Жан-Филипп Лауэр - Загадки египетских пирамид

Что же касается отношения я, то мы приводим два наиболее часто упоминаемых: «Отношение периметра основания Великой пирамиды к ее удвоенной высоте равно π, и отношение площади ее основания к площади среднего сечения равно π».

Поскольку стороны пирамиды являются треугольниками одинаковой высоты, оба отношения приводятся к одному.

Пусть p — периметр основания. Полагая p = 8b, имеем

Если принять для отношения h/b ранее определенное значение 14/11, то получится: p/h = 4×11/14 = 22/7 = 3,1428 — приближенное значение π. Таким образом, b/h = π/4. Кроме того, мы имеем между π и Φ малоизвестное отношение: 0,618 = 1/Φ = (π/4)2 = (3.1416/4)2 = 0,617, т. е. 1/Φ с точностыо до одной тысячной.

С другой стороны,

откуда h/b = √Φ = 4/π.

А так как h/b = 14/11, то √Φ = 14/11, и следовательно, Φ = 1,619.

Отметим еще, что если бы мы захотели получить точное значение π = 3,1416, то для этого необходимо было бы увеличить угол наклона пирамиды на 40″, т. е. получить 51°51′14″. Угол этот Петри назвал «углом π»276. Здесь также достигнуто совершенно поразительное приближение.

В итоге это можно свести к следующему.

Угол наклона 51°49′42″ соответствует равенству Геродота и отношению золотого сечения.

Угол наклона, равный 51°50′35″, соответствует величине отношения апофемы к половине стороны основания, равной 14/11, и дает π = 3,1416.

Угол наклона, равный 51°50′39″, соответствует величине отношения ребра пирамиды к половине диагонали основания, равной 9/10.

Угол наклона 51°51′14″ дает π = 3,1416.

Мы не будем принимать во внимание последний угол наклона, поскольку значение 3,1416 для π было в ту эпоху неизвестно277. Максимальное расхождение между тремя первыми значениями π составляет около 1′, что значительно меньше средней погрешности, допускаемой при производстве строительных работ. Эти три угла наклона могут, следовательно, рассматриваться как практически совпадающие, а пропорции и отношения, им соответствующие, как равновеликие.

В то же время очевидно, что при сооружении пирамиды для зодчего наиболее существенным представлялся выбор такого угла наклона сторон, который облегчил бы ее постройку и который легко было бы контролировать. Отношение h/b, т. е. отношение высоты к половине основания, определяющее форму пирамиды, должно было быть простым. Именно таким и являлось отношение 14/11, принятое для пирамиды Хеопса. Что касается геометрических свойств, присущих всякой пирамиде, имеющей наклон 14/11, то нам представляется крайне сомнительным, что они могли быть установлены зодчими Хеопса. Во всяком случае о «золотом числе» и отношении π в то время, по всей вероятности, не имелось никаких представлений. С большими оговорками можно еще допустить, что в эпоху Хеопса было известно отношение, упоминаемое Геродотом.

Борхардт полагал, что на выбор зодчего повлияло только удобство отношения 14/11. Нам представляется, однако, что не такое уж оно простое, чтобы его следовало принять безоговорочно. По нашему мнению, необходимо добавить, что оно соответствует, кроме того, с точностью до 4″ более простому наклону в 9/10, принятому для ребра пирамиды по отношению к диагонали основания. Одной из сложных проблем для строителей было определение угла наклона ребра, так как именно от него зависели очертания угловых камней, установка которых предшествует кладке облицовки и направляет ее. Этот наклон несомненно легко мог быть определен по углу наклона апофемы, но возможно, что тем не менее представлялось целесообразным определять и контролировать его непосредственно. Поскольку зодчие отдельных пирамид должны были отдать предпочтение углу наклона апофемы или углу наклона ребра, мы увидим, что они колебались в выборе и их усилия были явно направлены на определение угла наклона, дающего для проектирования — одновременно как по апофеме, так и по ребру — по возможности простые отношения.

В первоначальной мастабе Джосера, перекрытой впоследствии ступенчатой пирамидой, наружная облицовка имеет явно выраженный наклон в 4/1, т. е. наиболее распространенный во многих мастабах, как это отмечает Петри. Что же касается самой ступенчатой пирамиды, то угол наклона ее сторон равен приблизительно 74° или h/b = 7/2. Египтяне, следуя своим правилам, выразили это отношение просто как b = 2 пальмам. Тот же угол наклона встречается затем в ступенчатой пирамиде в Завиет-эль-Ариане и на первых двух стадиях строительства пирамиды в Медуме. В третьей стадии эта пирамида, по всей вероятности являющаяся первой настоящей пирамидой, имеет уже угол наклона сторон 51°50′, который позднее будет использован и в пирамиде Хеопса.

После этой пирамиды были построены две большие пирамиды в Дашуре, возведенные, по-видимому, Снофру — отцом Хеопса. Первой была сооружена пирамида, находящаяся южнее, которую назвали «ромбовидной» из-за ее оригинальной формы, обусловленной изменением в процессе сооружения первоначального угла наклона ее сторон.

До высоты около 45 м этот угол, определенный более века назад Перрингом, равнялся 54°14′46″, соответствуя отношению h/b = 7/(5+1/25). У второй пирамиды в Дашуре, расположенной севернее, угол наклона апофемы (также по данным Перринга) составляет 43°36′, но, поскольку облицовка не сохранилась, приведенная цифра, возможно, приблизительна и, быть может, указывает на то, что принятый угол наклона мог как раз соответствовать углу наклона 2/3 для ребра пирамиды. Было бы очень интересно проверить, не избрал ли Снофру еще раньше этот угол наклона и для верхней части своей первой пирамиды.

В пирамиде Хефрена, сооруженной после пирамиды Хеопса, сторонам придан более острый угол наклона. По данным Петри, он взял угол в 53°10′, очень близкий к 53°7′48″— углу знаменитого «священного треугольника» древности со сторонами, соответственно равными 3, 4 и 5. В этом случае построение сечения по апофеме, или отношение 4/3 дает неоспоримое преимущество перед сечением по диагонали. Это ребро, однако, имея угол наклона несколько больше 43°, давало отношение высоты к половине диагонали 8.5/8, что почти так же легко реализуемо на практике, как и отношение Хеопса 9/10. По нашему мнению, с точки зрения конструкции пирамида Хефрена была проще пирамиды Хеопса и северной пирамиды Снофру в Дашуре, в которых предпочтение было отдано построению угла для грани пирамиды, а не ее ребра.

Микерин, преемник Хефрена, также пытался найти для своей пирамиды наиболее удобный угол наклона. И, по-видимому, добился этого. Угол наклона сторон его пирамиды, с трудом определенный Петри из-за неровности поверхности облицовки, равняется приблизительно 51°10′, а угол в 51°20′25″ соответствует египетскому треугольнику Виолле ле Дюка с катетами, равными 4 и 5. Поперечное сечение по апофеме дает, таким образом, простое отношение 5/4, и при угле в 51°29′53″, который больше второго примерно на 9,5″, сечение по диагонали также даст простое отношение 8/9.

Таковы были очертания первых пирамид фараонов III и IV династий. В заключение отметим, что после пирамиды в Медуме, где уже был взят наклон, позднее избранный и для пирамиды Хеопса, Снофру удалось найти для «ромбовидной» пирамиды угол наклона, дающий простые отношения для построения как апофемы, так и ребер пирамиды. Но так как в процессе строительства этот угол сочли чрезмерно острым, он был соответственно изменен. Затем, при сооружении верхней части этой пирамиды, второй пирамиды Снофру, и пирамиды Хеопса основная трудность, по-видимому, состояла в построении сечения по диагонали пирамиды. В пирамиде Хефрена, наоборот, основное место занимает построение сечения по апофеме. Но окончательного решения простых отношений как для апофемы, так и для ребер строители пирамид добились лишь в пирамиде Микерина; на этот раз они взяли угол наклона сторон не слишком острый, не слишком тупой.

В начале царствования V династии Сахура в Абусире пошел по тому же пути, что и зодчие пирамиды Микерина. Угол наклона сторон его пирамиды, определенный несколько приближенно Борхардтом в 50°5′, возможно, мог соответствовать углу в 50°11′40″, дающему при стороне основания в 150 локтей высоту в 90 локтей. Сечение по апофеме будет, следовательно, выражено простым отношением 6/5, так же как и сечение по диагонали, которое составит простое отношение 6/7.

Позднее, в период правления этой же династии, фараон Нефериркара в своей пирамиде возвратился к углу наклона сторон пирамиды Хефрена, а фараон Ниусерра — к углу наклона сторон пирамиды Хеопса. Наконец, на пирамидах VI династии, почти полностью разрушенных, мы сами обнаружили угол наклона около 53° в пирамиде Пепи II в Саккара. Здесь, следовательно, был вновь применен «священный треугольник» со сторонами 3, 4, 5, как и в пирамиде Хефрена. В период Среднего царства пирамида Сенусерта III в Дашуре при длине стороны 200 локтей имела угол наклона около 56°, что определяло ее высоту в 150 локтей, а угол наклона апофемы составлял 3/2, что вновь дает чрезвычайно простое отношение.