Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон
Леонард Эйлер похоронен в Санкт-Петербурге, в России.
Трудно перечислить все величайшие достижения Эйлера на поприще математики. Мы могли бы процитировать одну из его многочисленных теорем. Или упомянуть написанные им учебники, снискавшие большой успех, например «Введение в анализ бесконечно малых», который историк науки Карл Бойер назвал самым влиятельным учебником в истории современной математики. Можно было бы назвать его работы по прикладной математике, например книгу «Механика», в которой впервые методы математического анализа систематически применяются к физике. Или вспомнить о сочинениях для неспециалистов, таких как чрезвычайно популярные в свое время «Письма немецкой принцессе» — собрание уроков, написанное для племянницы Фридриха Великого принцессы Ангальт-Дессауской. Быть может, стоило бы обратить внимание на его умение организовать и оформить изолированные результаты и, казалось бы, далекие друг от друга идеи в связное и упорядоченное тело математики. Или на элегантную и полезную нотацию, введенную им: Эйлер первым стал использовать букву e для обозначения основания натуральных логарифмов; он ввел в обиход символ π; в конце жизни он стал использовать букву i для обозначения √–1 (популяризировал эту нотацию Гаусс); он обозначал буквами a, b, c стороны треугольника, противоположные вершинам A, B, C; он использовал символ ∑ для обозначения суммы; он стал обозначать конечные разности Δx, и он же начал использовать нотацию f(x) для функции.
Трудно выделить какую-то одну из многих и многих теорем Эйлера как самую важную. Некоторые считают, что это соотношение, связывающее числа 0, 1, π, e и i:
еπі + 1 = 0.
А быть может, это один из его удивительных бесконечных рядов, демонстрирующих мощь математического анализа. Или одна из его теорем в теории чисел, например та, что подвела черту под знаменитыми гипотезами Пьера Ферма (1601–1665).
Но мы, конечно, сосредоточимся на простой формуле, связывающей количество вершин, ребер и граней многогранника:
V — E + F = 2.
Недавний опрос математиков показал, что, по их мнению, формула Эйлера для многогранников — вторая по красоте теорема во всей математике. А самой красивой, по мнению большинства, является формула Эйлера eπi + 1 = 018,21.
Чтобы понять формулу Эйлера для многогранников, мы должны будем поближе познакомиться с многогранниками. Итак, что же такое многогранник?
Приложения к главе
4. Dunham (1999), xiii.
5. Quoted in Youschkevitch (1971).
6. Riasanovsky (1993), 285.
7. Vucinich (1963), 69.
8. Quoted in Condorcet (1786).
9. Quoted in Eves (1969b), 48.
10. Quoted in Boyer and Merzbach (1991), 440.
11. Quoted in Cajori (1927).
12. Quoted in Calinger (1996).
13. Quoted in Cajori (1927).
14. Riasanovsky (1993), 248.
15. Quoted in Alexander (1989), 173.
16. Weil (1984).
17. Hartley (2003).
18. Hardy (1992), 70.
19. Vucinich (1963), 146-47.
20. Condorcet (1786).
21. Wells (1990).
Глава 2
Что такое многогранник?
Сударыня, хотя слово древнее, каждый берет его в собственное пользование новехоньким и изнашивает самостоятельно. Это слово заполнено смыслом, как надутый бычий пузырь, и теряет его столь же быстро. Его можно проткнуть, как пузырь, затем заклеить и вновь надуть.
— Эрнест Хемингуэй, «Смерть после полудня»22
Согласно Оксфордскому словарю английского языка, впервые термин «polyhedron» (полиэдр, многогранник) в английском тексте встретился в переводе «Начал» Евклида (ок. 300 года до н. э.), выполненном сэром Генри Биллингсли в 1570 году. Слово «полиэдр» происходит от греческих корней «поли», что значит «много», и «hedra» — «основание». Полиэдр можно поставить на одно из многих его оснований. Хотя слово «hedra» первоначально означало «сиденье», оно используется для обозначения грани полиэдра по крайней мере со времен Архимеда23. Поэтому правильный перевод слова «полиэдр» — «многогранник». Во времена Эйлера транслитерация «hedra» на латиницу уже была общепринятой.
Многогранники — это хорошо знакомые геометрические объекты, состоящие из многоугольных граней. Примеры многогранников, показанные на рис. 2.1, включают обычный куб, невзрачную треугольную пирамиду (формально тетраэдр), элегантный икосаэдр и похожий на футбольный мяч усеченный икосаэдр.
Рис. 2.1. Примеры многогранников
Из-за своей красоты и симметрии многогранники занимают заметное место в искусстве, архитектуре, ювелирном деле и играх. Всякий, кто заходил в магазин оккультных предметов, знает, что некоторые люди верят, будто многогранники (а особенно кристаллы) обладают магическими свойствами. Многогранники встречаются и в природе, такую форму имеют драгоценные камни и некоторые одноклеточные организмы.
Свойства многогранников уже тысячи лет очаровывают математиков. Для доказательства теорем о многогранниках нужно иметь строгое определение этого термина. Но лишь сравнительно недавно была предпринята попытка дать такое определение. А в течение многих лет до того математики довольствовались определением типа «узнаешь его, когда увидишь». Они соглашались с философией Шалтая-Болтая, который говорил Алисе: «Когда я беру слово, оно означает то, что я хочу, не больше и не меньше». Но такой путь ни к чему хорошему не приведет. Как писал Анри Пуанкаре (1854–1912):
Объекты, которыми занимаются математики, долгое время не имели хороших определений; эти предметы казались известными, потому что их себе представляли при помощи чувств или воображения. Но в действительности их образ отличался грубостью; не было точных идей, на которые могли бы опереться доказательства24.
В отсутствие надлежащего определения, как в данном случае, возникают теоретические неточности и рассогласования. Ниже мы увидим, что данное Эйлером доказательство формулы для многогранников не вполне строгое, потому что он не определил явно, что такое многогранник.
Придумать хорошее определение на удивление трудно. На протяжении столетий было много предложений, не все из которых эквивалентны. Из-за этой неразберихи не существует единого определения многогранника, применимого ко всей обширной литературе по этим математическим объектам.
Наивное определение могло бы звучать так: многогранник — это тело, состоящее из многоугольных граней, такое, что каждое ребро является общим ровно для двух граней, а в каждой вершине сходится по меньшей мере три ребра. На первый взгляд это определение разумно, но при ближайшем рассмотрении оказывается, что существуют удовлетворяющие ему тела, которые не согласуются с нашим интуитивным представлением о многограннике. Никто не станет спорить с тем, что объекты на рис. 2.1 — многогранники, но вот следует ли отнести к ним тела на рис. 2.2 (все они удовлетворяют приведенному выше определению)?
Это не праздный вопрос. Исторически нет единого мнения о том, считать ли объекты на рис. 2.2 многогранниками. Крайний левый объект, куб с вырезанным уголком, является многогранником согласно большинству современных определений, однако самые старые определения — в частности, неявно подразумеваемые греками и Эйлером
