_part := map(Im, ft):

> dimensions(ft);

Теперь выполним обычные операции вычисления спектра и зададим построение графика частотного спектра мощности сигнала:

> setvar("FT", ft);setvar("n", num);

> evalM("result = FT.*conj(FT)/n");

> pwr := getvar("result"):

> VectorOptions(pwr, datatype);

> pwr_list := convert(pwr, list):

> pwr_points := [seq([(t-1)/Time[num], pwr_list[t]], t=1..num/2)]:

> plots[pointplot](pwr_points, style=line);

Спектрограмма сигнала представлена на рис. 11.54.

Рис. 11.54. Спектрограмма сигнала

Из нее отчетливо видно, что сигнал представлен двумя частотными составляющими с разной амплитудой. Таким образом, задача четкого выделения полезных компонент частотного спектра из зашумленного сигнала с применением средств системы MATLAB успешно решена.

11.5.2. Моделирование линейного осциллятора

Выше было не раз показано, что система Maple позволяет выполнять моделирование различных колебательных систем. Однако более эффективнее средства для такого моделирования содержатся в системе MATLAB. В частности, к ним относится решатель дифференциальных уравнений, вводимый функцией ode45. Ниже на простом примере мы рассмотрим организацию совместной работы систем Maple 9.5 и MATLAB 7 SP2 (это новейшая версия данной системы) на примере моделирования механического осциллятора (маятника).

Рис. 11.55 показывает документ Maple в котором решается эта задача. Уравнение маятника записывается средствами Maple в виде файла oscil.m в формате М-файлов системы MATLAB. Записываются также системные переменные, задающие массу маятника М, его затухание С и упругость K. Затем с помощью функции ode45 (решение ОДУ методом Рунге-Кутта-Фельберга порядка 4–5) находится временная зависимость отклонения маятника. Она построена внизу рисунка и отражает типичные затухающие синусоидальные колебания с заданными граничными условиями.

Рис. 11.55. Пример моделирования механического осциллятора в системе Maple + MATLAB

Разумеется, для такой относительно простой задачи привлечение такой мощной и громоздкой системы как MATLAB имеет только познавательный смысл. Эта задача, что было показано выше, легко решается средствами системы Maple. Однако технология совместного использования новейших систем Maple 9.5/10 и MATLAB 7.0 SP2 на этом примере хорошо видна и может использоваться пользователями для решения существенно более сложных задач математического моделирования

11.6. Моделирование эффекта Доплера

11.6.1. Визуализация волн от источника звука

Рассмотрим хорошо известный физический эффект Доплера, возникающий при движении источника звука с частотой fu, относительно приемника звука. При этом меняется частота звука, воспринимаемая приемником

Будем считать приемник звука неподвижным, т.е. vn=0, а источник перемещающимся со скоростью vu. Скорость звука с на частоте 440 Гц составляет около 340 м/с. Движение в направлении распространения звуковой волны соответствует положительной скорости, а в противоположном — отрицательной. Описанный ниже документ находится в файле dopier (переработанный пример Sylvain Muise размещенный на Интернет-сайте корпорации MapleSoft).

Ниже представлена процедура позволяющая создавать анимационные эффекты перемещения источника звука (маленькая окружность) с разной скоростью и наблюдать картину создания и распространения звуковых волн:

> restart:with(plots):with(plottools):

> wave := proc(n, initSpeed, finalSpeed)

 local i, li, j, circles, se, source, slope:

 slope := (finalSpeed - initSpeed) / n:

 for i from 0 to n*4 do

  li := NULL:

  for j from 1 to n do

   if i > (j-1)*4 then