Иоланда Гевара - Том 38. Измерение мира. Календари, меры длины и математика

Иоланда Гевара, Карлес Пюиг

«Мир математики»

№ 38

«Измерение мира.

Календари, меры длины и математика»

Предисловие

«Если вы можете измерить то, о чем говорите, и выразить это с помощью чисел, то вы кое-что знаете о предмете своих рассуждений. Если же вы не можете измерить то, о чем говорите, и не можете выразить это с помощью чисел, то ваши знания о предмете скудны и недостаточны». Это изречение приписывается шотландскому физику и математику Уильяму Томсону (1824–1907), лорду Кельвину, который в 1848 году создал абсолютную шкалу температур. В его честь и названа единица измерения температуры в Международной системе единиц.

Томсон показал, что измерения играют важнейшую роль в современной науке, но так же немыслима без них и повседневная жизнь. Например, без измерений невозможно узнать, что находится рядом с нами, а что — вдали. В свою очередь, точность и надежность измерений обеспечивает математика.

За свою историю человечество выработало различные методы измерений. С их помощью мы смогли определить размеры нашей планеты, протяженность межзвездного и межгалактического пространства и даже измерить время. Для этого мы ввели ряд единиц и научились проводить прямые и косвенные измерения. Еще в глубокой древности люди заметили, что природные циклы сильно влияют на жизнь народов, и поняли: течение времени можно измерять по движению небесных тел. Движение небесных тел человек связывал с явлениями природы (холодом, жарой, листопадом, перелетами птиц). Сама природа также стала объектом измерений: сначала они носили локальный характер (при разграничении обитаемой территории), затем — более общий (при прокладке маршрутов путешествий и курсов кораблей). С развитием торговли стало очевидно, что большое количество местных единиц измерения вызывает определенные трудности. В это время впервые почувствовалась нехватка универсальных мер. Первая универсальная единица измерения — метр, который стал основой метрической системы и определялся как результат точных измерений Земли посредством конкретного математического метода — триангуляции. Именно о нем и других математических методах, имеющих отношение к астрономическим, геодезическим, календарным и метрологическим измерениям, и пойдет речь в этой книге.

Процесс измерения знаком каждому из нас — все мы постоянно что-то измеряем. Едва встав с постели, мы уже отмеряем на глаз, сколько молока добавим в кофе. А если мы составим список всех измерений, которые проводим в течение дня, то удивимся его длине.

Мы благодарим издателя за то, что он дал нам возможность написать одну из книг для этой серии и благосклонно отнесся к начальному проекту книги об истории календаря и появлении метра — проекту, который в конечном итоге, благодаря предложениям редактора, перерос в книгу более общего характера, посвященную различным аспектам измерений. Мы также выражаем благодарность Розер Пюиг за уточнение некоторых технических моментов, связанных с исламским календарем.

Кроме того, мы благодарим Антона Обанелла Поу, который вдохновил нас на создание этой книги, оказал полную и безусловную поддержку и предоставил нам свои работы и личные документы, посвященные истории календаря и определению метра.

Глава 1

Что означает «измерить»

Едва человек появляется на свет, он начинает обучаться. Дети уже в очень раннем возрасте, задолго до своего первого слова или первого шага, способны определять, близко они или далеко от мамы, учатся протягивать руку так, чтобы схватить нужный предмет, и отличают похожие объекты разной величины. Таким образом, уже в раннем возрасте мы учимся ориентироваться в окружающей среде, сравнивая различные расстояния, размеры, объемы и так далее. Иными словами, мы почти сразу же после рождения учимся измерять. Но что означает «измерять»?

Каждый день, выполняя привычные действия, мы бесчисленное множество раз и совершенно неосознанно проводим измерения. Мы приведем несколько примеров, и вы наверняка согласитесь, что сами поступаете так же. Заходя в гости к друзьям, мы идем по коридору и проникаем в дверь гостиной без малейших сомнений. Мы знаем, что пройдем через дверь, а если мы отличаемся высоким ростом, то машинально слегка пригнемся, чтобы не удариться.

Допустим, нам нужно перейти пустынную улицу, и мы видим, как издалека приближается автомобиль. Мы спокойно переходим дорогу, поскольку уже определили: когда машина подъедет к тому месту, где мы сейчас стоим, мы уже перейдем на другую сторону. Если мы пишем письмо на листе бумаги, то можем сразу же определить, сколько раз потребуется сложить лист, чтобы он поместился в конверт.

Все эти примеры доказывают, что мы постоянно принимаем решения, требующие сравнения величин одного и того же типа: высоты дверного проема и нашего роста, размеров листа бумаги и конверта, времени, за которое два движущихся объекта (автомобиль и человек) преодолеют определенное расстояние. Подобные сравнения мы выполняем автоматически.

Как утверждает Алан Бишоп в книге «Приобщение к математической культуре. Обучение математике с точки зрения культуры» (Mathematical enculturation: a cultural perspective on mathematics education), математика, как и любая другая форма знания, — продукт культуры. Эта математическая культура проявляется в трех областях: первая связана с числами и относится к счету и измерению, вторая связана с пространством и проявляется при определении местоположения и проектировании, третья, и последняя, относится к взаимодействию людей в обществе и охватывает объяснения и игры. Говоря, что математика является частью культуры, мы в некотором смысле признаем, что живем в мире математики. Но что мы понимаем под математикой?

Давайте определим общие для разных культур действия, имеющие отношение к математической мысли. В этом смысле под математикой мы понимаем не набор сугубо математических тем, а рассуждения и мыслительные процессы, происходящие при выполнении определенных действий с математическим контекстом. Математикой как наукой занимаются в школах, институтах и университетах, но если мы будем рассматривать ее исключительно с этой точки зрения, то ограничимся повторением изложенного в учебниках. Мы же хотим взглянуть на математику шире и узнать, какие действия, выполняемые в повседневной жизни в нашей и других культурах, относятся к математике. Язык возник из необходимости общения. Но как появилась математика? Какие потребности она удовлетворяла?

В развитии математических идей важную роль играет организация предметов в пространстве, с которой тесно связаны два действия — определение местоположения и проектирование. Первое следует из потребности покинуть жилище в поисках еды и найти дорогу домой, потребности познать ближайшее окружение и научиться в нем ориентироваться. Можно рассмотреть три вида пространств: физическое (в нем располагаются предметы), социально-географическое (наше окружение) и космологическое (мир, в котором мы живем).

Проектирование связано с изготовлением предметов и орудий труда. Они могут предназначаться для домашнего использования, для продажи, служить украшениями, использоваться во время войн или религиозных ритуалов. Почему во всех культурах появились чашки для жидкой пищи? Ответ прост: удержать жидкость на плоской или выпуклой тарелке невозможно. Проектирование также относится к упорядочению более обширных пространств: домов, поселений, садов, дорог и городов.

Мы не просто привязаны к физическому окружению — мы живем в нем не одни, и нам необходимо взаимодействовать с другими членами общества. Эта необходимость в социализации привела к появлению еще двух действий, связанных с математической мыслью, — игре и объяснению.

К игре относятся социальные правила и нормы, а также воображение, формулирование гипотез и вопросов вида: «а что, если…?» при анализе различных ситуаций. Все люди играют в игры — более того, часто они относятся к играм всерьез! И это означает, что игра, в высшей степени развлекательное занятие, ближе к математике, чем можно предполагать. Многие математики согласны с тем, что во время игры и при решении задачи человек действует похожим образом: он анализирует ситуацию, разрабатывает стратегии, сравнивает их, выбирает лучшую, следует ей и проверяет, приводит ли она к нужному результату.

* * *

ДОМА С КРУГЛЫМ ОСНОВАНИЕМ

Почему в самых разных странах и культурах встречаются дома с круглым основанием? Дело в том, что из всех фигур заданного периметра круг имеет наибольшую площадь. Таким образом, дома с круглым основанием строить выгоднее всего — при заданной площади дома расход материалов (кирпича, льда, тростника, шкур животных и так далее) будет наименьшим. Подобные жилища можно встретить у инуитов (эскимосов Канады), индейцев (аборигенов Северной Америки), коренных жителей экваториальной Африки и в других культурах.