Глазами Монжа-Бертолле - Лев Викторович Бобров
Этой беспокойной затеей заинтересовался Леонард Эйлер. Великий математик доказал неразрешимость знаменитой задачи: контур невозможно нарисовать единым росчерком, не отрывая пера от бумаги и не проходя по одной и той же линии дважды.
Так родилась топология.
С первых же шагов новая наука испугала верноподданных евклидовой геометрии своими странными замашками. Раньше все было как полагается. Шар был шаром, куб — кубом, и никому не взбредало в голову превращать округлость одного в угловатость другого. Или наоборот. Поверхность всегда имела две стороны, а пространство три измерения. Что же касается вычерчивания фигур единым росчерком пера, то лишь очередной блажью можно было объяснить намерение великого ученого взяться за несерьезное занятие, которое под стать разве что нерадивым бурсакам.
Но неисповедимы пути науки. Новые идеи витали в воздухе, и рано или поздно кто-то должен был их высказать. Даже несмотря на высокомерно-пренебрежительное отношение творцов и приверженцев классической математики.
В 1812 году во время бегства наполеоновской армии из России военный инженер Понселе попал в плен и был интернирован русскими властями. Очутившись в Саратове, он занялся научными изысканиями. Именно здесь Понселе, последователь школы Монжа, пришел к идеям, которые легли потом в основу «Трактата о проективных свойствах фигур». В своем труде саратовский пленник высказал принцип непрерывности геометрических преобразований. Тогда же он сформулировал понятие о проективных свойствах фигур в отличие от так называемых метрических.
Классическую геометрию интересовала не только форма фигур, но и их размеры. Само название этой древней науки включает в себя корень «метр» — мера. Измерение длин, площадей и объемов тысячелетиями занимало умы величайших геометров. Что же касается классификации математических индивидов, то здесь пролегали непереходимые грани. Считалось, что плавная кривизна окружности и резковатая прямота четырехугольника — вещи несовместимые, как гений и злодейство. Недаром никакие ухищрения не помогали разрешить знаменитую «квадратуру круга» — обратить с помощью циркуля и линейки круг в квадрат равной площади.
И вдруг появились люди, которые стали рассматривать круг и квадрат, кривую и прямую линии как нечто очень похожее. В самом деле, говорили они, представьте себе прямоугольник, состоящий не из жестких, негнущихся линий, а из гибких, растяжимых нитей. Тогда его легко будет без разрывов преобразовать в треугольник, круг, эллипс. Даже в восьмерку, если вырваться из плоскости. Однако эту восьмерку уже не переделать без ножниц и клея в два звена одной цепи.
Точно так же куб с мягкими стенками подобен шару — оба тела ограничены замкнутыми поверхностями, которые могут быть превращены одна в другую. Но при всем желании сфера не может быть превращена без раскроя в бублик. Мешает дырка.
Полоска бумаги. У нее две поверхности. Это очевидно, ибо каждую из сторон можно раскрасить в разные цвета. Но склейте ленту концами, перевернув один из них на 180 градусов, и вы получите «лист Мёбиуса». Попробуйте раскрасить сперва одну сторону до конца в какой-нибудь один цвет, потом вторую — в другой. У вас ничего не получится. Ибо это странное кольцо имеет только одну сторону!
Итак, для новой геометрии узлы и перегибы, замкнутость и разомкнутость, целостность и разрывы сплошности оказались не менее ценными характеристиками, чем жесткость и невзаимозаменяемость идеальных линий, поверхностей и фигур для классической. В отличие от своей предшественницы новая наука пренебрегла числом и мерой, сосредоточив все свое внимание на непрерывности геометрических преобразований.
Эту «каучуковую» геометрию нарекли топологией.
Не сразу она завоевала признание. Холодный прием со стороны математических авторитетов ожидал не одного Понселе. С иронией отнеслись к дерзким посягательствам Лобачевского на непогрешимость постулатов Евклида. Немецкий математик Гаусс, самостоятельно пришедший к идеям неевклидовой геометрии, так и не решился на публикацию своих исследований.
Еще медленнее проникали математические идеи в мир химических превращений. Бертолле умер, так и не дождавшись признания. Лишь в семидесятых годах XIX века появились классические мемуары Гиббса о химических равновесиях и формулы Гульдберга — Вааге.
Следующий шаг на пути к математизации химии сделал в своих геометрических построениях Менделеев. Но никогда еще химия не знала такого энтузиаста математических методов, как этот удивительный русский, один из тех одержимых, энергия и талант которых взламывают жесткие рамки любых традиций, сокрушают любые «китайские стены» самодовольной ограниченности. Да, таким был создатель физико-химического анализа Николай Семенович Курнаков. Именно благодаря его работам две древние науки снова протянули друг другу руки, чтобы уже никогда не расставаться.
Так родилась топологическая химия.
«Я был очень удивлен, — вспоминает доктор физико-математических наук, профессор Ленинградского горного института Николай Вячеславович Липин, — когда узнал, что Николай Семенович изучает работы по геометрии Мёбиуса, которые он надеялся применить к решению проблем химии. Точно так же он изучал первые работы по топологии, принадлежавшие Листингу. Когда я указал, что самые важные результаты в этом направлении впервые получены Пуанкаре, Николай Семенович стал заниматься формулой Пуанкаре. То обстоятельство, что эта формула относится к многомерным пространствам, не смущало его, он утверждал, что в его диаграммах она применима».
Но какое, собственно, отношение имеет к химии топология? Почему Курнаков назвал созданный им метод анализа топологической химией?
Вот как отвечал на этот вопрос сам Курнаков:
«Учение о подвижном равновесии, введенное в химию Бертолле, есть не что иное, как применение геометрической идеи непрерывности к химическим превращениям. В геометрии непрерывность изменений фигур характеризует самые общие преобразования пространства, которыми занимается топология… Учение о равновесной диаграмме состав — свойство представляет особую область приложения топологии, где понятию „многообразия“, или „комплекса“, составленного из геометрических элементов — точек, линий, поверхностей и т. д., — соответствует понятие „система“, образованная различным числом компонентов».
Мы познакомились с диаграммами двойных систем. Это были плоские чертежи.
Однако если физико-химическая система состоит не из двух, а из трех компонентов (составных частей), то плоского чертежа на листке бумаги уже недостаточно. В этом случае Курнакову приходилось делать объемные модели из гипса и ради наглядности раскрашивать поверхности в разные цвета. Вместо плоской «чайки» теперь перед нами рельефная поверхность. Но каждая из граней призмы — это тот же график двойной системы! Основание призмы — треугольник, на который спроектирована эвтектическая точка тройной системы. Гораздо труднее построить модель четверной системы. Она представляет собой тетраэдр, составленный из тех самых треугольников, которые являются основаниями призмы — модели тройной системы. Внутри тетраэдра заключена эвтектическая звезда, рассекающая его на 4 дольки. Аналогично изображается геометрическая модель
