Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики - Пенроуз Роджер
|ψ|2 = |ψY|2 + |ψN|2, т. е. сумма вероятностей, как и должно быть, равна единице!) Заметим, что вероятность скачкообразного перехода состояния |ψ) в состояние |ψY) определяется отношением, показывающим, во сколько раз квадрат длины вектора |ψ) уменьшается при таком проецировании.
В заключение необходимо сделать одно замечание относительно таких «актов измерения», которые можно производить над квантовой системой. Из самих основ квантовой теории следует, что для любого состояния, скажем, для |X), существует измерение типа «да или нет»[152], результатом которого будет ДА, если измеряемое состояние пропорционально |X), и НЕТ, если оно ортогонально |X). Таким образом, введенная выше область Y могла бы состоять из всех состояний, кратных любому выбранному состоянию |X). Из этого утверждения, по-видимому, следует весьма сильное заключение о том, что векторы состояния должны быть объективно реальными. Каким бы ни было состояние физической системы (давайте назовем его |X)), существует в принципе выполнимое измерение, для которого |X) — единственное (с точностью до пропорциональности) состояние, с достоверностью приводящее к результату ДА. Может оказаться, что для некоторых состояний |X) выполнить такое измерение будет чрезвычайно трудно, а порою практически «невозможно». Но тот факт, что согласно теории существует принципиальная возможность такого измерения, приведет позднее в этой главе к некоторым поразительным следствиям.
Спин и сфера Римана состояний
Величину, которую в квантовой механике принято называть «спином», иногда считают самой «квантовомеханической» из всех физических величин, поэтому мы поступим разумно, уделив ей некоторое внимание. Что такое спин? По существу, спин — это мера, характеризующая вращение частицы. Термин «спин»[153] действительно наводит на мысль о чем-то, напоминающем вращение крикетного шара или бейсбольного мяча. Вспомним понятие углового момента, который, подобно энергии и импульсу, является сохраняющейся величиной (см. главу 5 «Динамика Галилея и Ньютона», а также Главу 6 «Начало квантовой теории»). Угловой момент тела остается постоянным во времени до тех пор, пока движение тела не возмущает трение или какие-нибудь другие силы. Он и есть то, чем на самом деле является квантовомеханический спин, но сейчас нас интересует «вращение» отдельной частицы самой по себе, а не обращение по орбитам мириад частиц вокруг общего центра масс (как это было бы в случае крикетного шара). Замечательный физический факт состоит в том, что большинство частиц, обнаруживаемых в Природе, действительно совершают «вращение» в только что указанном смысле, причем каждая частица обладает спином, величина которого специфична только для нее[154]. Но, как мы увидим дальше, спин отдельной квантовомеханической частицы обладает некоторыми весьма экстравагантными свойствами, — совсем не теми, которые мы могли бы ожидать, исходя из своего опыта обращения с закрученным крикетными шарами.
Прежде всего, для частиц определенного типа величина спина всегда одна и та же. Изменяться (причем очень странным образом, о чем мы вскоре узнаем) может только направление спина. Это резко контрастирует с крикетным шаром, который может быть закручен всеми возможными способами как угодно сильно или слабо в зависимости от того, как он был запущен! Для электрона, протона или нейтрона величина спина всегда равна ħ/2, т. е. ровно половине наименьшего положительного значения, которое по Бору было изначально допустимым для квантованной величины углового момента атомов. (Напомним, что допустимыми значениями были 0, ħ, 2ħ, 3ħ ….) Здесь же нам требуется половина фундаментальной единицы ħ, и, в некотором смысле, ħ/2 сама по себе есть даже более фундаментальная единица. Такая величина углового момента не была бы допустима для объекта, состоящего только из орбитальных частиц, не вращающихся самих по себе. Такая величина может возникнуть только потому, что спин — это внутренне присущее свойство самой частицы (т. е. он не является результатом орбитального движения ее «частей» вокруг некоторого центра).
Частица со спином, равным нечетному кратному ħ/2 (т. е. ħ/2, 3ħ/2 или 5ħ/2 и т. д.) называется фермионом и обладает любопытной квантовомеханической особенностью: полный поворот на 360° переводит ее вектор состояния не в себя, а в себя со знаком минус! Многие частицы, встречающиеся в природе, относятся к числу фермионов, и мы еще узнаем позднее о них и их необычных свойствах, столь жизненно важных для нашего существования. Остальные частицы со спином, равным четному кратному ħ/2, т. е. целому кратному ħ (а именно 0, ħ, 2ħ, 3ħ…), называются бозонами. При повороте на 360° вектор состояния бозона переходит точно в себя.
Рассмотрим частицу с половинным спином, т. е. со значением спина ħ/2. Для определенности я буду называть такую частицу электроном, но ею с таким же успехом мог бы быть протон или нейтрон, а также атом подходящего вида. («Частица» может состоять из отдельных частей, если ее можно рассматривать квантовомеханически как единое целое с вполне определенным полным угловым моментом.) Предположим, что наш электрон покоится, и рассмотрим только его спиновое состояние. Пространство квантовомеханических состояний (гильбертово пространство) оказывается в этом случае двумерным, поэтому мы можем выбрать базис, состоящий всего лишь из двух состояний. Я обозначу их |↑) и |↓), чтобы указать, что в состоянии |↑) спин вращается слева направо относительно вертикального направления снизу вверх, в то время как в состоянии |↓) спин вращается слева направо относительно вертикального направления сверху вниз (рис. 6.24).
Рис. 6.24. Базис спиновых состояний электрона состоит всего лишь из двух состояний. В качестве них принято выбирать состояния спин вверх и спин вниз
Состояния |↑) и |↓) взаимно ортогональны, и мы считаем их нормализованными (|↑|2 и |↓|2 = 1). Любое возможное состояние спина электрона представимо в виде линейной суперпозиции, например, ω|↑) + z|↓), именно этих двух ортонормированных состояний |↑) и |↓), т. е. состояний спин вверх и спин вниз.
Нужно сказать, что в состояниях спин вверх и спин вниз нет ничего особенного. С тем же успехом мы могли бы описывать спин, вращающийся слева направо вокруг любого другого направления, например, слева-направо |→) и противоположного ему справа-налево |←). Тогда (при подходящем выборе комплексных весов) мы получили бы для |↑) и |↓) [155]:
