Ричард Фейнман - 2a. Пространство. Время. Движение

2.3025. (Позднее мы увидим, что правильнее было бы взять

2.3026. но давайте возьмем то, что у нас получилось.) Пользуясь этой таблицей, можно возвести 10 в любую степень, если ее показатель каким угодно способом выражается через 1/1024. Теперь легко составить таблицу логарифмов, потому что все необходимое для этого мы уже припасли. Процедура этого изо­бражена в табл. 22.2, а нужные числа берутся из второго и третьего столбцов табл. 22.1.

Таблица 22.2 · ВЫЧИСЛЕНИЯ log102

Предположим, что мы хотим знать логарифм 2. Это значит, что мы хотим знать, в какую степень надо возвести 10, чтобы получить 2. Может быть, возвести 10 в степень 1/2? Нет, полу­чится слишком большое число. Глядя на табл. 22.1, можно ска­зать, что нужное нам число лежит между 1/4 и 1/2. Поиск его начнем с 1/4;разделим 2 на 1,788..., получится 1,124...; при де­лении мы отняли от логарифма двух 0,250000, и теперь нас интересует логарифм 1,124.... Отыскав его, мы прибавим к результату 1/4=256/1024. Найдем в табл. 22.1 число, которое бы при движении по третьему столбцу сверху вниз стояло сразу за 1,124... . Это 1,074607. Отношение 1,124... к 1,074607 равно 1,046598. В конце концов мы представим 2 в виде произведения чисел из табл. 22.1:

2=(1,77828)·(1,074607)·(1,036633) · (1,0090350)·(1,000573).

Для последнего множителя (1,000573) в нашей таблице места не нашлось; чтобы найти его логарифм, надо представить это число в виде 10D/1024»1+2,3025D/1024. Отсюда легко найти, что D=0,254. Таким образом, наше произведение мож­но представить в виде десятки, возведенной в степень 1/1024 (256+32+16+4+0,254). Складывая и деля, мы полу­чаем нужный логарифм: log102=0,30103; этот результат верен до пятого десятичного знака!

Мы вычисляли логарифмы точно так же, как это делал мистер Бриггс из Галифакса в 1620 г. Закончив работу, он сказал: «Я вычислил последовательно 54 квадратных корня из 10». На самом деле он вычислил только 27 первых корней, а потом сделал фокус с D. Вычислить 27 раз квадратный корень из 10, вообще-то говоря, немного сложнее, чем 10 раз, как это сделали мы. Однако мистер Бриггс сделал гораздо большее: он вычислял корни с точностью до шестнадцатого десятичного знака, а когда опубликовал свои таблицы, то оставил в них лишь 14 десятичных знаков, чтобы округлить ошибки. Соста­вить таблицы логарифмов с точностью до четырнадцатого деся­тичного знака таким методом — дело очень трудное. Зато це­лых 300 лет спустя составители таблиц логарифмов занимались тем, что уменьшали таблицы мистера Бриггса, выкидывая из них каждый раз разное число десятичных знаков. Только в последнее время при помощи электронных вычислительных ма­шин оказалось возможным составить таблицы логарифмов не­зависимо от мистера Бриггса. При этом использовался более эффективный метод вычислений, основанный на разложении логарифма в ряд.

Составляя таблицы, мы натолкнулись на интересный факт: если показатель степени e очень мал, то очень легко вычислить 10e; это просто 1+2,3025е. Это значит, что 10n/2,3025 =1+n для очень малых n. Кроме того, мы говорили с самого начала, что вычисляем логарифмы по основанию 10 только потому, что у нас на руках 10 пальцев и по десяткам нам считать удобнее. Логарифмы по любому другому основанию получаются из ло­гарифмов по основанию 10 простым умножением. Теперь на­стало время выяснить, не существует ли математически выде­ленного основания логарифмов, выделенного по причинам, не имеющим ничего общего с числом пальцев на руке. В этой есте­ственной шкале формулы с логарифмами должны выглядеть проще. Составим новую таблицу логарифмов, умножив все логарифмы по основанию 10 на 2,3025.... Это соответствует пере­ходу к новому основанию — натуральному, или основанию е. Заметим, что loge (l+n)»n или еn»1+n, когда n®0.

Легко найти само число е; оно равно 101/2,3025 или 100,434294... Это 10 в иррациональной степени. Для вычисления е можно воспользоваться таблицей корней из 10. Представим 0,434294... сначала в виде 444,73/1024, а числитель этой дроби в виде суммы 444,73=256+128+32+16+2+0,73. Число е поэтому равно произведению чисел

(1,77828)·(1,33352)·(1,074607)·(1,036633)·(1,018152)X(1,009035)(1,001643) =2,7184.

(Числа 0,73 нет в нашей таблице, но соответствующий ему ре­зультат можно представить в виде 1+2,3025D и вычислить, чему равна D.) Перемножив все 7 сомножителей, мы получим 2,7184 (на самом деле должно быть 2,7183, но и этот результат хорош). Используя такие таблицы, можно возводить число в иррациональную степень и вычислять логарифмы иррацио­нальных чисел. Вот как надо обращаться с иррациональностями.

§ 5. Комплексные числа

Хотя мы хорошо поработали, все-таки есть еще уравнения, которые нам не под силу! Например, чему равен квадратный ко­рень из -1? Предположим, что это х, тогда х2=-1. Нет ни ра­ционального, ни иррационального числа, квадрат которого был бы равен -1. Придется снова пополнить запас чисел. Предполо­жим, что уравнение х2=-1 все же имеет решение, и обозначим это решение буквой i; число i имеет пока только одно свойство: будучи возведенным в квадрат, оно дает -1. Вот пока и все, что можно о нем сказать. Однако уравнение х2=-1 имеет два корня. Буквой i мы обозначили один из корней, но кто-нибудь может сказать: «А я предпочитаю иметь дело с корнем -i; моя буква i просто минус ваша i». Возразить ему нечего, пото­му что число i определяется соотношением i2=-1; это соотно­шение останется верным, если изменить знак i. Значит, любое уравнение, содержащее какое-то количество i, останется вер­ным, если сменить знаки у всех i. Такая операция называется комплексным сопряжением. Далее, ничто не мешает нам полу­чать новые числа вот так: сложить i несколько раз, умножить i на какое-нибудь наше старое число, прибавить результат умно­жения к старому числу и т. д. Все это можно сделать, не на­рушая ранее установленных правил. Таким образом мы при­ходим к числам, которые можно записать в виде p+iq, где p и q — числа, с которыми мы имели дело ранее, их называют действительными числами. Число i называют мнимой единицей, а произведение действительного числа на мнимую единицу — чисто мнимым числом. Самое общее число а имеет вид a=p+iq, и его называют комплексным числом. Обращаться с комплекс­ными числами несложно; например, нам надо вычислить произ­ведение (r+is)(p+q). Вспомнив о правилах, мы получим

(r+is)(p+iq)=rp+r(iq)+(is)p+(is)(iq)=rp+i(rq)+i(sp)+(ii)(sq)=(rp-sq)+i(rq+sp), (22.4)

потому что ii=i2=-1. Теперь мы получили общее выражение для чисел, удовлетворяющих правилам (22.1).

Умудренные опытом, полученным в предыдущих разделах, вы скажете: «Рано говорить об общем выражении, надо еще оп­ределить, например, возведение в мнимую степень, а потом мож­но придумать много алгебраических уравнений, ну хотя бы x6+3x2=-2, для решения которых потребуются новые числа». В том-то и дело, что, кроме действительных чисел, достаточно изобрести только одно число — квадратный корень из -1, после этого можно решить любое алгебраическое уравнение! Эту удивительную вещь должны доказывать уже математики. Дока­зательство очень красиво, очень интересно, но далеко не само­очевидно. Действительно, казалось бы, естественнее всего ожи­дать, что по мере продвижения в дебри алгебраических уравнений придется изобретать снова, снова и снова. Но самое чудесное, что больше ничего не надо изобретать. Это последнее изобре­тение. Изобретя комплексные числа, мы установим правила, по которым с этими числами надо обращаться, и больше ничего изобретать не будем. Мы научимся возводить комплексные числа в комплексную степень и выражать решение любого алгебраи­ческого уравнения в виде конечной комбинации уже известных нам символов. К новым числам это не приведет. Например, квадратный корень из i, или ii— опять те же комплексные числа. Сейчас мы рассмотрим это подробнее.

Мы уже знаем, как надо складывать и умножать комплекс­ные числа; сумма двух комплексных чисел (р+iq)+(r+is) — это число (p+r)+i(q+s). Но вот возведение комплексных чисел в комплексную степень — уже задача потруднее. Однако она оказывается не труднее задачи о возведении в комплексную сте­пень действительных чисел. Посмотрим поэтому, как возводит­ся в комплексную степень число 10, не в иррациональную, а комплексную; нам надо знать число 10(r+is). Правила (22.1) и (22.2) несколько упрощают задачу

10(r+is)=10r10is (22,5)

Мы знаем, как вычислить 10r, перемножить числа мы тоже умеем, не умеем только вычислить 10is. Предположим, что это комплексное число x+iy. Задача: дано s, найти х и у. Если