Александр Петров - Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор
Gab + Λgab = κTab.
Это не помогло – статическое космологическое решение этих уравнений существует, но это решение неустойчиво, следовательно, не может быть моделью реального мира. Тем не менее, понятие космологической постоянной оказалось востребованным, особенно в последнее время.
5. Координаты Леметра
В этом дополнении мы обсуждаем координаты для черной дыры Шварцшильда, свободные от дефектов на горизонте. Их предложил Леметр, как систему отсчета, сопутствующую свободно падающим наблюдателям. Смысл ее в том, что в каждую точку пространства помещается наблюдатель. Наблюдатели никак не взаимодействуют между собой, они лишь свободно падают к центру, формально представляя собой точки. Каждому наблюдателю приписываются три пространственных координаты, которые вместе образуют пространственные координаты всего пространства-времени. А собственное время каждого наблюдателя вместе определяет координатное время новой системы отсчета. Форма решения сохраняет сферическую симметрию, поэтому можно сказать, что Леметр сделал переход от шварцшильдовых координат t и r к координатам сопутствующих наблюдателей (сопутствующей системе отсчета) τ и R.
Рис. Д1. Пространство-время геометрии Шварцшильда в сопутствующих координатах Леметра
Мы не приводим форму решения Леметра, а вот диаграмма на рис. 8.2 в его координатах принимает форму, представленную на рис. Д1. Обсудим ее. Наклонные на рис. Д1 соответствуют вертикальным линиям постоянных значений координаты r на рисунке 8.2, включая линии горизонта r = rg и сингулярности r = 0. Вертикальные на рис. Д1 – мировые линии сопутствующих наблюдателей. Как видно, они без помех пересекают горизонт.
Проследим за формой световых конусов на рис. Д1. Вне горизонта наклон «лепестков» превосходит 45º, на горизонте он равен 45º, а под горизонтом становится все меньше: конусы сужаются при приближении к «центру». Поскольку распространение лучей света происходит как раз по направлению конусов, а материальных частиц – по мировым линиям внутри конусов, то ясно, что вне горизонта r = rg возможно движение с удалением от горизонта во внешнюю область. По достижении горизонта такое движение невозможно. Под горизонтом становится неизбежным движение к «центру».
6. Система отсчета ускоренных наблюдателей
После того как определены понятия пространства Минковского в главе 5, собственного времени в главе 7 и горизонта событий в главе 8, интересно обсудить пространство-время ускоренных наблюдателей. Пусть один из таких наблюдателей движется прямолинейно вдоль оси x в пространстве Минковского с постоянным ускорением c2/X в направлении x. Пусть таких наблюдателей много и их ускорения меняются от бесконечности до нуля, что соответствует изменению X от 0 до ∞.
На рис. Д2 на диаграмме пространства Минковского в лоренцевых координатах x и t изображены мировые линии таких ускоренных наблюдателей: каждому наблюдателю соответствует свое значение X. Чем больше ускорение наблюдателя, тем его мировая линия ближе к началу координат. Ускорение каждого из них направлено в сторону увеличения x. Поэтому изначально двигаясь к началу координат, они снижают скорость до нуля при t = 0, а затем движутся в обратном направлении.
Рис. Д2. Мировые линии ускоренных наблюдателей
Поскольку скорости этих наблюдателей не могут превысить световые, то их мировые линии ограничены световыми конусами: A—0 и 0A+, они вместе образуют так называемый «угол Риндлера». Кроме того, угол Риндлера – это предельная мировая линия наблюдателя, ускорение которого стремится к бесконечности. Эти конусы имеют смысл горизонта событий. Конус A—0 является горизонтом событий прошлого – ускоренные наблюдатели никак не могут повлиять на события за этим горизонтом. Конус 0A+ является горизонтом событий будущего, поскольку ускоренным наблюдателям недоступны для наблюдения события за этим горизонтом. Этот горизонт аналогичен горизонту шварцшильдовой черной дыры, в чем легко убедиться, сравнив рис. Д2 с диаграммой в координатах Леметра на рис. Д1.
Точно так же, как была представлена пространственно-временная диаграмма для сопутствующих наблюдателей в координатах Леметра, можно представить пространственно-временную диаграмму для равномерно ускоренных наблюдателей. Для этого каждому такому наблюдателю сопоставляют свою пространственную координату со значением X. Тогда метрика пространства Минковского (вернее его части, заключенной в углу Ринд-лера), в координатах этих ускоренных наблюдателей принимает форму:
ds2 = (X/X0) 2c 2dT 2 – dX 2 – dY 2 – dZ 2.
Здесь X0 – произвольный пространственный масштаб, позволяющий сохранить размерность, кроме того, для наблюдателя, у которого X = X0, эта система является локально лоренцевой. Эти координаты введены американским физиком Вольфгангом Риндлером, и представлены на диаграмме на рис. Д3. Каждому ускоренному наблюдателю соответствует вертикальная прямая с соответствующим значением X. Вертикальная прямая X = 0 соответствует горизонту Риндлера. Если время T является координатным временем в системе Риндлера, то собственным временем для ускоренного наблюдателя является τ = (g00)1/2T = XT/X0, как это было определено в главе 7.
Рис. ДЗ. Координаты Риндлера
Для ускоренного наблюдателя с параметром X0 собственное время совпадает с координатным. Собственное время ускоренных наблюдателей идет тем быстрее, чем больше X, и тем медленнее, чем меньше X. В этом проявляется сильный принцип эквивалентности (глава 6) – ускорение имитирует действие гравитационного поля, где ход часов замедляется тем сильнее, чем больше потенциал.
На горизонте собственное время «замораживается», в этом смысле ситуация аналогична поведению собственного времени для наблюдателей в пространстве-времени шварцшильдовой черной дыры. Если мы проследим за формой светового конуса, то для наблюдателя X0 его «лепестки» наклонены под «стандартным» углом 45° (это как раз потому, что для него система Риндлера оказалась локально лоренцевой). Для больших X угол наклона «лепестков» увеличивается, для меньших X – уменьшается. На горизонте «лепестки» световых конусов вообще слипаются, точно также, как на горизонте на диаграмме Шварцшильда, см. рис. 8.2. Горизонт в метрике Риндлера представляет лишь координатную особенность, как и горизонт в координатах Шварцшильда. Но поскольку система ускоренных наблюдателей – это система в пространстве Минковского, то в отличие от решения Шварцшильда, «решение Риндлера» не имеет истинной сингулярности.
Наконец, обратимся к мировой линии покоящегося наблюдателя в пространстве Минковского – на рис. Д2 вертикальная линия x1 = const. Она соответствует кривой линии на рис. Д3. Координаты Риндлера охватывают лишь часть пространства Минковского, как видно из рис. Д2, поэтому ясно, что кривая на рис. Д3 отвечает лишь части истории покоящегося наблюдателя на рис. Д2.
7. Однородность и изотропия Вселенной
Приведем более строгие, чем в главе 6, определения однородности и изотропии. Почему это важно? Эти понятия определяются на данный момент времени, а космологическое пространство меняется со временем. В теории Ньютона в этом нет проблемы, поскольку понятие времени абсолютно. В СТО тоже нет больших проблем, определившись с выбором какой-либо инерциальной системы отсчета, наблюдатель также имеет единое время. А в ОТО, да еще в переменном по времени решении, ситуация сложнее. Поясним это на примере того же решения Фридмана: ds2 = c2dt2 – a2(t)dl2. Здесь каждому значению времени соответствует пространство со своим значением масштабного фактора a(t). Пространство-время как бы распадается на слои – пространства, сложенные «стопочкой». Ход времени определяется переходом от одного слоя (пространственного сечения) к другому, а каждый слой отвечает своему единственному моменту времени.
Рис. Д4. Расслоение пространства-времени на пространственные сечения
