Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Он закончил свои дни в Италии.

Однажды, когда Риман учился у Гаусса в Гёттингенском университете, профессору нужно было выбрать одного студента в качестве представителя группы. Он придумал следующий метод отбора: «Каждый из вас предложит три темы. Руководство факультета выберет одну из них, и этот студент выступит с трехчасовым докладом по этой теме». Риман решил прокомментировать книгу Лобачевского «Новые начала геометрии». В своем предложении он написал знаменитые слова:

«Евклид утверждал, что через точку вне данной прямой можно провести только одну параллельную ей линию, Лобачевский писал, что параллельных ей линий можно провести сколько угодно, а я говорю, что нельзя провести ни одной».

Бернхард Риман

* * *

СФЕРИЧЕСКИЙ МИР РИМАНА

С обычным воздушным шариком можно провести интересный эксперимент, который поможет лучше понять геометрию Римана. На плоском ненадутом воздушном шарике нарисуйте отрезок прямой линии и измерьте его длину. Рядом с ним нарисуйте треугольник. Если теперь шарик надуть, то рисунки на его поверхности трансформируются. Как выглядят теперь отрезок и треугольник? Остался ли отрезок прямым? Равна ли сумма углов в треугольнике 180°?

На надутом воздушном шарике прямая превращается в кривую, называемую геодезической линией, которая является большим кругом на сфере. Риман не мог провести этот простой, но наглядный эксперимент. В его время воздушные шарики еще не были изобретены.

* * *

Там же Риман добавляет:

«Следовательно, бесконечной прямой не существует, потому что в конце концов она стала бы кривой, и не существует совершенно плоской поверхности, потому что при продолжении она должна следовать кривизне Вселенной. Но так как плоскость будет искривляться во всех направлениях, искривленная плоскость оказывается сферической. Единственная геометрия, которая действительно существует, является сферической».

Эта спонтанная презентация содержала самую суть будущей геометрии Римана, которая отличается и от евклидовой, и от геометрии Лобачевского. В геометрии Римана нет прямых линий, а сумма углов треугольника больше 180°. Поверхность сферы является лучшей моделью для геометрии Римана. Сфера является частным случаем эллипсоида, удлиненной сферы. В этой модели прямые, как и в гиперболической геометрии, называются геодезическими линиями и являются большими окружностями, то есть такими окружностями, которые делят сферу на два равных полушария.

Все геодезические линии пересекаются, а треугольник АВС содержит два прямых угла, так что сумма его углов больше 180° (см. рисунок на предыдущей странице). В этой геометрии чем больше площадь треугольника, тем больше сумма его углов, и подобными являются только конгруэнтные треугольники, то есть те, которые совпадают при наложении друг на друга. Таким образом, поверхность сферы является моделью эллиптической геометрии. Как видно на предыдущей странице, сумма углов треугольника на такой поверхности больше 180°.

Риман не только построил эллиптическую геометрию, он также использовал алгебраические выражения (дифференциальные уравнения) для вычисления минимальных расстояний. Ему также удалось посчитать кривизну любого трехмерного пространства. Кроме того, его вычисления могут быть применены для многомерных пространств. Его результаты позже использовал Альберт Эйнштейн при работе над теорией относительности.

Первыми математиками, которые разделили все геометрии на три типа, были Феликс Клейн и основатель современной британской школы чистой математики Артур Кэли (1821–1895). Выделив гиперболическую и эллиптическую геометрии, они описали евклидову геометрию как параболическую. О причинах этого мы расскажем позже.

Неевклидовы геометрии не затмили их знаменитую предшественницу. Конечно, они все отличаются, но и сходств между ними достаточно много. В евклидовой геометрии две прямые пересекаются в точке, то же самое происходит в геометрии Лобачевского. У Римана две прямые (большие окружности) всегда пересекаются в точке и в ее антиподе с другой стороны сферы.

У Евклида через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной. Лобачевский утверждал, что таких прямых по крайней мере две. По словам Римана, таких прямых вообще не бывает.

У Евклида параллельные прямые находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, у Лобачевского это не так. Что касается суммы углов треугольника, у Евклида она всегда 180°, у Лобачевского — меньше 180°, а у Римана — больше 180°.

Если взять точку на прямой линии, то у Евклида и Лобачевского линия будет разделена на две части, но у Римана это не так. У Евклида два треугольника с одинаковыми углами подобны, а у Лобачевского и Римана такие треугольники конгруэнтны.

В следующей таблице приведены основные различия этих геометрий:

Евклидова геометрия может быть построена на плоскости, гиперболическая геометрия — на поверхности псевдосферы, а эллиптическая — на поверхности сферы.

Эти модели наглядно показывают интерпретацию пятого постулата в каждой геометрии, что изображено на следующих рисунках вместе с соответствующими проекциями. Обратите также внимание на то, как выглядят прямоугольники в каждой геометрии.

В евклидовом прямоугольнике все углы по 90°, в геометрии Лобачевского углы «прямоугольника» меньше 90°, а в эллиптической геометрии — больше 90°.

На евклидовой плоскости только одна прямая параллельна l. На псевдосфере бесконечное число прямых, проходящих через Р и лежащих между прямыми l1 и l2, не пересекаются с прямой l. На сферической поверхности через точку Р не проходит ни одной линии, параллельной l. Прямая l пересекает любую другую, проходящую через точку Р.

* * *

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ В РЕАЛЬНОСТИ

На всех глобусах Земли изображены меридианы. Все эти линии, перпендикулярные экватору, пересекаются в двух точках, в полюсах сферы. Кроме того, меридианы являются конечными линиями. Тот же эффект можно наблюдать вдоль длинной прямой дороги: кажется, что параллельные линии встречаются на горизонте. Даже евклидова реальность предполагает существование других геометрий.

С другой стороны, если мы представим себя на поверхности шара и нарисуем там треугольник, чему будет равна сумма его внутренних углов? А если мы представим себя на внутренней поверхности шара, чему тогда будет равна сумма внутренних углов треугольника? А теперь представьте себе огромный воздушный шар, бесконечно большой, на поверхности которого живут крошечные, бесконечно малые существа. В их мире, кривая поверхность будет казаться плоской, то есть, евклидовой.

* * *

Воображаемые муравьиные бега являются очень удобным способом ясно и наглядно смоделировать три типа геометрии и проиллюстрировать их сходства и различия.

Представьте себе двух муравьев, участвующих в бегах. Они начинают бежать примерно одновременно, и в принципе они бегут параллельно друг другу. Муравьи всегда бегут вперед, не поворачивая налево или направо, но их прямолинейная траектория будет выглядеть по-разному в зависимости от типа геометрии, используемой для описания поверхности.

Если два муравья бегут по идеально ровной поверхности — евклидовой плоскости, — их пути не будут ни сходиться, ни расходиться, а будут оставаться на равном расстоянии друг от друга.

Если муравьи бегут по искривленной поверхности, их пути либо сходятся, либо расходятся, поскольку являются прямыми линиями на данной поверхности. Как показано на следующем рисунке, если поверхность имеет сферическую форму, муравьи в конечном итоге встретятся, потому что пространство, в котором они движутся, не просто кривое, но и вогнутое. Если поверхность гиперболическая, муравьи постепенно разойдутся, потому что это пространство выпуклое.

Чтобы оставаться на одинаковом расстоянии друг от друга в сферическом или гиперболическом мире, его жителям придется постоянно корректировать свои пути, двигаться не по параллельным линиям и вообще отказаться от постулата о параллелях. Действительно, если такой мир существует, понятие параллельных линий там будет сильно отличаться от евклидова. Таким образом, важно понимать, что жители сферического или гиперболического мира даже не замечают, что их пути сходятся или расходятся, потому что приборы для измерения расстояния в их мире также другие. Они бы могли что-то заметить, если бы имели измерительное оборудование из евклидова мира.