Роджер Пенроуз - Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики
где |ψ) — «длина» вектора состояния |ψ).
Эта «длина» — положительное действительное число, определенное для каждого вектора состояния (0 имеет нулевую длину), и |ψ| = 1, если |ψ) — единичный вектор.
Полное измерение представляет собой весьма идеализированный тип измерения. Например, полное измерение положения частицы потребовало бы от нас способности локализовать частицу с бесконечной точностью, где бы во вселенной она ни находилась! К более элементарному типу измерения относится такое измерение, когда мы просто задаем вопрос типа «да или нет», например, такой: «Расположена ли частица справа (или слева) от некоторой прямой?» или «Лежит ли импульс частицы в некотором интервале?» и т. д. Измерения типа «да или нет» в действительности представляют собой наиболее фундаментальный тип измерения. (Например, используя только лишь измерения типа «да или нет», можно сколь угодно близко подойти к точному значению положения или импульса частицы.) Предположим, что результатом измерения типа «да или нет» оказывается ДА. Тогда вектор состояния должен находиться в области «ДА» гильбертова пространства, которую я обозначу Y (от англ. yes — «да». — Прим. ред.). С другой стороны, если результатом измерения типа «да или нет» оказывается НЕТ, то вектор состояния должен находиться в области «НЕТ» гильбертова пространства, которую я обозначу N (от англ. no — «нет». — Прим. ред.). Области Y и N полностью ортогональны друг другу в том смысле, что любой вектор состояния из области Y должен быть ортогонален любому вектору состояния из области N (и наоборот). Кроме того, любой вектор состояния |ψ) может быть (единственным образом) представлен в виде суммы векторов, принадлежащих каждой из областей Y и N. Если воспользоваться математической терминологией, то можно сказать, что области Y и N являются ортогональными дополнениями друг друга. Таким образом, |ψ) однозначно представи́м в виде
|ψ) = |ψY) + |ψN)
где |ψY) принадлежит Y, a |ψN) принадлежит N. Здесь |ψY) означает ортогональную проекцию состояния |ψ) на Y, a |ψN) — ортогональную проекцию состояния |ψ) на N (рис. 6.23).
Рис. 6.23. Редукция вектора-состояния. Измерение может быть описано в терминах пары подпространств Y и N, каждое из которых является ортогональным дополнением другого. После измерения состояние |ψ) скачком переходит в свою проекцию на одно из этих подпространств с вероятностью, задаваемой множителем, показывающим, во сколько раз квадрат длины вектора состояния уменьшается при переходе к проекции
Если результат измерения есть ДА, то |ψ) скачком переходит в |ψY), а если результат есть НЕТ, то в |ψN). Если вектор состояния |ψ) нормирован, то соответствующие вероятности того и другого исхода равны квадратам длин
|ψY|2 и |ψN|2 состояний-проекций. Если же вектор |ψ) не нормирован, то каждый из этих квадратов необходимо разделить на |ψ|2. (По «теореме Пифагора»
|ψ|2 = |ψY|2 + |ψN|2, т. е. сумма вероятностей, как и должно быть, равна единице!) Заметим, что вероятность скачкообразного перехода состояния |ψ) в состояние |ψY) определяется отношением, показывающим, во сколько раз квадрат длины вектора |ψ) уменьшается при таком проецировании.
В заключение необходимо сделать одно замечание относительно таких «актов измерения», которые можно производить над квантовой системой. Из самих основ квантовой теории следует, что для любого состояния, скажем, для |X), существует измерение типа «да или нет»[152], результатом которого будет ДА, если измеряемое состояние пропорционально |X), и НЕТ, если оно ортогонально |X). Таким образом, введенная выше область Y могла бы состоять из всех состояний, кратных любому выбранному состоянию |X). Из этого утверждения, по-видимому, следует весьма сильное заключение о том, что векторы состояния должны быть объективно реальными. Каким бы ни было состояние физической системы (давайте назовем его |X)), существует в принципе выполнимое измерение, для которого |X) — единственное (с точностью до пропорциональности) состояние, с достоверностью приводящее к результату ДА. Может оказаться, что для некоторых состояний |X) выполнить такое измерение будет чрезвычайно трудно, а порою практически «невозможно». Но тот факт, что согласно теории существует принципиальная возможность такого измерения, приведет позднее в этой главе к некоторым поразительным следствиям.
Спин и сфера Римана состояний
Величину, которую в квантовой механике принято называть «спином», иногда считают самой «квантовомеханической» из всех физических величин, поэтому мы поступим разумно, уделив ей некоторое внимание. Что такое спин? По существу, спин — это мера, характеризующая вращение частицы. Термин «спин»[153] действительно наводит на мысль о чем-то, напоминающем вращение крикетного шара или бейсбольного мяча. Вспомним понятие углового момента, который, подобно энергии и импульсу, является сохраняющейся величиной (см. главу 5 «Динамика Галилея и Ньютона», а также Главу 6 «Начало квантовой теории»). Угловой момент тела остается постоянным во времени до тех пор, пока движение тела не возмущает трение или какие-нибудь другие силы. Он и есть то, чем на самом деле является квантовомеханический спин, но сейчас нас интересует «вращение» отдельной частицы самой по себе, а не обращение по орбитам мириад частиц вокруг общего центра масс (как это было бы в случае крикетного шара). Замечательный физический факт состоит в том, что большинство частиц, обнаруживаемых в Природе, действительно совершают «вращение» в только что указанном смысле, причем каждая частица обладает спином, величина которого специфична только для нее[154]. Но, как мы увидим дальше, спин отдельной квантовомеханической частицы обладает некоторыми весьма экстравагантными свойствами, — совсем не теми, которые мы могли бы ожидать, исходя из своего опыта обращения с закрученным крикетными шарами.
Прежде всего, для частиц определенного типа величина спина всегда одна и та же. Изменяться (причем очень странным образом, о чем мы вскоре узнаем) может только направление спина. Это резко контрастирует с крикетным шаром, который может быть закручен всеми возможными способами как угодно сильно или слабо в зависимости от того, как он был запущен! Для электрона, протона или нейтрона величина спина всегда равна ħ/2, т. е. ровно половине наименьшего положительного значения, которое по Бору было изначально допустимым для квантованной величины углового момента атомов. (Напомним, что допустимыми значениями были 0, ħ, 2ħ, 3ħ ….) Здесь же нам требуется половина фундаментальной единицы ħ, и, в некотором смысле, ħ/2 сама по себе есть даже более фундаментальная единица. Такая величина углового момента не была бы допустима для объекта, состоящего только из орбитальных частиц, не вращающихся самих по себе. Такая величина может возникнуть только потому, что спин — это внутренне присущее свойство самой частицы (т. е. он не является результатом орбитального движения ее «частей» вокруг некоторого центра).
Частица со спином, равным нечетному кратному ħ/2 (т. е. ħ/2, 3ħ/2 или 5ħ/2 и т. д.) называется фермионом и обладает любопытной квантовомеханической особенностью: полный поворот на 360° переводит ее вектор состояния не в себя, а в себя со знаком минус! Многие частицы, встречающиеся в природе, относятся к числу фермионов, и мы еще узнаем позднее о них и их необычных свойствах, столь жизненно важных для нашего существования. Остальные частицы со спином, равным четному кратному ħ/2, т. е. целому кратному ħ (а именно 0, ħ, 2ħ, 3ħ…), называются бозонами. При повороте на 360° вектор состояния бозона переходит точно в себя.
